9.8: Colisões em várias dimensões
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- Expresse o momentum como um vetor bidimensional
- Escreva equações para conservação de momento em forma de componente
- Calcule o momento em duas dimensões, como uma quantidade vetorial
É muito mais comum que colisões ocorram em duas dimensões; ou seja, o ângulo entre os vetores de velocidade iniciais não é zero nem 180°. Vamos ver quais complicações surgem disso.
A primeira ideia que precisamos é que o momento é um vetor; como todos os vetores, ele pode ser expresso como uma soma de componentes perpendiculares (geralmente, embora nem sempre, um componente x e um componente y, e um componente z, se necessário). Assim, quando escrevemos a declaração de conservação do momento para um problema, nossos vetores de momentum podem ser, e geralmente serão, expressos na forma de componentes.
A segunda ideia que precisamos vem do fato de que o momentum está relacionado à força:
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]
Expressando a força e o momento em forma de componente,
\[F_{x} = \frac{dp_{x}}{dt}, F_{y} = \frac{dp_{y}}{dt}, F_{z} = \frac{dp_{z}}{dt} \ldotp\]
Lembre-se de que essas equações são simplesmente a segunda lei de Newton, na forma vetorial e na forma de componentes. Sabemos que a segunda lei de Newton é verdadeira em cada direção, independentemente das outras. Conclui-se, portanto, (via terceira lei de Newton) que a conservação do momentum também é verdadeira em cada direção de forma independente.
Essas duas ideias motivam a solução para problemas bidimensionais: escrevemos a expressão para conservação do momento duas vezes: uma na direção x e outra na direção y.
\[p_{f,x} = p_{1,i,x} + p_{2,i,x} \label{9.18}\]
\[p_{f,y} = p_{1,i,y} + p_{2,i,y}\]
Esse procedimento é mostrado graficamente na Figura\(\PageIndex{1}\).
Resolvemos cada uma dessas equações de dois componentes de forma independente para obter os componentes x e y do vetor de velocidade desejado:
\[v_{f,x} = \frac{m_{1} v_{1,i,x} + m_{2} v_{2,i,x}}{m}\]
\[v_{f,y} = \frac{m_{1} v_{1,i,y} + m_{2} v_{2,i,y}}{m}\]
(Aqui, m representa a massa total do sistema.) Finalmente, combine esses componentes usando o teorema de Pitágoras,
\[v_{f} = |\vec{v}_{f}| = \sqrt{v_{f,x}^{2} + v_{f,y}^{2}} \ldotp\]
O método para resolver um problema bidimensional (ou mesmo tridimensional) de conservação do momento é geralmente o mesmo que o método para resolver um problema unidimensional, exceto que você precisa conservar o momento em ambas (ou nas três) dimensões simultaneamente:
- Identifique um sistema fechado.
- Anote a equação que representa a conservação do momento na direção x e resolva-a para a quantidade desejada. Se você estiver calculando uma quantidade vetorial (velocidade, normalmente), isso fornecerá o componente x do vetor.
- Anote a equação que representa a conservação do momento na direção y e resolva. Isso fornecerá o componente y da sua quantidade vetorial.
- Supondo que você esteja calculando uma quantidade vetorial, use o teorema de Pitágoras para calcular sua magnitude, usando os resultados das etapas 3 e 4.
Um pequeno carro de massa de 1200 kg viajando para o leste a 60 km/h colide em um cruzamento com um caminhão de massa de 3000 kg que viaja para o norte a 40 km/h (Figura\(\PageIndex{2}\)). Os dois veículos estão trancados juntos. Qual é a velocidade dos destroços combinados?
Estratégia
Primeiramente, precisamos de um sistema fechado. O sistema natural a ser escolhido é o (carro + caminhão), mas esse sistema não está fechado; o atrito da estrada atua nos dois veículos. Evitamos esse problema restringindo a pergunta a encontrar a velocidade no instante logo após a colisão, para que o atrito ainda não tenha tido nenhum efeito no sistema. Com essa restrição, o momentum é conservado para esse sistema.
Como há duas direções envolvidas, fazemos a conservação do momento duas vezes: uma na direção x e outra na direção y.
Solução
Antes da colisão, o momento total é
\[\vec{p} = m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} \ldotp\]
Após a colisão, os destroços ganham impulso
\[\vec{p} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Como o sistema está fechado, o momentum deve ser conservado, então temos
\[m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Temos que ter cuidado; os dois momentos iniciais não são paralelos. Devemos adicionar vetorialmente (Figura\(\PageIndex{3}\)).
Se definirmos a direção+x para apontar para o leste e a direção+y para o norte, como na figura, então (convenientemente),
\[\vec{p}_{c} = p_{c}\; \hat{i} = m_{c} v_{c}\; \hat{i}\]
\[\vec{p}_{T} = p_{T}\; \hat{j} = m_{T} v_{T}\; \hat{j} \ldotp\]
Portanto, na direção x:
\[m_{c} v_{c} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,x}\]
\[v_{w,x} = \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c}\]
e na direção y:
\[m_{T} v_{T} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,y}\]
\[v_{w,y} = \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{T} \ldotp\]
A aplicação do teorema de Pitágoras dá
\[\begin{split} |\vec{v}_{w}| & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c} \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}} \right) v_{T} \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{1200\; kg}{4200\; kg}\right) (16.67\; m/s) \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{3000\; kg}{4200\; kg}\right) (11.1\; m/s) \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{(4.76\; m/s)^{2} + (7.93\; m/s)^{2}} \\ & = 9.25\; m/s \approx 33.3\; km/hr \ldotp \end{split}\]
Quanto à direção, usando o ângulo mostrado na figura,
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v_{w,x}}{v_{w,y}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{7.93\; m/s}{4.76\; m/s}\right) = 59^{o} \ldotp\]
Esse ângulo está a leste do norte ou 31° no sentido anti-horário a partir da direção +x.
Significância
Na prática, os investigadores de acidentes geralmente trabalham na “direção oposta”; eles medem a distância das marcas de derrapagem na estrada (o que fornece a distância de parada) e usam o teorema da energia de trabalho junto com a conservação do momento para determinar as velocidades e direções dos carros antes do colisão. Vimos essa análise em uma seção anterior.
Suponha que as velocidades iniciais não estivessem em ângulo reto uma com a outra. Como isso mudaria tanto o resultado físico quanto a análise matemática da colisão?
Um tanque de mergulho comum é um cilindro de alumínio que pesa 31,7 libras vazio (Figura\(\PageIndex{4}\)). Quando cheio de ar comprimido, a pressão interna está entre 2500 e 3000 psi (libras por polegada quadrada). Suponha que esse tanque, que estava imóvel, exploda repentinamente em três pedaços. A primeira peça, pesando 10 libras, dispara horizontalmente a 235 milhas por hora; a segunda peça (7 libras) dispara a 172 milhas por hora, também no plano horizontal, mas em um ângulo de 19° com a primeira peça. Qual é a massa e a velocidade inicial da terceira peça? (Faça todo o trabalho e expresse sua resposta final em unidades SI.)
Estratégia
Para usar a conservação do momentum, precisamos de um sistema fechado. Se definirmos o sistema como tanque de mergulho, esse não é um sistema fechado, pois a gravidade é uma força externa. No entanto, o problema exige apenas a velocidade inicial da terceira peça, para que possamos negligenciar o efeito da gravidade e considerar o tanque por si só como um sistema fechado. Observe que, para esse sistema, o vetor de momento inicial é zero.
Escolhemos um sistema de coordenadas em que todo o movimento acontece no plano xy. Em seguida, escrevemos as equações para conservação do momento em cada direção, obtendo assim as componentes x e y do momento da terceira peça, das quais obtemos sua magnitude (via teorema de Pitágoras) e sua direção. Finalmente, dividir esse momento pela massa da terceira peça nos dá a velocidade.
Solução
Primeiro, vamos tirar todas as conversões em unidades SI do caminho:
\[31.7\; lb \times \frac{1\; kg}{2.2\; lb} \rightarrow 14.4\; kg\]
\[10\; lb \rightarrow 4.5\; kg\]
\[235\; \frac{miles}{hour} \times \frac{1\; hour}{3600\; s} \times \frac{1609\; m}{mile} = 105\; m/s\]
\[7\; lb \rightarrow 3.2\; kg\]
\[172 \frac{mile}{hour} = 77\; m/s\]
\[m_{3} = 14.4\; kg - (4.5\; kg + 3.2\; kg) = 6.7\; kg \ldotp\]
Agora aplique a conservação do momentum em cada direção.
Direção x:
\[\begin{split} p_{f,x} & = p_{0,x} \\ p_{1,x} + p_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ m_{1} v_{1,x} + m_{2} v_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ p_{3,x} & = -m_{1} v_{1,x} - m_{2} v_{2,x} \end{split}\]
Direção y:
\[\begin{split} p_{f,y} & = p_{0,y} \\ p_{1,y} + p_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ m_{1} v_{1,y} + m_{2} v_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ p_{3,y} & = -m_{1} v_{1,y} - m_{2} v_{2,y} \end{split}\]
Do nosso sistema de coordenadas escolhido, escrevemos os componentes x como
\[\begin{split} p_{3,x} & = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos \theta \\ & = - (4.5\; kg)(105\; m/s) - (3.2\; kg)(77\; m/s) \cos (19^{o}) \\ & = -705\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Para a direção y, temos
\[\begin{split} p_{3,y} & = 0 - m_{2} v_{2} \sin \theta \\ & = - (3.2\; kg)(77\; m/s) \sin (19^{o}) \\ & = -80.2\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Isso dá a magnitude de p 3:
\[\begin{split} p_{3} & = \sqrt{p_{3,x}^{2} + p_{3,y}^{2}} \\ & = \sqrt{(-705\; kg\; \cdotp m/s)^{2} + (-80.2\; kg\; \cdotp m/s)} \\ & = 710\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
A velocidade da terceira peça é, portanto,
\[v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710\; kg\; \cdotp m/s}{6.7\; kg} = 106\; m/s \ldotp\]
A direção de seu vetor de velocidade é a mesma que a direção de seu vetor de momento:
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{p_{3,y}}{p_{3,x}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{80.2\; kg\; \cdotp m/s}{705\; kg\; \cdotp m/s}\right) = 6.49^{o} \ldotp\]
Como\(\phi\) está abaixo do eixo −x, o ângulo real é 186,49° da direção +x.
Significância
As enormes velocidades aqui são típicas; um tanque explosivo de qualquer gás comprimido pode facilmente atravessar a parede de uma casa e causar ferimentos significativos ou morte. Felizmente, essas explosões são extremamente raras, em uma base percentual.
Observe que a massa do ar no tanque foi negligenciada na análise e na solução. Como o método da solução mudaria se o ar fosse incluído? Qual a grande diferença que você acha que isso faria na resposta final?