14.6: Princípio e flutuabilidade de Arquimedes
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- Defina a força de empuxo
- Princípio estadual de Arquimedes
- Descreva a relação entre densidade e o princípio de Arquimedes
Quando colocados em um fluido, alguns objetos flutuam devido a uma força de empuxo. De onde vem essa força de empuxo? Por que algumas coisas flutuam e outras não? Os objetos que afundam recebem algum suporte do fluido? Seu corpo está impulsionado pela atmosfera ou apenas os balões de hélio são afetados (Figura\(\PageIndex{1}\))?
As respostas a todas essas perguntas e muitas outras são baseadas no fato de que a pressão aumenta com a profundidade de um fluido. Isso significa que a força ascendente na parte inferior de um objeto em um fluido é maior do que a força descendente na parte superior do objeto. Há uma força ascendente, ou força de empuxo, em qualquer objeto em qualquer fluido (Figura\(\PageIndex{2}\)). Se a força de empuxo for maior que o peso do objeto, o objeto sobe à superfície e flutua. Se a força de empuxo for menor que o peso do objeto, o objeto afunda. Se a força de empuxo for igual ao peso do objeto, o objeto poderá permanecer suspenso em sua profundidade atual. A força de empuxo está sempre presente, independentemente de o objeto flutuar, afundar ou estar suspenso em um fluido.
A força de empuxo é a força ascendente em qualquer objeto em qualquer fluido.
Princípio de Arquimedes
Quão grande é a força de empuxo? Para responder a essa pergunta, pense no que acontece quando um objeto submerso é removido de um fluido, como na Figura\(\PageIndex{3}\). Se o objeto não estivesse no fluido, o espaço ocupado pelo objeto seria preenchido por um fluido com um peso w fl. Esse peso é suportado pelo fluido circundante, então a força de empuxo deve ser igual a w fl, o peso do fluido deslocado pelo objeto.
A força de empuxo em um objeto é igual ao peso do fluido que ele desloca. Em forma de equação, o princípio de Arquimedes é
\[F_{B} = w_{fl},\]
onde F B é a força de empuxo e w fl é o peso do fluido deslocado pelo objeto.
Esse princípio tem o nome do matemático e inventor grego Arquimedes (cerca de 287—212 a.C.), que declarou esse princípio muito antes de os conceitos de força estarem bem estabelecidos.
O princípio de Arquimedes se refere à força de empuxo que resulta quando um corpo é submerso em um fluido, seja parcial ou totalmente. A força que fornece a pressão de um fluido atua em um corpo perpendicular à superfície do corpo. Em outras palavras, a força devida à pressão na parte inferior é apontada para cima, enquanto na parte superior, a força devido à pressão é apontada para baixo; as forças devidas às pressões nas laterais estão apontando para o corpo.
Como a parte inferior do corpo está em uma profundidade maior que a parte superior do corpo, a pressão na parte inferior do corpo é maior do que a pressão na parte superior, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). Portanto, uma força ascendente líquida atua no corpo. Essa força ascendente é a força de empuxo, ou simplesmente flutuabilidade.
A exclamação “Eureka” (que significa “eu a encontrei”) tem sido frequentemente creditada a Arquimedes quando ele fez a descoberta que levaria ao princípio de Arquimedes. Alguns dizem que tudo começou em uma banheira. Para ler a história, explore a Scientific American para saber mais.
Densidade e Princípio de Arquimedes
Se você soltar um pedaço de argila na água, ele afundará. Mas se você moldar o mesmo pedaço de argila na forma de um barco, ele flutuará. Por causa de sua forma, o barco de barro desloca mais água do que o caroço e experimenta uma força de empuxo maior, mesmo que sua massa seja a mesma. O mesmo se aplica aos navios de aço.
A densidade média de um objeto é o que, em última análise, determina se ele flutua. Se a densidade média de um objeto for menor que a do fluido circundante, ele flutuará. A razão é que o fluido, com maior densidade, contém mais massa e, portanto, mais peso no mesmo volume. A força de empuxo, que é igual ao peso do fluido deslocado, é, portanto, maior que o peso do objeto. Da mesma forma, um objeto mais denso que o fluido afundará.
A extensão em que um objeto flutuante está submerso depende de como a densidade do objeto se compara à densidade do fluido. Na Figura\(\PageIndex{4}\), por exemplo, o navio descarregado tem uma densidade menor e menos está submerso em comparação com o mesmo navio quando carregado. Podemos derivar uma expressão quantitativa para a fração submersa considerando a densidade. A fração submersa é a razão entre o volume submerso e o volume do objeto, ou
\[fraction\; submerged = \frac{V_{sub}}{V_{obj}} = \frac{V_{fl}}{V_{obj}} \ldotp\]
O volume submerso é igual ao volume de fluido deslocado, que chamamos de V fl. Agora podemos obter a relação entre as densidades\(\rho = \frac{m}{V}\) substituindo-as na expressão. Isso dá
\[\frac{V_{fl}}{V_{obj}} = \frac{\frac{m_{fl}}{\rho_{fl}}}{\frac{m_{obj}}{\rho_{obj}}},\]
onde\(\rho_{obj}\) é a densidade média do objeto e\(\rho_{fl}\) é a densidade do fluido. Como o objeto flutua, sua massa e a do fluido deslocado são iguais, então elas se cancelam da equação, deixando
\[fraction\; submerged = \frac{\rho_{obj}}{\rho_{fl}} \ldotp\]
Podemos usar essa relação para medir densidades.
Suponha que uma mulher de 60,0 kg flutue em água doce com 97,0% de seu volume submerso quando seus pulmões estão cheios de ar. Qual é a densidade média dela?
Estratégia
Podemos encontrar a densidade da mulher resolvendo a equação
\[fraction\; submerged = \frac{\rho_{obj}}{\rho_{fl}}\]
para a densidade do objeto. Isso rende
\[\rho_{obj} = \rho_{person} = (fraction\; submerged) \cdotp \rho_{fl} \ldotp\]
Conhecemos tanto a fração submersa quanto a densidade da água, então podemos calcular a densidade da mulher.
Solução
Inserindo os valores conhecidos na expressão de sua densidade, obtemos
\[\rho_{person} = 0.970 \cdotp 10^{3}\; kg/m^{3} = 970\; kg/m^{3} \ldotp\]
Significância
A densidade da mulher é menor que a densidade do fluido. Esperamos isso porque ela flutua.
Inúmeros objetos ou substâncias de baixa densidade flutuam em fluidos de alta densidade: óleo sobre a água, um balão de ar quente na atmosfera, um pouco de cortiça no vinho, um iceberg em água salgada e cera quente em uma “lâmpada de lava”, para citar alguns. Um exemplo menos óbvio são as cadeias de montanhas flutuando na crosta de maior densidade e no manto abaixo delas. Até a Terra aparentemente sólida tem características fluidas.
Medindo a densidade
Uma das técnicas mais comuns para determinar a densidade é mostrada na Figura\(\PageIndex{5}\).
Um objeto, aqui uma moeda, é pesado no ar e depois pesado novamente enquanto está submerso em um líquido. A densidade da moeda, uma indicação de sua autenticidade, pode ser calculada se a densidade do fluido for conhecida. Podemos usar essa mesma técnica para determinar a densidade do fluido se a densidade da moeda for conhecida.
Todos esses cálculos são baseados no princípio de Arquimedes, que afirma que a força de empuxo no objeto é igual ao peso do fluido deslocado. Isso, por sua vez, significa que o objeto parece pesar menos quando submerso; chamamos essa medida de peso aparente do objeto. O objeto sofre uma aparente perda de peso igual ao peso do fluido deslocado. Alternativamente, em balanças que medem a massa, o objeto sofre uma aparente perda de massa igual à massa do fluido deslocado. Ou seja, a perda aparente de peso é igual ao peso do fluido deslocado, ou a perda aparente de massa é igual à massa do fluido deslocado.