11.S: Momento angular (resumo)
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Termos-chave
| momento angular | análogo rotacional do momento linear, encontrado tomando o produto do momento de inércia e da velocidade angular |
| lei de conservação do momento angular | o momento angular é conservado, ou seja, o momento angular inicial é igual ao momento angular final quando nenhum torque externo é aplicado ao sistema |
| precessão | movimento circular do polo do eixo de um objeto giratório em torno de outro eixo devido a um torque |
| movimento de rolamento | combinação de movimento rotacional e translacional com ou sem escorregamento |
Equações-chave
| Velocidade do centro de massa do objeto rolante | $$v_ {CM} = R\ ômega$$ |
| Aceleração do centro de massa do objeto rolante | $$a_ {CM} = R\ alfa$$ |
| Deslocamento do centro de massa do objeto rolante | $$d_ {CM} = R\ theta$$ |
| Aceleração de um objeto rolando sem escorregar | $$a_ {CM} =\ frac {mg\ sin\ theta} {m +\ left (\ dfrac {I_ {CM}} {r^ {2}}\ direita)} $$ |
| Momento angular | $$\ vec {l} =\ vec {r}\ times\ vec {p} $$ |
| A derivada do momento angular é igual ao torque | $$\ frac {d\ vec {l}} {dt} =\ sum\ vec {\ tau} $$ |
| Momento angular de um sistema de partículas | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} $$ |
| Para um sistema de partículas, a derivada do momento angular é igual ao torque | $$\ frac {d\ vec {L}} {dt} =\ sum\ vec {\ tau} $$ |
| Momento angular de um corpo rígido rotativo | $$L = I\ ômega$$ |
| Conservação do momento angular | $$\ frac {d\ vec {L}} {dt} = 0$$ |
| Conservação do momento angular | $$\ vec {L} =\ vec {l} _ {1} +\ vec {l} _ {2} +\ cdots +\ vec {l} _ {N} = constante$$ |
| Velocidade angular de precessão | $$\ omega_ {P} =\ frac {rMG} {I\ ômega} $$ |
Resumo
11.1 Movimento de rolamento
- No movimento de rolamento sem escorregar, uma força de atrito estática está presente entre o objeto rolante e a superfície. As relações v CM = R\(\omega\), a CM = R\(\alpha\) e d CM = R\(\theta\) se aplicam, de forma que a velocidade linear, a aceleração e a distância do centro de massa sejam as variáveis angulares multiplicadas pelo raio do objeto.
- No movimento de rolamento com escorregamento, surge uma força de atrito cinético entre o objeto rolante e a superfície. Nesse caso, v CM ≠ R\(\omega\), a CM ≠ R\(\alpha\) e d CM ≠\(\theta\) R.
- A conservação de energia pode ser usada para analisar o movimento de rolamento. A energia é conservada no movimento de rolamento sem escorregar. A energia não é conservada no movimento de rolamento com escorregamento devido ao calor gerado pelo atrito cinético.
11.2 Momento angular
- O momento angular\(\vec{l} = \vec{r} \times \vec{p}\) de uma única partícula em torno de uma origem designada é o produto vetorial do vetor de posição no sistema de coordenadas dado e do momento linear da partícula.
- O momento angular\(\vec{l} = \sum_{i} \vec{l}_{i}\) de um sistema de partículas em torno de uma origem designada é a soma vetorial dos momentos individuais das partículas que compõem o sistema.
- O torque líquido em um sistema sobre uma determinada origem é a derivada temporal do momento angular sobre essa origem:\(\frac{d \vec{L}}{dt} = \sum \vec{\tau}\)
- Um corpo rotativo rígido tem momento angular L = I\(\omega\) direcionado ao longo do eixo de rotação. A derivada temporal do momento angular\(\frac{dL}{dt} = \sum \tau\) fornece o torque líquido em um corpo rígido e é direcionada ao longo do eixo de rotação.
11.3 Conservação do momento angular
- Na ausência de torques externos, o momento angular total de um sistema é conservado. Essa é a contrapartida rotacional do momento linear que está sendo conservada quando a força externa em um sistema é zero.
- Para um corpo rígido que altera seu momento angular na ausência de um torque externo líquido, a conservação do momento angular dá I f\(\omega_{f}\) = I\(\omega_{i}\) i. Essa equação diz que a velocidade angular é inversamente proporcional ao momento de inércia. Assim, se o momento de inércia diminuir, a velocidade angular deve aumentar para conservar o momento angular.
- Sistemas contendo partículas pontuais e corpos rígidos podem ser analisados usando a conservação do momento angular. O momento angular de todos os corpos no sistema deve ser considerado em torno de um eixo comum.
11.4 Precessão de um giroscópio
- Quando um giroscópio é colocado em um pivô próximo à superfície da Terra, ele precessa em torno de um eixo vertical, já que o torque é sempre horizontal e perpendicular\(\vec{L}\) a. Se o giroscópio não estiver girando, ele adquire momento angular na direção do torque e gira em torno de um eixo horizontal, caindo exatamente como esperávamos.
- A velocidade angular de precessão é dada por\(\omega_{P} = \frac{rMg}{I \omega}\), onde r é a distância do pivô até o centro de massa do giroscópio, I é o momento de inércia do disco giratório do giroscópio, M é sua massa e\(\omega\) é a frequência angular do disco do giroscópio.