Skip to main content
Global

14.5: Princípio e Hidráulica de Pascal

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    185649

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Objetivos de
    • Declare o princípio de Pascal
    • Descreva as aplicações do princípio de Pascal
    • Derive relações entre forças em um sistema hidráulico

    Em 1653, o filósofo e cientista francês Blaise Pascal publicou seu Tratado sobre o Equilíbrio de Líquidos, no qual discutiu os princípios dos fluidos estáticos. Um fluido estático é um fluido que não está em movimento. Quando um fluido não está fluindo, dizemos que o fluido está em equilíbrio estático. Se o fluido for água, dizemos que está em equilíbrio hidrostático. Para um fluido em equilíbrio estático, a força líquida em qualquer parte do fluido deve ser zero; caso contrário, o fluido começará a fluir.

    As observações de Pascal — desde que comprovadas experimentalmente — fornecem a base para a hidráulica, um dos desenvolvimentos mais importantes na tecnologia mecânica moderna. Pascal observou que uma mudança na pressão aplicada a um fluido fechado é transmitida sem diminuir por todo o fluido e para as paredes de seu recipiente. Por causa disso, geralmente sabemos mais sobre pressão do que outras quantidades físicas em fluidos. Além disso, o princípio de Pascal implica que a pressão total em um fluido é a soma das pressões de diferentes fontes. Um bom exemplo é que o fluido em profundidade depende da profundidade do fluido e da pressão da atmosfera.

    Princípio de Pascal

    O princípio de Pascal (também conhecido como lei de Pascal) afirma que quando uma mudança na pressão é aplicada a um fluido fechado, ela é transmitida sem diminuição para todas as partes do fluido e para as paredes de seu recipiente. Em um fluido fechado, como os átomos do fluido podem se mover livremente, eles transmitem pressão para todas as partes do fluido e para as paredes do recipiente. Qualquer alteração na pressão é transmitida sem diminuição.

    Observe que esse princípio não diz que a pressão é a mesma em todos os pontos de um fluido — o que não é verdade, já que a pressão em um fluido próximo à Terra varia com a altura. Pelo contrário, esse princípio se aplica à mudança na pressão. Suponha que você coloque um pouco de água em um recipiente cilíndrico de altura H e área transversal A que tenha um pistão móvel de massa m (Figura\(\PageIndex{1}\)). Adicionar peso Mg na parte superior do pistão aumenta a pressão na parte superior em\(\frac{Mg}{A}\), pois o peso adicional também atua na área A da tampa:

    \[\Delta p_{top} = \frac{Mg}{A} \ldotp\]

    A Figura A é um desenho esquemático de um cilindro cheio de fluido e aberto para a atmosfera de um lado. Um disco de massa m e área de superfície A idêntico à área da superfície do cilindro é colocado no recipiente. A distância entre o disco e a parte inferior do cilindro é h. A Figura B é um desenho esquemático do cilindro com um disco adicional de massa Mg colocado sobre a massa m fazendo com que a massa m se mova para baixo.
    Figura\(\PageIndex{1}\): A pressão em um fluido muda quando o fluido é comprimido. (a) A pressão na camada superior do fluido é diferente da pressão na camada inferior. (b) O aumento da pressão ao adicionar peso ao pistão é o mesmo em todos os lugares, por exemplo, p top new − p top = p bottom new − p bottom.

    De acordo com o princípio de Pascal, a pressão em todos os pontos da água muda na mesma quantidade\(\frac{Mg}{A}\). Assim, a pressão na parte inferior também aumenta em\(\frac{Mg}{A}\). A pressão no fundo do recipiente é igual à soma da pressão atmosférica, da pressão devida ao fluido e da pressão fornecida pela massa. A mudança na pressão na parte inferior do recipiente devido à massa é

    \[\Delta p_{bottom} = \frac{Mg}{A} \ldotp\]

    Como as mudanças de pressão são as mesmas em todos os lugares do fluido, não precisamos mais de assinaturas para designar a mudança de pressão para a parte superior ou inferior:

    \[\Delta p = \Delta p_{top} = \Delta p_{bottom} = \Delta p_{everywhere} \ldotp\]

    Simulação

    Pascal's Barrel é uma ótima demonstração do princípio de Pascal. Assista a uma simulação do experimento de 1646 de Pascal, na qual ele demonstrou os efeitos da mudança de pressão em um fluido.

    Aplicações do Princípio de Pascal e Sistemas Hidráulicos

    Os sistemas hidráulicos são usados para operar freios automotivos, macacos hidráulicos e vários outros sistemas mecânicos (Figura\(\PageIndex{2}\)).

    Um desenho esquemático de um sistema hidráulico com dois cilindros cheios de fluido, tampados com pistões e conectados por um tubo. Uma força descendente F1 no pistão esquerdo com a área de superfície A1 cria uma mudança na pressão que resulta em uma força ascendente F2 no pistão direito com a área de superfície A2. A área de superfície A2 é maior do que a área de superfície A1.
    Figura\(\PageIndex{2}\): Um sistema hidráulico típico com dois cilindros cheios de fluido, tampados com pistões e conectados por um tubo chamado linha hidráulica. Uma força descendente\(\vec{F}_{1}\) no pistão esquerdo cria uma mudança na pressão que é transmitida sem diminuir para todas as partes do fluido fechado. Isso resulta em uma força ascendente\(\vec{F}_{2}\) no pistão direito que é maior do que\(\vec{F}_{1}\) porque o pistão direito tem uma área de superfície maior.

    Podemos derivar uma relação entre as forças nesse sistema hidráulico simples aplicando o princípio de Pascal. Observe primeiro que os dois pistões do sistema estão na mesma altura, portanto, não há diferença na pressão devido a uma diferença na profundidade. A pressão devida a F 1 atuando na área A 1 é simplesmente

    \(p_{1} = \frac{F_{1}}{A_{1}}\), conforme definido por\(p = \frac{F}{A}\).

    De acordo com o princípio de Pascal, essa pressão é transmitida sem diminuir por todo o fluido e para todas as paredes do recipiente. Assim, uma pressão p 2 é sentida no outro pistão que é igual a p 1. Ou seja, p 1 = p 2. No entanto, como p 2 =\(\frac{F_{2}}{A_{2}}\), vemos que

    \[\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}} \ldotp \label{14.12}\]

    Essa equação relaciona as relações entre força e área em qualquer sistema hidráulico, desde que os pistões estejam na mesma altura vertical e que o atrito no sistema seja insignificante.

    Os sistemas hidráulicos podem aumentar ou diminuir a força aplicada a eles. Para aumentar a força, a pressão é aplicada em uma área maior. Por exemplo, se uma força de 100-N for aplicada ao cilindro esquerdo na Figura 14.16 e o cilindro direito tiver uma área cinco vezes maior, a força de saída será 500 N. Os sistemas hidráulicos são análogos às alavancas simples, mas têm a vantagem de que a pressão pode ser enviada através de linhas tortuosamente curvas para várias lugares ao mesmo tempo.

    O conector hidráulico é um sistema hidráulico desse tipo. Um macaco hidráulico é usado para levantar cargas pesadas, como as usadas pelos mecânicos de automóveis para levantar um automóvel. Consiste em um fluido incompressível em um tubo em U equipado com um pistão móvel em cada lado. Um lado do tubo em U é mais estreito que o outro. Uma pequena força aplicada sobre uma área pequena pode equilibrar uma força muito maior do outro lado sobre uma área maior (Figura\(\PageIndex{3}\)).

    A Figura A é um desenho esquemático de um tubo U preenchido com um fluido. Uma força descendente F1 é aplicada no lado esquerdo com a área de superfície A1. Uma força descendente F2 é aplicada no lado direito com a área de superfície A2. A área de superfície A2 é maior do que a área de superfície A1.A Figura B é uma foto do carro de passageiros colocado no macaco hidráulico.
    Figura\(\PageIndex{3}\): (a) Um macaco hidráulico opera aplicando forças (F 1, F 2) a um fluido incompressível em um tubo em U, usando um pistão móvel (A 1, A 2) em cada lado do tubo. (b) Os macacos hidráulicos são comumente usados por mecânicos de automóveis para levantar veículos, de modo que reparos e manutenção possam ser realizados.

    A partir do princípio de Pascal, pode-se demonstrar que a força necessária para levantar o carro é menor que o peso do carro:

    \[F_{1} = \frac{A_{1}}{A_{2}} F_{2},\]

    onde F 1 é a força aplicada para levantar o carro, A 1 é a área da seção transversal do pistão menor, A 2 é a área da seção transversal do pistão maior e F 2 é o peso do carro.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Force on Wheel Cylinders: Pascal Puts on the Brakes

    Considere o sistema hidráulico do automóvel mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\). Suponha que uma força de 100 N seja aplicada ao pedal do freio, que atua no cilindro do pedal (atuando como um cilindro “mestre”) por meio de uma alavanca. Uma força de 500 N é exercida no cilindro do pedal. A pressão criada no cilindro do pedal é transmitida aos cilindros das quatro rodas. O cilindro do pedal tem um diâmetro de 0,500 cm e cada cilindro da roda tem um diâmetro de 2,50 cm. Calcule a magnitude da força F 2 criada em cada um dos cilindros da roda.

    A figura é um desenho esquemático de um sistema de freio hidráulico. Um pé é aplicado ao pedal do freio com a força F1. É transmitido para o cilindro do pedal com a área A1 de 0,5 cm. O cilindro do pedal é conectado ao sistema hidráulico com dois cilindros de roda com uma área A2 de 2,5 cm. Os cilindros de roda criam força de saída F2.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Os freios hidráulicos usam o princípio de Pascal. O motorista empurra o pedal do freio, exercendo uma força que é aumentada pela alavanca simples e novamente pelo sistema hidráulico. Cada um dos cilindros de roda idênticos recebe a mesma pressão e, portanto, cria a mesma saída de força F 2. As áreas circulares da seção transversal dos cilindros do pedal e da roda são representadas por A 1 e A 2, respectivamente

    Estratégia

    Recebemos a força F 1 aplicada ao cilindro do pedal. As áreas transversais A 1 e A 2 podem ser calculadas a partir de seus diâmetros fornecidos. Então, podemos usar a seguinte relação para encontrar a força F 2:

    \[\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}} \ldotp\]

    Manipule isso algebricamente para obter F 2 de um lado e substituir valores conhecidos.

    Solução

    O princípio de Pascal aplicado aos sistemas hidráulicos é dado por\(\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}\):

    \[\begin{split} F_{2} & = \frac{A_{2}}{A_{1}} F_{1} = \frac{\pi r_{2}^{2}}{\pi r_{1}^{2}} F_{1} \\ & = \frac{(1.25\; cm)^{2}}{(0.250\; cm)^{2}} \times 500\; N = 1.25 \times 10^{4}\; N \ldotp \end{split}\]

    Significância

    Esse valor é a força exercida por cada um dos quatro cilindros das rodas. Observe que podemos adicionar quantos cilindros de roda quisermos. Se cada um tiver um diâmetro de 2,50 cm, cada um exercerá 1,25 x 10 4 N. Um sistema hidráulico simples, como exemplo de uma máquina simples, pode aumentar a força, mas não pode fazer mais trabalho do que o feito nele. O trabalho é a força vezes a distância percorrida e o cilindro da roda se move por uma distância menor do que o cilindro do pedal. Além disso, quanto mais rodas forem adicionadas, menor será a distância que cada uma se move. Muitos sistemas hidráulicos, como freios elétricos e aqueles em escavadeiras, têm uma bomba motorizada que realmente faz a maior parte do trabalho no sistema.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Uma prensa hidráulica ainda funcionaria adequadamente se fosse usado um gás em vez de um líquido?