9.3: Adicionar e subtrair raízes quadradas
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Ao final desta seção, você poderá:
- Adicione e subtraia como raízes quadradas
- Adicione e subtraia raízes quadradas que precisam de simplificação
Sabemos que devemos seguir a ordem das operações para simplificar expressões com raízes quadradas. O radical é um símbolo de agrupamento, então trabalhamos primeiro dentro do radical. \(\sqrt{2+7}\)Simplificamos desta forma:
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{2+7}}\\ {\text{Add inside the radical.}}&{\sqrt{9}}\\ {\text{Simplify.}}&{3}\\ \end{array}\]
Então, se tivermos que adicionar\(\sqrt{2}+\sqrt{7}\), não devemos combiná-los em um radical.
\(\sqrt{2}+\sqrt{7} \ne \sqrt{2+7}\)
Tentar adicionar raízes quadradas com radicandos diferentes é como tentar adicionar termos diferentes.
\[\begin{array}{llll} {\text{But, just like we can}}&{x+x}&{\text{we can add}}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}}\\ {}&{x+x=2x}&{}&{\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Adicionar raízes quadradas com o mesmo radicando é como adicionar termos semelhantes. Chamamos raízes quadradas com o mesmo radicando, como raízes quadradas, para nos lembrar de que elas funcionam da mesma forma que termos semelhantes.
Raízes quadradas com o mesmo radicando são chamadas de raízes quadradas.
Somamos e subtraímos como raízes quadradas da mesma forma que adicionamos e subtraímos termos semelhantes. Sabemos que 3x +8x é 11x. Da mesma forma, adicionamos\(3\sqrt{x}+8\sqrt{x}\) and the result is \(11\sqrt{x}\).
Adicione e subtraia como raízes quadradas
Pense em adicionar termos semelhantes com variáveis conforme você faz nos próximos exemplos. Quando você tem radicandos semelhantes, basta somar ou subtrair os coeficientes. Quando os radicandos não são iguais, você não pode combinar os termos.
Simplifique:\(2\sqrt{2}−7\sqrt{2}\).
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{2}−7\sqrt{2}}\\ {\text{Since the radicals are like, we subtract the coefficients.}}&{−5\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(8\sqrt{2}−9\sqrt{2}\).
- Responda
-
\(−\sqrt{2}\)
Simplifique:\(5\sqrt{3}−9\sqrt{3}\).
- Responda
-
\(−4\sqrt{3}\)
Simplifique:\(3\sqrt{y}+4\sqrt{y}\).
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3\sqrt{y}+4\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{7\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(2\sqrt{x}+7\sqrt{x}\).
- Responda
-
\(9\sqrt{x}\)
Simplifique:\(5\sqrt{u}+3\sqrt{u}\).
- Responda
-
\(8\sqrt{u}\)
Simplifique:\(4\sqrt{x}−2\sqrt{y}\)
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ {\text{Since the radicals are not like, we cannot subtract them. We leave the expression as is.}}&{4\sqrt{x}−2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\).
- Responda
-
\(7\sqrt{p}−6\sqrt{q}\)
Simplifique:\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\).
- Responda
-
\(6\sqrt{a}−3\sqrt{b}\)
Simplifique:\(5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}\).
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{13}+4\sqrt{13}+2\sqrt{13}}\\ {\text{Since the radicals are like, we add the coefficients.}}&{11\sqrt{13}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(4\sqrt{11}+2\sqrt{11}+3\sqrt{11}\).
- Responda
-
\(9\sqrt{11}\)
Simplifique:\(6\sqrt{10}+2\sqrt{10}+3\sqrt{10}\).
- Responda
-
\(11\sqrt{10}\)
Simplifique:\(2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}\).
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{6}−6\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ {\text{Since the first two radicals are like, we subtract their coefficients.}}&{−4\sqrt{6}+3\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(5\sqrt{5}−4\sqrt{5}+2\sqrt{6}\).
- Responda
-
\(\sqrt{5}+2\sqrt{6}\)
Simplifique:\(3\sqrt{7}−8\sqrt{7}+2\sqrt{5}\).
- Responda
-
\(−5\sqrt{7}+2\sqrt{5}\)
Simplifique:\(2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{5n}−6\sqrt{5n}+4\sqrt{5n}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{−0\sqrt{5n}}\\ {\text{Simplify.}}&{0}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{7x}−7\sqrt{7x}+4\sqrt{7x}\).
- Resposta
-
\(−2\sqrt{7x}\)
Simplifique:\(4\sqrt{3y}−7\sqrt{3y}+2\sqrt{3y}\).
- Resposta
-
\(−3\sqrt{y}\)
Quando os radicais contêm mais de uma variável, desde que todas as variáveis e seus expoentes sejam idênticos, os radicais são iguais.
Simplifique:\(\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{3xy}+5\sqrt{3xy}−4\sqrt{3xy}}\\ {\text{Since the radicals are like, we combine them.}}&{2\sqrt{3xy}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{5xy}+4\sqrt{5xy}−7\sqrt{5xy}\).
- Resposta
-
\(−2\sqrt{5xy}\)
Simplifique:\(3\sqrt{7mn}+\sqrt{7mn}−4\sqrt{7mn}\).
- Resposta
-
0
Adicione e subtraia raízes quadradas que precisam de simplificação
Lembre-se de que sempre simplificamos as raízes quadradas removendo o maior fator de quadrado perfeito. Às vezes, quando temos que adicionar ou subtrair raízes quadradas que não parecem ter radicais semelhantes, encontramos radicais semelhantes depois de simplificar as raízes quadradas.
Simplifique:\(\sqrt{20}+3\sqrt{5}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{20}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify the radicals, when possible.}}&{\sqrt{4}·\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {}&{2\sqrt{5}+3\sqrt{5}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{5\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{18}+6\sqrt{2}\).
- Resposta
-
\(9\sqrt{2}\)
Simplifique:\(\sqrt{27}+4\sqrt{3}\).
- Resposta
-
\(7\sqrt{3}\)
Simplifique:\(\sqrt{48}−\sqrt{75}\)
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{48}−\sqrt{75}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{16}·\sqrt{3}−\sqrt{25}·\sqrt{3}}\\ {}&{4\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{32}−\sqrt{18}\).
- Resposta
-
\(\sqrt{2}\)
Simplifique:\(\sqrt{20}−\sqrt{45}\).
- Resposta
-
\(−\sqrt{5}\)
Assim como usamos a Propriedade Associativa de Multiplicação para simplificar 5 (3x) e obter 15x, podemos simplificar\(5(3\sqrt{x})\) and get \(15\sqrt{x}\). We will use the Associative Property to do this in the next example.
Simplifique:\(5\sqrt{18}−2\sqrt{8}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{5\sqrt{18}−2\sqrt{8}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{5·\sqrt{9}·\sqrt{2}−2·\sqrt{4}·\sqrt{2}}\\ {}&{5·3·\sqrt{2}−2·2·\sqrt{2}}\\ {}&{15\sqrt{2}−4\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{11\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(4\sqrt{27}−3\sqrt{12}\).
- Resposta
-
\(6\sqrt{3}\)
Simplifique:\(3\sqrt{20}−7\sqrt{45}\).
- Resposta
-
\(−15\sqrt{5}\)
Simplifique:\(\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{3}{4}\sqrt{192}−\frac{5}{6}\sqrt{108}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{3}{4}\sqrt{64}·\sqrt{3}−\frac{5}{6}\sqrt{36}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{3}{4}·8·\sqrt{3}−\frac{5}{6}·6·\sqrt{3}}\\ {}&{6\sqrt{3}−5\sqrt{3}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\frac{2}{3}\sqrt{108}−\frac{5}{7}\sqrt{147}\).
- Resposta
-
\(−\sqrt{3}\)
Simplifique:\(\frac{3}{5}\sqrt{200}−\frac{3}{4}\sqrt{128}\).
- Resposta
-
0
Simplifique:\(\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{2}{3}\sqrt{48}−\frac{3}{4}\sqrt{12}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\frac{2}{3}\sqrt{16}·\sqrt{3}−\frac{3}{4}\sqrt{4}·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{2}{3}·4·\sqrt{3}−\frac{3}{4}·2·\sqrt{3}}\\ {}&{\frac{8}{3}\sqrt{3}−\frac{3}{2}\sqrt{3}}\\ {\text{Find a common denominator to subtract the coefficients of the like radicals.}}&{\frac{16}{6}\sqrt{3}−\frac{9}{6}\sqrt{3}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{7}{6}\sqrt{3}} \end{array}\]
Simplifique:\(\frac{2}{5}\sqrt{32}−\frac{1}{3}\sqrt{8}\)
- Resposta
-
\(\frac{14}{15}\sqrt{2}\)
Simplifique:\(\frac{1}{3}\sqrt{80}−\frac{1}{4}\sqrt{125}\)
- Resposta
-
\(\frac{1}{12}[\sqrt{5}\)
No próximo exemplo, removeremos fatores constantes e variáveis das raízes quadradas.
Simplifique:\(\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}\)
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{18n^5}−\sqrt{32n^5}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{\sqrt{9n^4}·\sqrt{2n}−\sqrt{16n^4}·\sqrt{2n}}\\ {}&{3n^2\sqrt{2n}−4n^2\sqrt{2n}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−n^2\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{32m^7}−\sqrt{50m^7}\).
- Resposta
-
\(−m^3\sqrt{2m}\)
Simplifique:\(\sqrt{27p^3}−\sqrt{48p^3}\)
- Resposta
-
\(−p^3\sqrt{p}\)
Simplifique:\(9\sqrt{50m^2}−6\sqrt{48m^2}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{9\sqrt{50m^{2}}−6\sqrt{48m^{2}}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{9\sqrt{25m^{2}}·\sqrt{2}−6·\sqrt{16m^{2}}·\sqrt{3}}\\ {}&{9·5m·\sqrt{2}−6·4m·\sqrt{3}}\\ {}&{45m\sqrt{2}−24m\sqrt{3}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(5\sqrt{32x^2}−3\sqrt{48x^2}\).
- Resposta
-
\(20x\sqrt{2}−12x\sqrt{3}\)
Simplifique:\(7\sqrt{48y^2}−4\sqrt{72y^2}\).
- Resposta
-
\(28y\sqrt{3}−24y\sqrt{2}\)
Simplifique:\(2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{2\sqrt{8x^2}−5x\sqrt{32}+5\sqrt{18x^2}}\\ {\text{Simplify the radicals.}}&{2\sqrt{4x^2}·\sqrt{2}−5x\sqrt{16}·\sqrt{2}+5\sqrt{9x^2}·\sqrt{2}}\\ {}&{2·2x·\sqrt{2}−5x·4·\sqrt{2}+5·3x·\sqrt{2}}\\ {}&{4x\sqrt{2}−20x\sqrt{2}+15x\sqrt{2}}\\ {\text{Combine the like radicals.}}&{−x\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(3\sqrt{12x^2}−2x\sqrt{48}+4\sqrt{27x^2}\)
- Resposta
-
\(10x\sqrt{3}\)
Simplifique:\(3\sqrt{18x^2}−6x\sqrt{32}+2\sqrt{50x^2}\).
- Resposta
-
\(−5x\sqrt{2}\)
Acesse este recurso on-line para obter instruções e práticas adicionais com a adição e subtração de raízes quadradas.
- Adicionando/subtraindo raízes quadradas
Glossário
- como raízes quadradas
- Raízes quadradas com o mesmo radicando são chamadas de raízes quadradas.