13.8: Teoria da Gravidade de Einstein

Objetivos de

• Descreva como a teoria da relatividade geral aborda a gravitação
• Explicar o princípio da equivalência
• Calcular o raio de Schwarzschild de um objeto
• Resuma as evidências de buracos negros

A lei da gravitação universal de Newton prevê com precisão muito do que vemos em nosso sistema solar. De fato, somente as leis de Newton foram necessárias para enviar com precisão todos os veículos espaciais em sua jornada. Os caminhos dos asteróides que cruzam a Terra e a maioria dos outros objetos celestes podem ser determinados com precisão somente com as leis de Newton. No entanto, muitos fenômenos mostraram uma discrepância com o que as leis de Newton preveem, incluindo a órbita de Mercúrio e o efeito que a gravidade tem na luz. Nesta seção, examinamos uma maneira diferente de visualizar a gravitação.

Uma revolução na perspectiva

Em 1905, Albert Einstein publicou sua teoria da relatividade especial. Essa teoria é discutida em detalhes na Relatividade, então dizemos apenas algumas palavras aqui. Nessa teoria, nenhum movimento pode exceder a velocidade da luz — é o limite de velocidade do Universo. Esse simples fato foi verificado em inúmeros experimentos. No entanto, isso tem consequências incríveis — espaço e tempo não são mais absolutos. Duas pessoas se movendo uma em relação à outra não concordam sobre a duração dos objetos ou a passagem do tempo. Quase toda a mecânica que você aprendeu nos capítulos anteriores, embora extremamente precisa, mesmo em velocidades de muitos milhares de quilômetros por segundo, começa a falhar quando se aproxima da velocidade da luz.

Esse limite de velocidade no Universo também foi um desafio à suposição inerente à lei da gravitação de Newton de que a gravidade é uma força de ação à distância. Ou seja, sem contato físico, qualquer mudança na posição de uma massa é comunicada instantaneamente a todas as outras massas. Essa suposição não vem de nenhum primeiro princípio, pois a teoria de Newton simplesmente não aborda a questão. (O mesmo também se acreditava nas forças eletromagnéticas. É justo dizer que a maioria dos cientistas não estava completamente confortável com o conceito de ação à distância.)

Uma segunda suposição também aparece na Lei da Gravitação de Newton Equação 13.2.1. Supõe-se que as massas sejam exatamente as mesmas usadas na segunda lei de Newton,\(\vec{F}\) =\(\vec{a}\) m. Fizemos essa suposição em muitas de nossas derivações neste capítulo. Novamente, não há um princípio subjacente de que isso deva ser, mas os resultados experimentais são consistentes com essa suposição. Na teoria da relatividade geral subsequente de Einstein (1916), essas duas questões foram abordadas. Sua teoria era uma teoria da geometria espaço-temporal e de como a massa (e a aceleração) distorcem e interagem com esse espaço-tempo. Não era uma teoria das forças gravitacionais. A matemática da teoria geral está além do escopo deste texto, mas podemos examinar alguns princípios subjacentes e suas consequências.

O Princípio da Equivalência

Einstein chegou à sua teoria geral em parte ao se perguntar por que alguém que estava caindo livremente não sentia seu peso. De fato, é comum falar em astronautas que orbitam a Terra como sendo sem peso, apesar do fato de a gravidade da Terra ainda ser bastante forte lá. Na teoria geral de Einstein, não há diferença entre queda livre e ausência de peso. Isso é chamado de princípio da equivalência. O corolário igualmente surpreendente disso é que não há diferença entre um campo gravitacional uniforme e uma aceleração uniforme na ausência de gravidade. Vamos nos concentrar nessa última declaração. Embora um campo gravitacional perfeitamente uniforme não seja viável, podemos aproximá-lo muito bem.

Dentro de um laboratório de tamanho razoável na Terra, o campo gravitacional\(\vec{g}\) é essencialmente uniforme. O corolário afirma que qualquer experimento físico realizado lá tem resultados idênticos aos feitos em um laboratório acelerando\(\vec{a} = \vec{g}\) no espaço profundo, bem longe de todas as outras massas. A figura\(\PageIndex{1}\) ilustra o conceito.

Figura\(\PageIndex{1}\): De acordo com o princípio da equivalência, os resultados de todos os experimentos realizados em um laboratório em um campo gravitacional uniforme são idênticos aos resultados dos mesmos experimentos realizados em um laboratório de aceleração uniforme.

Como essas duas situações aparentemente fundamentalmente diferentes podem ser as mesmas? A resposta é que a gravitação não é uma força entre dois objetos, mas é o resultado de cada objeto responder ao efeito que o outro tem no espaço-tempo que o cerca. Um campo gravitacional uniforme e uma aceleração uniforme têm exatamente o mesmo efeito no espaço-tempo.

Uma teoria geométrica da gravidade

A geometria euclidiana assume um espaço “plano” no qual, entre os atributos mais conhecidos, uma linha reta é a menor distância entre dois pontos, a soma dos ângulos de todos os triângulos deve ser de 180 graus e as linhas paralelas nunca se cruzam. A geometria não euclidiana não foi seriamente investigada até o século XIX, então não é surpreendente que o espaço euclidiano seja inerentemente assumido em todas as leis de Newton.

A teoria geral da relatividade desafia essa suposição de longa data. Somente o espaço vazio é plano. A presença de massa — ou energia, já que a relatividade não faz distinção entre as duas — distorce ou curva o espaço e o tempo, ou espaço-tempo, ao seu redor. O movimento de qualquer outra massa é simplesmente uma resposta a esse espaço-tempo curvo. A figura\(\PageIndex{2}\) é uma representação bidimensional de uma massa menor orbitando em resposta ao espaço distorcido criado pela presença de uma massa maior. Em uma imagem mais precisa, mas confusa, também veríamos o espaço distorcido pela massa em órbita, e ambas as massas estariam em movimento em resposta à distorção total do espaço. Observe que a figura é uma representação para ajudar a visualizar o conceito. Essas são distorções em nosso espaço e tempo tridimensionais. Não os vemos como se fossem uma covinha em uma bola. Vemos a distorção apenas por meio de medições cuidadosas do movimento dos objetos e da luz à medida que eles se movem pelo espaço.

Figura\(\PageIndex{2}\): Uma massa menor orbitando no espaço-tempo distorcido de uma massa maior. Na verdade, toda massa ou energia distorce o espaço-tempo.

Para campos gravitacionais fracos, os resultados da relatividade geral não diferem significativamente da lei da gravitação de Newton. Mas para campos gravitacionais intensos, os resultados divergem e foi demonstrado que a relatividade geral prediz os resultados corretos. Mesmo no campo gravitacional relativamente fraco do nosso Sol à distância da órbita de Mercúrio, podemos observar o efeito. A partir de meados de 1800, a órbita elíptica de Mercúrio foi cuidadosamente medida. No entanto, embora seja elíptico, seu movimento é complicado pelo fato de que a posição do periélio da elipse avança lentamente. A maior parte do avanço se deve à atração gravitacional de outros planetas, mas uma pequena parte desse avanço não pôde ser explicada pela lei de Newton. Certa vez, houve até uma busca por um planeta “companheiro” que explicasse a discrepância. Mas a relatividade geral prediz corretamente as medições. Desde então, muitas medições, como a deflexão da luz de objetos distantes pelo Sol, verificaram que a relatividade geral prediz corretamente as observações.

Encerramos esta discussão com um comentário final. Muitas vezes nos referimos a distorções do espaço-tempo ou distorções no espaço e no tempo. Tanto na relatividade especial quanto na geral, a dimensão do tempo tem pé de igualdade com cada dimensão espacial (diferindo em seu lugar em ambas as teorias apenas por um fator de escala, em última análise, sem importância). Perto de uma massa muito grande, não apenas o espaço próximo está “estendido”, mas o tempo está dilatado ou “desacelerado”. Discutiremos mais sobre esses efeitos na próxima seção.

Buracos negros

A teoria da gravitação de Einstein é expressa em uma equação tensora aparentemente simples (os tensores são uma generalização de escalares e vetores), que expressa como uma massa determina a curvatura do espaço-tempo ao seu redor. As soluções para essa equação produzem uma das previsões mais fascinantes: o buraco negro. A previsão é que, se um objeto for suficientemente denso, ele colapsará sobre si mesmo e será cercado por um horizonte de eventos do qual nada poderá escapar. O nome “buraco negro”, que foi cunhado pelo astrônomo John Wheeler em 1969, se refere ao fato de que a luz não pode escapar de tal objeto. Karl Schwarzschild foi a primeira pessoa a notar esse fenômeno em 1916, mas naquela época, era considerado principalmente uma curiosidade matemática.

Surpreendentemente, a ideia de um corpo enorme do qual a luz não pode escapar remonta ao final dos anos 1700. Independentemente, John Michell e Pierre Simon Laplace usaram a lei da gravitação de Newton para mostrar que a luz saindo da superfície de uma estrela com massa suficiente não poderia escapar. Seu trabalho foi baseado no fato de que a velocidade da luz havia sido medida por Ole Roemer em 1676. Ele notou discrepâncias nos dados do período orbital da lua Io em torno de Júpiter. Roemer percebeu que a diferença surgiu das posições relativas da Terra e de Júpiter em momentos diferentes e que ele poderia encontrar a velocidade da luz a partir dessa diferença. Michell e Laplace perceberam que, como a luz tinha uma velocidade finita, poderia haver uma estrela com massa suficiente para que a velocidade de fuga de sua superfície pudesse exceder essa velocidade. Portanto, a luz sempre voltava para a estrela. Estranhamente, observadores distantes o suficiente das maiores estrelas não conseguiriam vê-las, mas podiam ver uma estrela menor à mesma distância.

Lembre-se de que em Energia Potencial Gravitacional e Energia Total, descobrimos que a velocidade de escape\(v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}\), dada por, é independente da massa do objeto que escapa. Embora a natureza da luz não tenha sido totalmente compreendida na época, a massa de luz, se ela tivesse alguma, não era relevante. Portanto, essa equação deve ser válida para a luz. Substituindo c, a velocidade da luz, pela velocidade de escape, temos

\[v_{esc} = c = \sqrt{\dfrac{2GM}{R}} \ldotp\]

Portanto, precisamos apenas de valores para R e M, de forma que a velocidade de escape exceda c e, então, a luz não consiga escapar. Michell postulou que se uma estrela tivesse a densidade do nosso Sol e um raio que se estendesse um pouco além da órbita de Marte, a luz não seria capaz de escapar de sua superfície. Ele também conjecturou que ainda seríamos capazes de detectar tal estrela a partir do efeito gravitacional que ela teria nos objetos ao seu redor. Essa foi uma conclusão perspicaz, pois é exatamente assim que inferimos a existência de tais objetos hoje. Embora ainda não tenhamos visitado e talvez nunca tenhamos visitado um buraco negro, a evidência circunstancial deles se tornou tão convincente que poucos astrônomos duvidam de sua existência.

Antes de examinarmos algumas dessas evidências, voltamos nossa atenção para a solução de Schwarzschild para a equação tensora da relatividade geral. Nessa solução surge um raio crítico, agora chamado de raio de Schwarzschild (R _S). Para qualquer massa M, se essa massa for comprimida na medida em que seu raio se tornar menor que o raio de Schwarzschild, a massa colapsará até uma singularidade, e qualquer coisa que passe dentro desse raio não poderá escapar. Uma vez dentro do R _S, a seta do tempo leva todas as coisas à singularidade. (Em um sentido matemático amplo, uma singularidade é quando o valor de uma função vai para o infinito. Nesse caso, é um ponto no espaço de volume zero com uma massa finita. Portanto, a densidade de massa e a energia gravitacional se tornam infinitas.) O raio de Schwarzschild é dado por

\[R_{S} = \dfrac{2GM}{c^{2}} \ldotp \label{13.12}\]

Se você observar nossa equação de velocidade de escape com v _esc = c, notará que ela fornece exatamente esse resultado. Mas isso é apenas um acidente fortuito causado por várias suposições incorretas. Uma dessas suposições é o uso da expressão clássica incorreta para a energia cinética da luz. O quão denso um objeto precisa ser para se transformar em um buraco negro?

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating the Schwarzschild Radius

Calcule o raio de Schwarzschild tanto para o Sol quanto para a Terra. Compare a densidade do núcleo de um átomo com a densidade necessária para comprimir a massa da Terra uniformemente em seu raio de Schwarzschild. A densidade de um núcleo é de cerca de 2,3 x 10 ¹⁷ kg/m ³.

Estratégia

Usamos a Equação\ ref {13.12} para esse cálculo. Precisamos apenas das massas da Terra e do Sol, que obtemos dos dados astronômicos fornecidos no Apêndice D.

Solução

Substituindo a massa do Sol, temos

\[R_{S} = \dfrac{2GM}{c^{2}} = \dfrac{2(6.67 \times 10^{-11}\; N\; \cdotp m^{2}/kg^{2})(1.99 \times 10^{30}\; kg)}{(3.0 \times 10^{8}\; m/s)^{2}} = 2.95 \times 10^{3}\; m \ldotp\]

Este é um diâmetro de apenas cerca de 6 km. Se usarmos a massa da Terra, obtemos R _S = 8,85 x 10 ⁻³ m. Este é um diâmetro de menos de 2 cm! Se empacotarmos a massa da Terra em uma esfera com o raio R _S = 8,85 x 10 ⁻³ m, obteremos uma densidade de

\[\rho = \dfrac{mass}{volume} = \dfrac{5.97 \times 10^{24}\; kg}{\dfrac{4}{3} \pi (8.85 \times 10^{-3}\; m)^{3}} = 2.06 \times 10^{30}\; kg/m^{3} \ldotp\]

Significância

Uma estrela de nêutrons é o objeto mais compacto conhecido — fora do próprio buraco negro. A estrela de nêutrons é composta por nêutrons, com a densidade de um núcleo atômico, e, como muitos buracos negros, acredita-se que seja o remanescente de uma supernova — uma estrela que explode no final de sua vida. Para criar um buraco negro a partir da Terra, teríamos que comprimi-lo a uma densidade treze ordens de magnitude maior que a de uma estrela de nêutrons. Esse processo exigiria uma força inimaginável. Não há nenhum mecanismo conhecido que possa fazer com que um objeto do tamanho da Terra se torne um buraco negro. Para o Sol, você deve ser capaz de mostrar que ele teria que ser comprimido até uma densidade apenas cerca de 80 vezes a de um núcleo. (Nota: Uma vez que a massa é comprimida dentro de seu raio de Schwarzschild, a relatividade geral determina que ela colapsará para uma singularidade. Esses cálculos apenas mostram a densidade que devemos alcançar para iniciar esse colapso.)

Exercícios\(\PageIndex{1}\)

Considere a densidade necessária para tornar a Terra um buraco negro em comparação com a exigida para o Sol. Que conclusão você pode tirar dessa comparação sobre o que seria necessário para criar um buraco negro? Você esperaria que o Universo tivesse muitos buracos negros com pequena massa?

O horizonte de eventos

O raio de Schwarzschild também é chamado de horizonte de eventos de um buraco negro. Observamos que tanto o espaço quanto o tempo se estendem perto de objetos massivos, como buracos negros. A figura\(\PageIndex{3}\) ilustra esse efeito no espaço. A distorção causada pelo nosso Sol é, na verdade, muito pequena, e o diagrama é exagerado para maior clareza. Considere a estrela de nêutrons, descrita em Exemplo\(\PageIndex{1}\). Embora a distorção do espaço-tempo na superfície de uma estrela de nêutrons seja muito alta, o raio ainda é maior do que o raio de Schwarzschild. Objetos ainda poderiam escapar de sua superfície.

No entanto, se uma estrela de nêutrons ganhar massa adicional, ela acabaria por entrar em colapso, encolhendo além do raio de Schwarzschild. Uma vez que isso acontecesse, toda a massa seria atraída, inevitavelmente, para uma singularidade. No diagrama, o espaço é estendido até o infinito. O tempo também se estende até o infinito. À medida que os objetos caem em direção ao horizonte de eventos, nós os vemos se aproximando cada vez mais lentamente, mas nunca alcançando o horizonte de eventos. Como observadores externos, nunca vemos objetos passarem pelo horizonte de eventos — efetivamente, o tempo é esticado até parar.

Simulação

Visite este site para ver um exemplo animado dessas distorções espaciais.

Figura\(\PageIndex{3}\): A distorção espacial se torna mais perceptível em torno de massas cada vez maiores. Quando a densidade de massa atinge um nível crítico, um buraco negro se forma e a estrutura do espaço-tempo é rasgada. A curvatura do espaço é maior na superfície de cada um dos três primeiros objetos mostrados e é finita. A curvatura então diminui (não mostrada) para zero à medida que você se move para o centro do objeto. Mas o buraco negro é diferente. A curvatura se torna infinita: a superfície colapsou até uma singularidade e o cone se estende até o infinito. (Nota: Esses diagramas não estão em nenhuma escala.)

A evidência de buracos negros

Somente na década de 1960, quando a primeira estrela de nêutrons foi descoberta, o interesse pela existência de buracos negros se renovou. A evidência de buracos negros é baseada em vários tipos de observações, como análise de radiação de binários de raios-X, lente gravitacional da luz de galáxias distantes e o movimento de objetos visíveis em torno de parceiros invisíveis. Vamos nos concentrar nessas observações posteriores relacionadas ao que aprendemos neste capítulo. Embora a luz não possa escapar de um buraco negro para que possamos ver, podemos, no entanto, ver o efeito gravitacional do buraco negro nas massas circundantes.

A evidência mais próxima, e talvez a mais dramática, de um buraco negro está no centro da nossa galáxia Via Láctea. O Grupo Galáctico da UCLA, usando dados obtidos pelos telescópios W. M. Keck, determinou as órbitas de várias estrelas próximas ao centro de nossa galáxia. Alguns desses dados são mostrados na Figura\(\PageIndex{4}\). As órbitas de duas estrelas são destacadas. A partir de medições dos períodos e tamanhos de suas órbitas, estima-se que eles estejam orbitando uma massa de aproximadamente 4 milhões de massas solares. Observe que a massa deve residir na região criada pela interseção das elipses das estrelas. A região na qual essa massa deveria residir caberia dentro da órbita de Mercúrio, mas nada é visto lá no espectro visível.

Figura\(\PageIndex{4}\): Caminhos de estrelas orbitando em torno de uma massa no centro da nossa galáxia Via Láctea. A partir de seu movimento, estima-se que um buraco negro de cerca de 4 milhões de massas solares resida no centro. (crédito: UCLA Galactic Center Group — Equipe de laser do Observatório W.M. Keck)

A física da criação e evolução estelares está bem estabelecida. A fonte definitiva de energia que faz as estrelas brilharem é a energia autogravitacional que desencadeia a fusão. O comportamento geral é que quanto mais massiva uma estrela, mais brilhante ela brilha e menor ela vive. A inferência lógica é que uma massa que é 4 milhões de vezes a massa do nosso Sol, confinada a uma região muito pequena, e que não pode ser vista, não tem interpretação viável além de um buraco negro. Observações extragaláticas sugerem fortemente que buracos negros são comuns no centro das galáxias.

Visite a página principal do Grupo de Centros Galácticos da UCLA para obter informações sobre binários de raios-X e lentes gravitacionais. Visite esta página para ver uma visualização tridimensional das estrelas orbitando perto do centro da nossa galáxia, onde a animação está na parte inferior da página.

Matéria escura

Estrelas que orbitam perto do coração de nossa galáxia fornecem fortes evidências de um buraco negro lá, mas as órbitas de estrelas distantes do centro sugerem outro fenômeno intrigante que também é observado indiretamente. Lembre-se de Gravitation Near Earth's Surface que podemos considerar que a massa de objetos esféricos está localizada em um ponto no centro para calcular seus efeitos gravitacionais em outras massas. Da mesma forma, podemos tratar a massa total que está dentro da órbita de qualquer estrela em nossa galáxia como se estivesse localizada no centro do disco da Via Láctea. Podemos estimar essa massa contando as estrelas visíveis e incluir em nossa estimativa a massa do buraco negro no centro também.

Mas quando fazemos isso, descobrimos que a velocidade orbital das estrelas é muito rápida para ser causada por essa quantidade de matéria. A figura\(\PageIndex{5}\) mostra as velocidades orbitais das estrelas em função de sua distância do centro da Via Láctea. A linha azul representa as velocidades que esperaríamos de nossas estimativas da massa, enquanto a curva verde é o que obtemos das medições diretas. Aparentemente, há muita matéria que não vemos, estimada em cerca de cinco vezes mais do que a que vemos, então ela foi apelidada de matéria escura. Além disso, o perfil de velocidade não segue o que esperamos da distribuição observada das estrelas visíveis. Não só a estimativa da massa total é inconsistente com os dados, mas a distribuição esperada também é inconsistente. E esse fenômeno não está restrito à nossa galáxia, mas parece ser uma característica de todas as galáxias. Na verdade, o problema foi observado pela primeira vez na década de 1930, quando as galáxias dentro de aglomerados foram medidas como orbitando em torno do centro de massa desses aglomerados mais rápido do que deveriam, com base em estimativas de massa visível.

Figura\(\PageIndex{5}\): A curva azul mostra a velocidade orbital esperada das estrelas na Via Láctea com base nas estrelas visíveis que podemos ver. A curva verde mostra que as velocidades reais são mais altas, sugerindo matéria adicional que não pode ser vista. (crédito: modificação da obra de Matthew Newby)

Existem duas ideias predominantes sobre o que esse assunto poderia ser: WIMPS e MacHOS. WIMPs significa partículas massivas que interagem fracamente. Essas partículas (neutrinos são um exemplo) interagem muito fracamente com a matéria comum e, portanto, são muito difíceis de detectar diretamente. MacHOS significa objetos de halo compactos massivos, que são compostos de matéria bariônica comum, como nêutrons e prótons. Há problemas não resolvidos com essas duas ideias, e muito mais pesquisas serão necessárias para resolver o mistério.