4.4: Distribuição de Poisson
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Outra distribuição de probabilidade útil é a distribuição de Poisson, ou distribuição do tempo de espera. Essa distribuição é usada para determinar quantos funcionários de caixa são necessários para manter o tempo de espera na fila em níveis especificados, quantas linhas telefônicas são necessárias para evitar que o sistema sobrecarregue e muitas outras aplicações práticas. Uma modificação do Poisson, o Pascal, inventada há quase quatro séculos, é usada hoje por empresas de telecomunicações em todo o mundo para fatores de carga, níveis de conexão via satélite e problemas de capacidade da Internet. A distribuição recebe o nome de Simeon Poisson, que a apresentou em 1837 como uma extensão da distribuição binomial que veremos que pode ser estimada com o Poisson.
Há duas características principais de um experimento de Poisson.
- A distribuição de probabilidade de Poisson fornece a probabilidade de vários eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos acontecerem com uma taxa média conhecida.
- Os eventos são independentes do horário desde o último evento. Por exemplo, um editor de livros pode estar interessado no número de palavras escritas incorretamente em um livro específico. Pode ser que, em média, haja cinco palavras escritas incorretamente em 100 páginas. O intervalo é de 100 páginas e presume-se que não haja relação entre a ocorrência de erros ortográficos.
- A variável aleatória\(X\) = o número de ocorrências no intervalo de interesse.
Exemplo\(\PageIndex{12}\)
Um banco espera receber seis cheques sem fundos por dia, em média. Qual é a probabilidade de o banco receber menos de cinco cheques sem fundos em um determinado dia? De interesse é o número de cheques que o banco recebe em um dia, portanto, o intervalo de juros é de um dia. Seja\(X\) = o número de cheques sem fundos que o banco recebe em um dia. Se o banco espera receber seis cheques sem fundos por dia, a média é de seis cheques por dia. Escreva uma declaração matemática para a pergunta probabilística.
- Resposta
-
\(P (x < 5)\)
Exemplo\(\PageIndex{13}\)
Você percebe que um repórter diz “uh”, em média, duas vezes por transmissão. Qual é a probabilidade de o repórter dizer “uh” mais de duas vezes por transmissão.
Esse é um problema de Poisson porque você está interessado em saber quantas vezes o repórter diz “ah” durante uma transmissão.
a. Qual é o intervalo de interesse?
- Resposta
-
a. uma transmissão medida em minutos
b. Qual é o número médio de vezes que o repórter diz “ah” durante uma transmissão?
- Resposta
-
b. 2
c. Seja\(X\) = ____________. Quais valores\(X\) assume?
- Resposta
-
c. Seja\(X\) = o número de vezes que o repórter diz “uh” durante uma transmissão.
\(x = 0, 1, 2, 3\),...
d. A questão da probabilidade é\(P\) (______).
- Resposta
-
d.\(P (x > 2)\)
Notação para o Poisson: P = Função de distribuição de probabilidade de Poisson
\(X \sim P (\mu)\)
Leia isso como “\(X\)é uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson”. O parâmetro é\ (\ mu (ou λ);\ mu (ou λ) = a média do intervalo de interesse. A média é o número de ocorrências que ocorrem em média durante o período de intervalo.
A fórmula para calcular probabilidades que são de um processo de Poisson é:
\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]
onde\(P(X)\) está a probabilidade de\(X\) sucesso,\(\mu\) é o número esperado de sucessos com base em dados históricos, e é o logaritmo natural aproximadamente igual a 2,718 e\(X\) é o número de sucessos por unidade, geralmente por unidade de tempo.
Para usar a distribuição de Poisson, certas suposições devem ser válidas. São eles: a probabilidade de sucesso,\(\mu\), permanece inalterada dentro do intervalo, não pode haver sucessos simultâneos dentro do intervalo e, finalmente, que a probabilidade de sucesso entre os intervalos é independente, a mesma suposição da distribuição binomial.
De certa forma, a distribuição de Poisson pode ser considerada uma maneira inteligente de converter uma variável aleatória contínua, geralmente tempo, em uma variável aleatória discreta dividindo o tempo em intervalos independentes discretos. Essa maneira de pensar sobre o Poisson nos ajuda a entender por que ele pode ser usado para estimar a probabilidade da variável aleatória discreta a partir da distribuição binomial. O Poisson está pedindo a probabilidade de um número de sucessos durante um período de tempo, enquanto o binômio está pedindo a probabilidade de um certo número de sucessos em um determinado número de tentativas.
Exemplo\(\PageIndex{14}\)
A secretária eletrônica de Leah recebe cerca de seis chamadas telefônicas entre 8h e 10h. Qual é a probabilidade de Leah receber mais de uma ligação nos próximos 15 minutos?
Seja X = o número de chamadas que Leah recebe em 15 minutos. (O intervalo de interesse é de 15 minutos ou\(\frac{1}{4}\) hora.)
\(x = 0, 1, 2, 3\),...
Se Leah recebe, em média, seis chamadas telefônicas em duas horas e há oito intervalos de 15 minutos em duas horas, então Leah recebe
\(\left(\frac{1}{8}\right)\)(6) = 0,75 chamadas em 15 minutos, em média. Então,\ mu = 0,75 para esse problema.
\(X \sim P (0.75)\)
Encontre\(P (x > 1). P (x > 1) = 0.1734\)
A probabilidade de Leah receber mais de um telefonema nos próximos 15 minutos é de cerca de 0,1734.
O gráfico de\(X \sim P (0.75)\) é:
O\(y\) eixo -contém a probabilidade de\(x\) onde\(X\) = o número de chamadas em 15 minutos.
Exemplo\(\PageIndex{15}\)
De acordo com uma pesquisa, um professor universitário recebe, em média, 7 e-mails por dia. Seja X = o número de e-mails que um professor recebe por dia. A variável aleatória discreta X assume os valores x = 0, 1, 2... A variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson: X ~ P (7). A média é de 7 e-mails.
- Qual é a probabilidade de um usuário de e-mail receber exatamente 2 e-mails por dia?
- Qual é a probabilidade de um usuário de e-mail receber no máximo 2 e-mails por dia?
- Qual é o desvio padrão?
- Resposta
-
uma.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x_{e}-\mu}}{x !}=\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.022\)
b.\(P(x \leq 2)=\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{-7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}=0.029\)
c. Desvio padrão =\(\sigma=\sqrt{\mu}=\sqrt{7} \approx 2.65\)
Exemplo\(\PageIndex{16}\)
Os usuários de mensagens de texto recebem ou enviam uma média de 41,5 mensagens de texto por dia.
- Quantas mensagens de texto um usuário recebe ou envia por hora?
- Qual é a probabilidade de um usuário de mensagem de texto receber ou enviar duas mensagens por hora?
- Qual é a probabilidade de um usuário de mensagem de texto receber ou enviar mais de duas mensagens por hora?
- Resposta
-
a.let X = o número de textos que um usuário envia ou recebe em uma hora. O número médio de textos recebidos por hora é\(\frac{41.5}{24}\) ≈ 1.7292.
b.\(P(x=2)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{1.729^{2} e^{-1.729}}{2 !}=0.265\)
c.\(P(x>2)=1-P(x \leq 2)=1-\left[\frac{7^{0} e^{-7}}{0 !}+\frac{7^{1} e^{7}}{1 !}+\frac{7^{2} e^{-7}}{2 !}\right]=0.250\)
Exemplo\(\PageIndex{17}\)
Em 13 de maio de 2013, a partir das 16h30, a probabilidade de baixa atividade sísmica nas próximas 48 horas no Alasca foi relatada em cerca de 1,02%. Use essas informações para os próximos 200 dias para descobrir a probabilidade de que haverá baixa atividade sísmica em dez dos próximos 200 dias. Use as distribuições binomial e de Poisson para calcular as probabilidades. Eles estão perto?
- Resposta
-
Seja X = o número de dias com baixa atividade sísmica.
Usando a distribuição binomial:
\[P\left(x=10\right)=\frac{200 !}{10 !(200-10) !} \times .0102^{10} \times .9898^{190}=0.000039\nonumber\]Usando a distribuição de Poisson:
Calcular\(\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04\)\[P\left(x=10\right)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}=\frac{2.04^{10} e^{-2.04}}{10 !}=0.000045\nonumber \]
Esperamos que a aproximação seja boa porque\(n\) é grande (maior que 20) e\(p\) pequena (menor que 0,05). Os resultados estão próximos — ambas as probabilidades relatadas são quase 0.
Estimando a distribuição binomial com a distribuição de Poisson
Descobrimos antes que a distribuição binomial fornecia uma aproximação para a distribuição hipergeométrica. Agora, descobrimos que a distribuição de Poisson pode fornecer uma aproximação para o binômio. Dizemos que a distribuição binomial se aproxima do Poisson. A distribuição binomial se aproxima da distribuição de Poisson quando n fica maior e p é pequeno, de modo que np se torna um valor constante. Existem várias regras básicas para quando se pode dizer que usará um Poisson para estimar um binômio. Sugere-se que np, a média do binômio, deve ser menor que 25. Outro autor sugere que deve ser menor que 7. E outro, observando que a média e a variância do Poisson são ambas iguais, sugere que np e npq, a média e a variância do binômio, devem ser maiores que 5. Não existe uma regra prática amplamente aceita para quando se pode usar o Poisson para estimar o binômio.
À medida que avançamos por essas distribuições de probabilidade, estamos chegando a distribuições mais sofisticadas que, em certo sentido, contêm as distribuições menos sofisticadas dentro delas. Essa proposição foi comprovada por matemáticos. Isso nos leva ao mais alto nível de sofisticação na próxima distribuição de probabilidade, que pode ser usada como uma aproximação a todas as que discutimos até agora. Essa é a distribuição normal.
Exemplo\(\PageIndex{18}\)
Uma pesquisa com 500 alunos do último ano da Price Business School fornece as seguintes informações. 75% vão direto para o trabalho após a formatura. 15% continuam trabalhando em seu MBA. 9% permanecem para obter um menor em outro programa. 1% segue para obter um mestrado em finanças.
Qual é a probabilidade de que mais de 2 alunos do último ano frequentem a pós-graduação para o mestrado em finanças?
- Resposta
-
Isso é claramente um problema de distribuição de probabilidade binomial. As opções são binárias quando definimos os resultados como “Escola de Pós-Graduação em Finanças” versus “todas as outras opções”. A variável aleatória é discreta e os eventos são, poderíamos supor, independentes. Resolvendo como um problema binomial, temos:
Solução binomial
\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]
\[P(0)=\frac{500 !}{0 !(500-0) !} 0.01^{0}(1-0.01)^{500^{-0}}=0.00657\nonumber\]
\[P(1)=\frac{500 !}{1 !(500-1) !} 0.01^{1}(1-0.01)^{500}=0.03318\nonumber\]
\[P(2)=\frac{500 !}{2 !(500-2) !} 0.01^{2}(1-0.01)^{500^{2}}=0.08363\nonumber\]
Somando todos os 3 juntos = 0,12339
\[1−0.12339=0.87661\nonumber\]
Aproximação de Poisson
\[n\cdot p=500\cdot 0.01=5=\mu\nonumber\]
\[n \cdot p \cdot(1-p)=500 \cdot 0.01 \cdot(0.99) \approx 5=\sigma^{2}=\mu\nonumber\]
\[P(X)=\frac{e^{-n p}(n p)^{x}}{x !}=\left\{P(0)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{0}}{0 !}\right\}+\left\{P(1)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{1}}{1 !}\right\}+\left\{P(2)=\frac{e^{-5} \cdot 5^{2}}{2 !}\right\}\nonumber\]
\[0.0067+0.0337+0.0842=0.1247\nonumber\]
\[1−0.1247=0.8753\nonumber\]
Uma aproximação que está errada em 1 milésimo é certamente uma aproximação aceitável.