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11.E: Momento angular (exercícios)

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    Perguntas conceituais

    11.1 Movimento de rolamento

    1. Um objeto redondo liberado do repouso no topo de uma inclinação sem atrito pode sofrer um movimento de rolamento?
    2. Uma lata cilíndrica de raio R está rolando por uma superfície horizontal sem escorregar. (a) Depois de uma revolução completa da lata, qual é a distância que seu centro de massa se moveu? (b) Essa distância seria maior ou menor se ocorresse escorregamento?
    3. Uma roda é liberada do topo em uma inclinação. A roda tem maior probabilidade de escorregar se a inclinação for íngreme ou levemente inclinada?
    4. O que desce mais rápido por um plano inclinado, um cilindro oco ou uma esfera sólida? Ambos têm a mesma massa e raio.
    5. Uma esfera oca e um cilindro oco com o mesmo raio e massa enrolam uma inclinação sem escorregar e têm o mesmo centro inicial de velocidade de massa. Qual objeto atinge uma altura maior antes de parar?

    11.2 Momento angular

    1. Você pode atribuir um momento angular a uma partícula sem primeiro definir um ponto de referência?
    2. Para uma partícula viajando em linha reta, há algum ponto sobre o qual o momento angular é zero? Suponha que a linha cruza a origem.
    3. Sob quais condições um corpo rígido tem momento angular, mas não momento linear?
    4. Se uma partícula está se movendo em relação a uma origem escolhida, ela tem momento linear. Quais condições devem existir para que o momento angular dessa partícula seja zero em relação à origem escolhida?
    5. Se você sabe a velocidade de uma partícula, você pode dizer alguma coisa sobre o momento angular da partícula?

    11.3 Conservação do momento angular

    1. Qual é a finalidade da pequena hélice na parte traseira de um helicóptero que gira no avião perpendicularmente à hélice grande?
    2. Suponha que uma criança caminhe da borda externa de um carrossel giratório para dentro. A velocidade angular do carrossel aumenta, diminui ou permanece a mesma? Explique sua resposta. Suponha que o carrossel esteja girando sem atrito.
    3. Quando a corda de uma bola amarrada gira em torno de um poste, o que acontece com a velocidade angular da bola?
    4. Suponha que os mantos de gelo polares se soltassem e flutuassem em direção ao equador da Terra sem derreter. O que aconteceria com a velocidade angular da Terra?
    5. Explique por que as estrelas giram mais rápido quando colapsam.
    6. Mergulhadores competitivos puxam seus membros para dentro e enrolam seus corpos quando fazem flips. Pouco antes de entrar na água, eles estendem totalmente os membros para entrarem diretamente para baixo (veja abaixo). Explique o efeito de ambas as ações em suas velocidades angulares. Explique também o efeito em seu momento angular.

    Desenho de um mergulhador em vários pontos de um mergulho, desde logo após sair da prancha de mergulho até pouco antes de entrar na água. Depois de sair da prancha, a mergulhadora está em uma posição de lúcio, com as pernas puxadas para perto do corpo e o ômega é grande. Ao se aproximar da água, ela estende seu corpo. Ela chega à água totalmente estendida e vertical, e o ômega prime é pequeno.

    11.4 Precessão de um giroscópio

    1. Os giroscópios usados em sistemas de orientação para indicar direções no espaço devem ter um momento angular que não mude de direção. Quando colocados no veículo, eles são colocados em um compartimento separado da fuselagem principal, de forma que mudanças na orientação da fuselagem não afetem a orientação do giroscópio. Se o veículo espacial for submetido a grandes forças e acelerações, como a direção do momento angular do giroscópio pode ser constante em todos os momentos?
    2. A Terra precessa seu eixo vertical com um período de 26.000 anos. Discuta se a Equação 11.12 pode ser usada para calcular a velocidade angular de precessão da Terra.

    Problemas

    11.1 Movimento de rolamento

    1. Qual é a velocidade angular de um pneu de 75,0 cm de diâmetro em um automóvel viajando a 90,0 km/h?
    2. Um menino anda de bicicleta a 2,00 km. As rodas têm raio de 30,0 cm. Qual é o ângulo total em que os pneus giram durante sua viagem?
    3. Se o garoto da bicicleta no problema anterior acelerar do repouso para uma velocidade de 10,0 m/s em 10,0 s, qual é a aceleração angular dos pneus?
    4. Os carros de corrida da Fórmula 1 têm pneus de 66 cm de diâmetro. Se uma Fórmula 1 tem uma velocidade média de 300 km/h durante uma corrida, qual é o deslocamento angular em rotações das rodas se o carro de corrida mantiver essa velocidade por 1,5 horas?
    5. Uma bola de gude desce por uma inclinação a 30° do repouso. (a) Qual é sua aceleração? (b) Até onde ele vai em 3,0 s?
    6. Repita o problema anterior substituindo o mármore por um cilindro sólido. Explique o novo resultado.
    7. Um corpo rígido com uma seção transversal cilíndrica é liberado do topo de uma inclinação de 30°. Ele rola 10,0 m até o fundo em 2,60 s. Encontre o momento de inércia do corpo em termos de sua massa m e raio r.
    8. Um ioiô pode ser considerado um cilindro sólido de massa m e raio r que tem uma corda leve enrolada em sua circunferência (veja abaixo). Uma extremidade da corda é mantida fixa no espaço. Se o cilindro cair quando a corda se desenrola sem escorregar, qual é a aceleração do cilindro?

    Uma ilustração de um cilindro, raio r e as forças sobre ele. A força m g atua no centro do cilindro e aponta para baixo. A força T atua na borda direita e aponta para cima.

    1. Um cilindro sólido de raio de 10,0 cm desce por uma inclinação com deslizamento. O ângulo da inclinação é de 30°. O coeficiente de atrito cinético na superfície é 0,400. Qual é a aceleração angular do cilindro sólido? O que é a aceleração linear?
    2. Uma bola de boliche sobe por uma rampa de 0,5 m de altura sem escorregar para o armazenamento. Tem uma velocidade inicial de seu centro de massa de 3,0 m/s. (a) Qual é a velocidade no topo da rampa? (b) Se a rampa tem 1 m de altura, ela chega ao topo?
    3. Um cilindro sólido de 40,0 kg está rolando por uma superfície horizontal a uma velocidade de 6,0 m/s. Quanto trabalho é necessário para pará-lo?
    4. Uma esfera sólida de 40,0 kg está rolando por uma superfície horizontal com uma velocidade de 6,0 m/s. Quanto trabalho é necessário para pará-la? Compare os resultados com o problema anterior.
    5. Um cilindro sólido enrola uma inclinação em um ângulo de 20°. Se começar na parte inferior com uma velocidade de 10 m/s, até que ponto a inclinação ela percorre?
    6. Uma roda cilíndrica sólida de massa M e raio R é puxada por uma força\(\vec{F}\) aplicada no centro da roda a 37° em relação à horizontal (veja a figura a seguir). Se a roda rolar sem escorregar, qual é o valor máximo de\(|\vec{F}|\)? Os coeficientes de atrito estático e cinético são\(\mu_{S}\) = 0,40 e\(\mu_{k}\) = 0,30.

    As forças em uma roda, raio R, em uma superfície horizontal são mostradas. A roda está centrada em um sistema de coordenadas x y que tem x positivo à direita e y positivo para cima. A força F atua no centro da roda em um ângulo de 37 graus acima da direção x positiva. A força M g atua no centro da roda e aponta para baixo. A força N aponta para cima e atua no ponto de contato onde a roda toca a superfície. A força f sub s aponta para a esquerda e atua no ponto de contato onde a roda toca a superfície.

    1. Um cilindro oco que está rolando sem escorregar recebe uma velocidade de 5,0 m/s e enrola uma inclinação até uma altura vertical de 1,0 m. Se uma esfera oca com a mesma massa e raio recebe a mesma velocidade inicial, qual a altura vertical que ela enrola a inclinação?

    11.2 Momento angular

    1. Uma partícula de 0,2 kg está viajando ao longo da linha y = 2,0 m com uma velocidade de 5,0 m/s. Qual é o momento angular da partícula sobre a origem?
    2. Um pássaro voa acima de onde você está a uma altitude de 300,0 m e a uma velocidade horizontal em relação ao solo de 20,0 m/s. O pássaro tem uma massa de 2,0 kg. O vetor de raio do pássaro faz um ângulo em\(\theta\) relação ao solo. O vetor de raio do pássaro e seu vetor de momento estão no plano xy. Qual é o momento angular do pássaro no ponto em que você está parado?
    3. Um carro de corrida de Fórmula 1 com massa de 750,0 kg está correndo por um percurso em Mônaco e entra em uma curva circular a 220,0 km/h no sentido anti-horário em torno da origem do círculo. Em outra parte do percurso, o carro entra em uma segunda curva circular a 180 km/h também no sentido anti-horário. Se o raio de curvatura da primeira curva for 130,0 m e o da segunda for 100,0 m, compare os momentos angulares do carro de corrida em cada curva feita sobre a origem da curva circular.
    4. Uma partícula de massa de 5,0 kg tem vetor de posição\(\vec{r}\) = (2,0\(\hat{i}\) − 3,0\(\hat{j}\)) m em um determinado instante de tempo em que sua velocidade é\(\vec{v}\) = (3,0\(\hat{i}\)) m/s em relação à origem. (a) Qual é o momento angular da partícula? (b) Se uma força\(\vec{F}\) = 5,0\(\hat{j}\) N atua sobre a partícula nesse instante, qual é o torque sobre a origem?
    5. Use a regra da direita para determinar as direções dos momentos angulares sobre a origem das partículas, conforme mostrado abaixo. O eixo z está fora da página.

    Quatro partículas no plano x y com diferentes vetores de posição e velocidade são mostradas. Os eixos x e y mostram a posição em metros e têm um alcance de -4,0 a 4,0 metros. A partícula 1 tem massa m sub 1, está em x = 0 metros e y = 2,0 metros e v sub 1 pontos na direção x positiva. A partícula 2 tem massa m sub 2, está em x = 2,0 metros e y = -2,0 metros, e v sub 2 aponta para a direita e para baixo, aproximadamente 45 graus abaixo da direção x positiva. A partícula 3 tem massa m sub 3, está em x = -3,0 metros e y = 1,0 metros, e v sub 3 pontos abaixo, na direção y negativa. A partícula 4 tem massa m sub 4, está em x = 4,0 metros e y = 0 metros, e v sub 4 pontos para a esquerda, na direção x negativa.

    1. Suponha que as partículas no problema anterior tenham massas m 1 = 0,10 kg, m 2 = 0,20 kg, m 3 = 0,30 kg, m 4 = 0,40 kg. As velocidades das partículas são v 1 = 2,0\(\hat{i}\) m/s, v 2 = (3,0\(\hat{i}\) − 3,0\(\hat{j}\)) m/s, v 3 = −1,5\(\hat{j}\) m/s, v 4 = −4,0\(\hat{i}\) m/s. (a) Calcule o momento angular de cada partícula sobre a origem. (b) Qual é o momento angular total do sistema de quatro partículas sobre a origem?
    2. Duas partículas de igual massa viajam com a mesma velocidade em direções opostas ao longo de linhas paralelas separadas por uma distância d. Mostre que o momento angular desse sistema de duas partículas é o mesmo, não importa qual ponto seja usado como referência para calcular o momento angular.
    3. Um avião de massa 4,0 x 10 4 kg voa horizontalmente a uma altitude de 10 km com uma velocidade constante de 250 m/s em relação à Terra. (a) Qual é a magnitude do momento angular do avião em relação a um observador terrestre diretamente abaixo do avião? (b) O momento angular muda à medida que o avião voa ao longo de seu caminho?
    4. Em um determinado instante, a posição de uma partícula de 1,0 kg é\(\vec{r}\) = (2,0\(\hat{i}\) − 4,0\(\hat{j}\) + 6,0\(\hat{k}\)) m, sua velocidade é\(\vec{v}\) = (−1,0\(\hat{i}\)\(\hat{j}\) + 4,0 + 1,0\(\hat{k}\)) m/s e a força sobre ela é\(\vec{F}\) = (10,0\(\hat{i}\) + 15,0\(\hat{j}\)) N. (a) Qual é a momento angular da partícula sobre a origem? (b) Qual é o torque da partícula sobre a origem? (c) Qual é a taxa temporal de mudança do momento angular da partícula neste instante?
    5. Uma partícula de massa m é lançada no ponto (−d, 0) e cai verticalmente no campo gravitacional da Terra −g\(\hat{j}\). (a) Qual é a expressão do momento angular da partícula ao redor do eixo z, que aponta diretamente para fora da página, conforme mostrado abaixo? (b) Calcule o torque da partícula ao redor do eixo z. (c) O torque é igual à taxa de mudança do momento angular?

    Um sistema de coordenadas x y é mostrado, com x positivo à direita e y positivo para cima. Uma partícula é mostrada no eixo x, à esquerda do eixo y, no local menos d, vírgula zero. Uma força menos m g j que atua para baixo na partícula.

    1. (a) Calcule o momento angular da Terra em sua órbita ao redor do Sol. (b) Compare esse momento angular com o momento angular da Terra em torno de seu eixo.
    2. Uma pedra de massa de 20 kg e raio de 20 cm desce uma colina de 15 m de altura do repouso. Qual é seu momento angular quando está na metade da colina? (b) Na parte inferior?
    3. Um satélite está girando a 6,0 rotações/s. O satélite consiste em um corpo principal em forma de esfera de raio de 2,0 m e massa de 10.000 kg e duas antenas projetando-se para fora do centro de massa do corpo principal que podem ser aproximadas com hastes de 3,0 m de comprimento cada e massa de 10 kg. As antenas estão no plano de rotação. Qual é o momento angular do satélite?
    4. Uma hélice consiste em duas pás, cada uma com 3,0 m de comprimento e massa de 120 kg cada. A hélice pode ser aproximada por uma única haste girando em torno de seu centro de massa. A hélice parte do repouso e gira até 1200 rpm em 30 segundos a uma taxa constante. (a) Qual é o momento angular da hélice em t = 10 s; t = 20 s? (b) Qual é o torque na hélice?
    5. Um pulsar é uma estrela de nêutrons que gira rapidamente. O pulsar da nebulosa do Caranguejo na constelação de Touro tem um período de 33,5 x 10 −3 s, raio de 10,0 km e massa de 2,8 x 10 30 kg. O período de rotação do pulsar aumentará com o tempo devido à liberação de radiação eletromagnética, que não altera seu raio, mas reduz sua energia rotacional. (a) Qual é o momento angular do pulsar? (b) Suponha que a velocidade angular diminua a uma taxa de 10 −14 rad/s 2. Qual é o torque no pulsar?
    6. As pás de uma turbina eólica têm 30 m de comprimento e giram a uma taxa de rotação máxima de 20 rotações/min. (a) Se as pás tiverem 6000 kg cada e o conjunto do rotor tiver três pás, calcule o momento angular da turbina nessa taxa de rotação. (b) Qual é o torque necessário para girar as pás até a taxa máxima de rotação em 5 minutos?
    7. Uma montanha-russa tem uma massa de 3000,0 kg e precisa passar com segurança por um circuito circular vertical de raio 50,0 m. Qual é o momento angular mínimo da montanha-russa na parte inferior do circuito para passar com segurança? Negligencie o atrito na pista. Considere a montanha-russa como uma partícula pontual.
    8. Um ciclista de montanha dá um salto em uma corrida e vai para o ar. A mountain bike está viajando a 10,0 m/s antes de voar. Se a massa da roda dianteira da bicicleta é 750 g e tem raio de 35 cm, qual é o momento angular da roda giratória no ar no momento em que a bicicleta sai do chão?

    11.3 Conservação do momento angular

    1. Um disco de massa de 2,0 kg e raio de 60 cm com uma pequena massa de 0,05 kg fixada na borda está girando a 2,0 rotações/s. A pequena massa se separa repentinamente do disco. Qual é a taxa de rotação final do disco?
    2. A massa do Sol é de 2,0 x 10 30 kg, seu raio é de 7,0 x 10 5 km e tem um período de rotação de aproximadamente 28 dias. Se o Sol colapsasse em uma anã branca de raio 3,5 x 10 3 km, qual seria seu período se nenhuma massa fosse ejetada e uma esfera de densidade uniforme pudesse modelar o Sol antes e depois?
    3. Um cilindro com inércia rotacional I 1 = 2,0 kg • m 2 gira no sentido horário em torno de um eixo vertical através de seu centro com velocidade angular\(\omega_{1}\) = 5,0 rad/s. Um segundo cilindro com inércia rotacional I 2 = 1,0 kg • m 2 gira no sentido anti-horário em torno do mesmo eixo com velocidade angular\(\omega_{2}\) = 8,0 rad/s. Se os cilindros se acoplarem de forma que tenham o mesmo eixo de rotação, qual é a velocidade angular da combinação? Qual porcentagem da energia cinética original é perdida por atrito?
    4. Um mergulhador fora da prancha alta dá uma rotação inicial com o corpo totalmente estendido antes de entrar em uma dobra e executar três cambalhotas para trás antes de cair na água. Se seu momento de inércia antes da dobra for de 16,9 kg • m 2 e depois da dobra durante as cambalhotas for de 4,2 kg • m 2, qual taxa de rotação ele deve transmitir ao corpo diretamente da prancha e antes da dobra se ele levar 1,4 s para executar as cambalhotas antes de bater na água?
    5. Um satélite terrestre tem seu apogeu a 2500 km acima da superfície da Terra e o perigeu a 500 km acima da superfície da Terra. No apogeu, sua velocidade é de 730 m/s. Qual é a velocidade no perigeu? O raio da Terra é de 6370 km (veja abaixo).

    Uma ilustração de uma órbita elíptica no sentido anti-horário. O eixo principal é horizontal e a massa M está no ponto focal do lado esquerdo, à esquerda do centro. A posição A está na extremidade direita da elipse, a uma distância r sub A à direita da massa M. A velocidade no ponto A é vetor v sub A e está acima. A posição P está na extremidade esquerda da elipse, a uma distância r sub p até a massa esquerda M. A velocidade no ponto P é vetor v sub P e está abaixo.

    1. Uma órbita de Molniya é uma órbita altamente excêntrica de um satélite de comunicação, de modo a fornecer cobertura contínua de comunicações para países escandinavos e a Rússia adjacente. A órbita está posicionada de forma que esses países tenham o satélite à vista por longos períodos de tempo (veja abaixo). Se um satélite em tal órbita tivesse um apogeu a 40.000,0 km medido a partir do centro da Terra e uma velocidade de 3,0 km/s, qual seria sua velocidade no perigeu medida a 200,0 km de altitude?

    Uma órbita elíptica altamente excêntrica ao redor da Terra é mostrada. A Terra está em um ponto focal da elipse. 11 pontos correspondentes ao tempo em horas estão marcados na órbita. O tempo 0 está no perigeu (o ponto na órbita que está mais próximo da Terra, e o ponto 6 está no apogeu, o ponto na órbita mais distante da Terra). O espaçamento dos pontos de 0 a 6 ao longo da órbita diminui com o tempo, e o espaçamento de 6 a 11 e de volta a 0 aumenta.

    1. Abaixo, é mostrada uma pequena partícula de massa de 20 g que se move a uma velocidade de 10,0 m/s quando colide e gruda na borda de um cilindro sólido uniforme. O cilindro é livre para girar em torno de seu eixo através do centro e é perpendicular à página. O cilindro tem uma massa de 0,5 kg e um raio de 10 cm e está inicialmente em repouso. (a) Qual é a velocidade angular do sistema após a colisão? (b) Quanta energia cinética é perdida na colisão?

    As vistas de uma partícula colidindo com um cilindro são mostradas antes e depois da colisão. A face do cilindro está no plano da página. Antes, a partícula se movia horizontalmente em direção à borda superior do cilindro a 10 metros por segundo. O cilindro está em repouso. Depois, a partícula fica presa ao cilindro, que gira no sentido horário.

    1. Um inseto de massa de 0,020 kg está em repouso na borda de um disco cilíndrico sólido (M = 0,10 kg, R = 0,10 m) girando em um plano horizontal ao redor do eixo vertical através de seu centro. O disco está girando a 10,0 rad/s. O bug se arrasta até o centro do disco. (a) Qual é a nova velocidade angular do disco? (b) Qual é a mudança na energia cinética do sistema? (c) Se o bug voltar para a borda externa do disco, qual é a velocidade angular do disco então? (d) Qual é a nova energia cinética do sistema? (e) Qual é a causa do aumento e diminuição da energia cinética?
    2. Uma haste uniforme de massa de 200 g e comprimento de 100 cm é livre para girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical fixo através de seu centro, perpendicular ao seu comprimento. Dois pequenos grânulos, cada um com uma massa de 20 g, são montados em ranhuras ao longo da haste. Inicialmente, as duas esferas são seguradas por travas em lados opostos do centro da haste, a 10 cm do eixo de rotação. Com as esferas nessa posição, a haste está girando com uma velocidade angular de 10,0 rad/s. Quando as presilhas são liberadas, as esferas deslizam para fora ao longo da haste. (a) Qual é a velocidade angular da haste quando as contas atingem as extremidades da haste? (b) Qual é a velocidade angular da haste se as contas voarem para fora da haste?
    3. Um carrossel tem um raio de 2,0 m e um momento de inércia 300 kg • m 2. Um garoto de massa de 50 kg corre tangente à borda a uma velocidade de 4,0 m/s e pula em frente. Se o carrossel estiver inicialmente em repouso, qual é a velocidade angular após o garoto pular?
    4. Um carrossel de recreio tem uma massa de 120 kg e um raio de 1,80 m e gira com uma velocidade angular de 0,500 rotações/s. Qual é a velocidade angular depois que uma criança de 22,0 kg entra nele agarrando sua borda externa? A criança está inicialmente em repouso.
    5. Três crianças estão andando à beira de um carrossel de 100 kg, raio de 1,60 m e girando a 20,0 rpm. As crianças têm massas de 22,0, 28,0 e 33,0 kg. Se a criança que tem uma massa de 28,0 kg se move para o centro do carrossel, qual é a nova velocidade angular em rpm?
    6. (a) Calcule o momento angular de um patinador de gelo girando a 6,00 rotações/s, dado que seu momento de inércia é de 0,400 kg • m 2. (b) Ele reduz sua taxa de rotação (sua velocidade angular) estendendo os braços e aumentando seu momento de inércia. Encontre o valor de seu momento de inércia se sua velocidade angular diminuir para 1,25 rev/s. (c) Suponha que, em vez disso, ele mantenha os braços abertos e permita que o atrito do gelo o diminua para 3,00 rev/s. Qual torque médio foi exercido se isso levar 15,0 s?
    7. Patinadores gêmeos se aproximam como mostrado abaixo e se dão as mãos. (a) Calcule sua velocidade angular final, dado que cada uma tinha uma velocidade inicial de 2,50 m/s em relação ao gelo. Cada um tem uma massa de 70,0 kg e cada um tem um centro de massa localizado a 0,800 m de suas mãos trancadas. Você pode aproximar seus momentos de inércia como sendo os das massas pontuais nesse raio. (b) Compare a energia cinética inicial e a energia cinética final.

    A Figura a, à esquerda, é um desenho de dois patinadores de gelo vistos de cima se movendo com a velocidade v um em direção ao outro ao longo de linhas paralelas. O superior está patinando para a direita e o inferior para a esquerda, e eles são separados para que suas mãos se encontrem ao cruzarem. A Figura b, à direita, mostra os patinadores de mãos dadas e se movendo juntos em um círculo com velocidade angular ômega. Seu movimento é no sentido horário, visto de cima.

    1. Um apanhador de beisebol estende o braço para cima para pegar uma bola rápida com uma velocidade de 40 m/s. A bola de beisebol tem 0,145 kg e o comprimento do braço do apanhador é 0,5 m e massa 4,0 kg. (a) Qual é a velocidade angular do braço imediatamente após pegar a bola, medida a partir do encaixe do braço? (b) Qual é o torque aplicado se o apanhador interromper a rotação do braço 0,3 s após pegar a bola?
    2. Em 2015, em Varsóvia, Polônia, Olivia Oliver, da Nova Escócia, quebrou o recorde mundial de ser a giradora mais rápida em patins de gelo. Ela alcançou um recorde de 342 rotações/min, batendo o atual recorde mundial do Guinness por 34 rotações. Se uma patinadora no gelo estender os braços nessa taxa de rotação, qual seria sua nova taxa de rotação? Suponha que ela possa ser aproximada por uma haste de 45 kg de 1,7 m de altura com um raio de 15 cm na rotação recorde. Com os braços esticados, faça a aproximação de uma haste de 130 cm de comprimento com 10% de sua massa corporal alinhada perpendicularmente ao eixo de rotação. Negligencie as forças de atrito.
    3. Um satélite em uma órbita circular geossíncrona está a 42.164,0 km do centro da Terra. Um pequeno asteróide colide com o satélite, enviando-o para uma órbita elíptica de 45.000,0 km de apogeu. Qual é a velocidade do satélite no apogeu? Suponha que seu momento angular esteja conservado.
    4. Uma ginasta dá cambalhotas pelo chão e depois se lança no ar e executa várias voltas em uma dobra enquanto está no ar. Se seu momento de inércia ao executar as piruetas é de 13,5 kg • m 2 e sua taxa de rotação é de 0,5 rev/s, quantas rotações ela faz no ar se seu momento de inércia na dobra for 3,4 kg • m 2 e ela tiver 2,0 s para fazer as voltas no ar?
    5. A centrífuga do NASA Ames Research Center tem um raio de 8,8 m e pode produzir forças em sua carga útil de 20 gs ou 20 vezes a força da gravidade na Terra. (a) Qual é o momento angular de uma carga útil de 20 kg que experimenta 10 gs na centrífuga? (b) Se o motor do acionador fosse desligado em (a) e a carga útil perdesse 10 kg, qual seria sua nova taxa de rotação, considerando que não há forças de atrito presentes?
    6. Um passeio em um carnaval tem quatro raios aos quais são fixadas cápsulas que podem acomodar duas pessoas. Cada um dos raios tem 15 m de comprimento e está preso a um eixo central. Cada raio tem uma massa de 200,0 kg e cada um dos frutos tem uma massa de 100,0 kg. Se o passeio girar a 0,2 rotações/s com cada cápsula contendo duas crianças de 50,0 kg, qual é a nova taxa de rotação se todas as crianças pularem do passeio?
    7. Um patinador no gelo se prepara para um salto com curvas e tem os braços estendidos. Seu momento de inércia é de 1,8 kg • m 2 enquanto seus braços estão estendidos e ele está girando a 0,5 rotações/s. Se ele se lançar no ar a 9,0 m/s em um ângulo de 45° em relação ao gelo, quantas revoluções ele pode executar enquanto estiver no ar se seu momento de inércia no ar for 0,5 kg • m 2?
    8. Uma estação espacial consiste em um cilindro oco giratório gigante de 10 6 kg, incluindo pessoas na estação e um raio de 100,00 m. Ele gira no espaço a 3,30 rotações/min para produzir gravidade artificial. Se 100 pessoas com uma massa média de 65,00 kg caminharem até uma nave espacial à espera, qual é a nova taxa de rotação quando todas as pessoas estão fora da estação?
    9. Netuno tem uma massa de 1,0 x 10 26 kg e está a 4,5 x 10 9 km do Sol com um período orbital de 165 anos. Planetesimais no sistema solar primordial externo há 4,5 bilhões de anos se uniram em Netuno ao longo de centenas de milhões de anos. Se o disco primordial que evoluiu para nosso sistema solar atual tinha um raio de 10 11 km e se a matéria que compunha esses planetesimais que mais tarde se tornou Netuno estivesse espalhada uniformemente nas bordas dele, qual foi o período orbital das bordas externas do disco primordial?

    11.4 Precessão de um giroscópio

    1. Um giroscópio tem um disco de 0,5 kg que gira a 40 rotações/s. O centro de massa do disco está a 10 cm de um pivô, que também é o raio do disco. Qual é a velocidade angular de precessão?
    2. A velocidade angular de precessão de um giroscópio é de 1,0 rad/s. Se a massa do disco rotativo for 0,4 kg e seu raio for 30 cm, assim como a distância do centro de massa até o pivô, qual é a taxa de rotação em rotações/s do disco?
    3. O eixo da Terra faz um ângulo de 23,5° com uma direção perpendicular ao plano da órbita terrestre. Conforme mostrado abaixo, esse eixo precessa, fazendo uma rotação completa em 25.780 y. (a) Calcule a mudança no momento angular pela metade desse tempo. (b) Qual é o torque médio que produz essa mudança no momento angular? (c) Se esse torque fosse criado por um par de forças atuando no ponto mais efetivo do equador, qual seria a magnitude de cada força?

    Na figura, a imagem da Terra é mostrada. O plano da órbita da Terra é mostrado como uma linha horizontal no equador. O eixo norte-sul da Terra está inclinado em um ângulo de 23,5 graus em relação à vertical. Existem dois vetores, L e L primos, inclinados em um ângulo de vinte e três pontos e cinco graus em relação à vertical, começando do centro da Terra. O vetor L atravessa o pólo norte da Terra. Nas cabeças dos dois vetores, há um círculo, direcionado no sentido anti-horário, visto de cima. Um vetor de momento angular, Delta L, direcionado para a esquerda, ao longo de seu diâmetro, é mostrado.

    Problemas adicionais

    1. Uma bola de gude está rolando pelo chão a uma velocidade de 7,0 m/s quando inicia um plano inclinado a 30° em relação à horizontal. (a) Até que ponto a bola de gude viaja antes de descansar? (b) Quanto tempo passa enquanto a bola de gude sobe no avião?
    2. Repita o problema anterior substituindo o mármore por uma esfera oca. Explique os novos resultados.
    3. A massa de um aro de raio de 1,0 m é 6,0 kg. Ele rola por uma superfície horizontal com uma velocidade de 10,0 m/s. (a) Quanto trabalho é necessário para parar o aro? (b) Se o aro iniciar uma superfície a 30° em relação à horizontal com uma velocidade de 10,0 m/s, até que ponto ao longo da inclinação ele percorrerá antes de parar e rolar de volta para baixo?
    4. Repita o problema anterior para uma esfera oca com o mesmo raio, massa e velocidade inicial. Explique as diferenças nos resultados.
    5. Uma partícula tem massa de 0,5 kg e está viajando ao longo da linha x = 5,0 m a 2,0 m/s na direção y positiva. Qual é o momento angular da partícula sobre a origem?
    6. Uma partícula de 4,0 kg se move em um círculo de raio de 2,0 m. O momento angular da partícula varia no tempo de acordo com l = 5,0t 2. (a) Qual é o torque da partícula em torno do centro do círculo em t = 3,4 s? (b) Qual é a velocidade angular da partícula em t = 3,4 s?
    7. Um próton é acelerado em um cíclotron para 5,0 x 10 6 m/s em 0,01 s. O próton segue um caminho circular. Se o raio do cíclotron for 0,5 km, (a) Qual é o momento angular do próton em torno do centro em sua velocidade máxima? (b) Qual é o torque do próton em torno do centro à medida que ele acelera até a velocidade máxima?
    8. (a) Qual é o momento angular da Lua em sua órbita ao redor da Terra? (b) Como esse momento angular se compara ao momento angular da Lua em seu eixo? Lembre-se de que a Lua fica sempre de um lado voltado para a Terra.
    9. Um DVD está girando a 500 rpm. Qual é o momento angular do DVD se tiver um raio de 6,0 cm e uma massa de 20,0 g?
    10. O disco de um oleiro gira do repouso até 10 rotações/s em 15 s. O disco tem uma massa de 3,0 kg e um raio de 30,0 cm. Qual é o momento angular do disco em t = 5 s, t = 10 s?
    11. Suponha que você dê partida em um carro antigo exercendo uma força de 300 N em sua manivela por 0,250 s. Qual é o momento angular dado ao motor se a manivela estiver a 0,300 m do pivô e a força for exercida para criar torque máximo o tempo todo?
    12. Um cilindro sólido de massa de 2,0 kg e raio de 20 cm está girando no sentido anti-horário em torno de um eixo vertical através de seu centro a 600 rev/min. Um segundo cilindro sólido da mesma massa está girando no sentido horário em torno do mesmo eixo vertical a 900 rotações/min. Se os cilindros se acoplarem de forma que girem em torno do mesmo eixo vertical, qual é a velocidade angular da combinação?
    13. Um menino está no centro de uma plataforma que gira sem atrito a 1,0 rotações/s. O garoto segura os pesos o mais longe possível do corpo. Nessa posição, o momento total de inércia do corpo, da plataforma e dos pesos é de 5,0 kg • m 2. O menino puxa os pesos para perto de seu corpo, diminuindo assim o momento total de inércia para 1,5 kg • m 2. (a) Qual é a velocidade angular final da plataforma? (b) Em quanto a energia cinética rotacional aumenta?
    14. Oito crianças, cada uma com 40 kg de massa, sobem em um pequeno carrossel. Eles se posicionam uniformemente na borda externa e unem as mãos. O carrossel tem um raio de 4,0 m e um momento de inércia 1000,0 kg • m 2. Depois que o carrossel recebe uma velocidade angular de 6,0 rotações/min, as crianças caminham para dentro e param quando estão a 0,75 m do eixo de rotação. Qual é a nova velocidade angular do carrossel? Suponha que haja um torque de atrito insignificante na estrutura.
    15. Um medidor fino de massa de 150 g gira em torno de um eixo perpendicular ao eixo longo do bastão a uma velocidade angular de 240 rev/min. Qual é o momento angular do manípulo se o eixo de rotação (a) passa pelo centro do manípulo? (b) Passa por uma extremidade do bastão?
    16. Um satélite com a forma de uma esfera de massa de 20.000 kg e raio de 5,0 m está girando em torno de um eixo através de seu centro de massa. Ele tem uma taxa de rotação de 8,0 rotações/s. Duas antenas são implantadas no plano de rotação que se estende do centro de massa do satélite. Cada antena pode ser aproximada como uma haste com massa de 200,0 kg e comprimento de 7,0 m. Qual é a nova taxa de rotação do satélite?
    17. Um topo tem momento de inércia 3,2 x 10 −4 kg • m 2 e raio 4,0 cm do centro da massa até o ponto de articulação. Se ele gira a 20,0 rotações/s e está precessando, quantas revoluções ele pré-processa em 10,0 s?

    Problemas de desafio

    1. O caminhão mostrado abaixo está inicialmente em repouso com um rolo de papel cilíndrico sólido sobre sua base. Se o caminhão avançar com uma aceleração uniforme a, que distância s ele se move antes que o papel saia de sua extremidade traseira? (Dica: Se o rolamento acelera para frente com a', então ele acelera para trás em relação ao caminhão com uma aceleração a − a′. Além disso, R\(\alpha\) = a − a′.)

    Desenho de um caminhão de mesa em uma estrada horizontal. O caminhão está acelerando para frente com a aceleração a. A caçamba do caminhão tem um cilindro, a uma distância d da extremidade traseira da cama.

    1. Uma bola de boliche de raio de 8,5 cm é lançada em uma pista de boliche com velocidade de 9,0 m/s. A direção do arremesso é para a esquerda, conforme visto pelo observador, de modo que a bola de boliche começa a girar no sentido anti-horário quando em contato com o chão. O coeficiente de atrito cinético na pista é 0,3. (a) Qual é o tempo necessário para a bola chegar ao ponto em que não está escorregando? Qual é a distância d até o ponto em que a bola está rolando sem escorregar?
    2. Uma pequena bola de massa de 0,50 kg é presa por uma corda sem massa a uma haste vertical que está girando conforme mostrado abaixo. Quando a haste tem uma velocidade angular de 6,0 rad/s, a corda faz um ângulo de 30° em relação à vertical. (a) Se a velocidade angular for aumentada para 10,0 rad/s, qual é o novo ângulo da corda? (b) Calcule os momentos angulares iniciais e finais da bola. (c) A haste pode girar rápido o suficiente para que a bola fique na horizontal?

    Uma haste vertical está girando em seu eixo. Uma corda é presa ao topo da haste em uma extremidade e uma bola na outra extremidade. A corda fica pendurada em um ângulo em relação à haste.

    1. Um inseto voando horizontalmente a 1,0 m/s colide e gruda na ponta de um bastão uniforme pendurado verticalmente. Após o impacto, o bastão gira para um ângulo máximo de 5,0° em relação à vertical antes de girar para trás. Se a massa do bastão for 10 vezes maior que a do inseto, calcule o comprimento do bastão.

    Contribuidores e atribuições

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