9.9: Centro de Missa (Parte 1)
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- Explique o significado e a utilidade do conceito de centro de massa
- Calcular o centro de massa de um determinado sistema
- Aplique o conceito de centro de massa em duas e três dimensões
- Calcule a velocidade e a aceleração do centro de massa
Temos evitado uma questão importante até agora: quando dizemos que um objeto se move (mais corretamente, acelera) de uma forma que obedece à segunda lei de Newton, ignoramos o fato de que todos os objetos são realmente feitos de muitas partículas constituintes. Um carro tem motor, volante, assentos, passageiros; uma bola de futebol é couro e borracha ao redor do ar; um tijolo é feito de átomos. Existem muitos tipos diferentes de partículas e elas geralmente não são distribuídas uniformemente no objeto. Como incluímos esses fatos em nossos cálculos?
Além disso, um objeto estendido pode mudar de forma à medida que se move, como um balão de água ou um gato caindo (Figura\(\PageIndex{1}\)). Isso implica que as partículas constituintes estão aplicando forças internas umas sobre as outras, além da força externa que está atuando sobre o objeto como um todo. Queremos ser capazes de lidar com isso também.
O problema diante de nós, então, é determinar qual parte de um objeto estendido está obedecendo à segunda lei de Newton quando uma força externa é aplicada e determinar como o movimento do objeto como um todo é afetado pelas forças internas e externas.
Esteja avisado: para tratar essa nova situação corretamente, devemos ser rigorosos e completamente gerais. Não faremos nenhuma suposição sobre a natureza do objeto, ou de suas partículas constituintes, ou sobre as forças internas ou externas. Assim, os argumentos serão complexos.
Forças internas e externas
Suponha que tenhamos um objeto estendido de massa M, feito de N partículas interagindo. Vamos rotular suas massas como m j, onde j = 1, 2, 3,..., N. Note que
\[M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \ldotp \label{9.19}\]
Se aplicarmos alguma força externa líquida\(\vec{F}_{ext}\) no objeto, cada partícula experimenta alguma “participação” ou alguma fração dessa força externa. Deixe:
\(\vec{f}_{j}^{ext}\)= a fração da força externa que a jésima partícula experimenta
Observe que essas frações da força total não são necessariamente iguais; na verdade, elas praticamente nunca são. (Podem ser, mas geralmente não são.) Em geral, portanto,
\[\vec{f}_{1}^{ext} \neq \vec{f}_{2}^{ext} \neq \cdots \neq \vec{f}_{N}^{ext} \ldotp\]
Em seguida, assumimos que cada uma das partículas que compõem nosso objeto pode interagir (aplicar forças) com todas as outras partículas do objeto. Não tentaremos adivinhar que tipo de forças elas são; mas como essas forças são o resultado de partículas do objeto atuando sobre outras partículas do mesmo objeto, nos referimos a elas como forças internas\(\vec{f}_{j}^{int}\); portanto:
\(\vec{f}_{j}^{int}\)= a força interna líquida que a jésima partícula experimenta de todas as outras partículas que compõem o objeto.
Agora, a força líquida, interna mais externa, na jésima partícula é a soma vetorial destas:
\[\vec{f}_{j} = \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \label{9.20}\]
onde, novamente, isso é para todas as N partículas; j = 1, 2, 3,..., N. Como resultado dessa força fracionária, o momento de cada partícula muda:
\[\begin{split} \vec{f}_{j} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \\ \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \end{split} \label{9.21}\]
A força líquida\(\vec{F}\) sobre o objeto é a soma vetorial dessas forças:
\[\begin{split} \vec{F}_{net} & = \sum_{j = 1}^{N} (\vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext}) \\ & = \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \end{split} \label{9.22}\]
Essa força líquida muda o momento do objeto como um todo, e a mudança líquida do momento do objeto deve ser a soma vetorial de todas as mudanças individuais de momento de todas as partículas:
\[\vec{F}_{net} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.23}\]
A combinação da Equação\ ref {9.22} e da Equação\ ref {9.23} dá
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.24}\]
Vamos agora pensar sobre esses resumos. Primeiro, considere o termo forças internas; lembre-se de que cada uma\(\vec{f}_{j}^{int}\) é a força sobre a jésima partícula das outras partículas no objeto. Mas pela terceira lei de Newton, para cada uma dessas forças, deve haver outra força que tenha a mesma magnitude, mas o sinal oposto (aponta na direção oposta). Essas forças não se cancelam; no entanto, não é isso que estamos fazendo no resumo. Em vez disso, estamos simplesmente somando matematicamente todos os vetores de força internos. Ou seja, em geral, as forças internas de qualquer parte individual do objeto não são canceladas, mas quando todas as forças internas são somadas, as forças internas devem ser canceladas em pares. Conclui-se, portanto, que a soma de todas as forças internas deve ser zero:
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = 0 \ldotp\]
(Esse argumento é sutil, mas crucial; reserve bastante tempo para entendê-lo completamente.)
Para as forças externas, essa soma é simplesmente a força externa total que foi aplicada a todo o objeto:
\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \vec{F}_{ext} \ldotp\]
Como resultado,
\[\vec{F}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.25}\]
Esse é um resultado importante. A equação\ ref {9.25} nos diz que a mudança total de momento de todo o objeto (todas as N partículas) se deve apenas às forças externas; as forças internas não alteram o momento do objeto como um todo. É por isso que você não pode se levantar no ar ficando em uma cesta e puxando as alças: Para o sistema de sua cesta +, sua força de tração ascendente é uma força interna.
Força e impulso
Lembre-se de que nosso objetivo real é determinar a equação do movimento para todo o objeto (todo o sistema de partículas). Para esse fim, vamos definir:
\(\vec{p}_{CM}\)= o momento total do sistema de N partículas (o motivo do subscrito ficará claro em breve)
Então nós temos
\[\vec{p}_{CM} = \equiv \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
e, portanto, a Equação\ ref {9.25} pode ser escrita simplesmente como
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt} \ldotp \label{9.26}\]
Como essa mudança de momentum é causada apenas pela força externa líquida, eliminamos o subscrito “ext”. Essa é a segunda lei de Newton, mas agora para todo o objeto estendido. Se isso parecer um pouco anticlimático, lembre-se do que está escondido dentro dela:\(\vec{p}_{CM}\) é a soma vetorial do momento de (em princípio) centenas de milhares de bilhões de bilhões de partículas (6,02 x 10 23), todas causadas por uma simples força externa líquida — uma força que você pode calcular.
Centro de Missa
Nossa próxima tarefa é determinar qual parte do objeto estendido, se houver, está obedecendo à Equação\ ref {9.26}.
É tentador dar o próximo passo; a equação a seguir significa alguma coisa?
\[\vec{F} = M \vec{a} \label{9.27}\]
Se isso significa alguma coisa (aceleração do que, exatamente?) , então poderíamos escrever
\[M \vec{a} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
e, portanto,
\[M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]
que segue porque a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas.
Agora,\(\vec{p}_{j}\) é o momento da jésima partícula. Definindo as posições das partículas constituintes (em relação a algum sistema de coordenadas) como\(\vec{r}_{j}\) = (x j, y j, z j), temos, portanto,
\[\vec{p}_{j} = m_{j} \vec{v}_{j} = m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \ldotp\]
Substituindo de volta, obtemos
\[\begin{split} M \vec{a} & = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \\ & = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \end{split}\]
Dividindo os dois lados por M (a massa total do objeto estendido) nos dá
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp \label{9.28}\]
Assim, o ponto no objeto que traça a trajetória ditada pela força aplicada na Equação\ ref {9.27} está dentro dos parênteses na Equação\ ref {9.28}.
Observando esse cálculo, observe que (dentro dos parênteses) estamos calculando o produto da massa de cada partícula com sua posição, somando todos os N deles e dividindo essa soma pela massa total das partículas que somamos. Isso lembra uma média; inspirados nisso, vamos (vagamente) interpretá-la como a posição média ponderada da massa do objeto estendido. Na verdade, é chamado de centro de massa do objeto. Observe que a posição do centro de massa tem unidades de metros; isso sugere uma definição:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \label{9.29}\]
Portanto, o ponto que obedece à Equação\ ref {9,26} (e, portanto, à Equação\ ref {9,27} também) é o centro de massa do objeto, que está localizado no vetor de posição\(\vec{r}_{CM}\).
Você pode se surpreender ao saber que não precisa haver nenhuma massa real no centro de massa de um objeto. Por exemplo, uma esfera oca de aço com vácuo dentro dela é esfericamente simétrica (o que significa que sua massa está uniformemente distribuída em torno do centro da esfera); toda a massa da esfera está na superfície, sem massa interna. Mas pode-se mostrar que o centro de massa da esfera está em seu centro geométrico, o que parece razoável. Assim, não há massa na posição do centro de massa da esfera. (Outro exemplo é um donut.) O procedimento para encontrar o centro de massa é ilustrado na Figura\(\PageIndex{2}\)
Desde então\(\vec{r}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}\), conclui-se que:
\[r_{CM,x} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j} \label{9.30}\]
\[r_{CM,y} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j} \label{9.31}\]
\[r_{CM,z} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j} \label{9.32}\]
e, portanto,
\[\vec{r}_{CM} = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} + r_{CM,z} \hat{k}\]
\[r_{CM} = |\vec{r}_{CM}| = (r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2})^{1/2} \ldotp\]
Portanto, você pode calcular os componentes do vetor do centro de massa individualmente.
Finalmente, para completar a cinemática, a velocidade instantânea do centro de massa é calculada exatamente como você pode suspeitar:
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j} \label{9.33}\]
e isso, como a posição, tem componentes x, y e z.
Para calcular o centro de massa em situações reais, recomendamos o seguinte procedimento:
O centro de massa de um objeto é um vetor de posição. Portanto, para calculá-lo, siga estas etapas:
- Defina seu sistema de coordenadas. Normalmente, a origem é colocada no local de uma das partículas. No entanto, isso não é obrigatório.
- Determine as coordenadas x, y, z de cada partícula que compõe o objeto.
- Determine a massa de cada partícula e some-a para obter a massa total do objeto. Observe que a massa do objeto na origem deve ser incluída na massa total.
- Calcule os componentes x, y e z do vetor do centro de massa, usando a Equação\ ref {9,30}, a Equação\ ref {9,31} e a Equação\ ref {9,32}.
- Se necessário, use o teorema de Pitágoras para determinar sua magnitude.
Aqui estão dois exemplos que lhe darão uma ideia de qual é o centro de massa.
Usando dados do apêndice de texto, determine a que distância o centro de massa do sistema Terra-lua está do centro da Terra. Compare essa distância com o raio da Terra e comente o resultado. Ignore os outros objetos no sistema solar.
Estratégia
Obtemos as massas e a distância de separação da Terra e da Lua, impomos um sistema de coordenadas e usamos a Equação\ ref {9.29} com apenas N = 2 objetos. Usamos um subscrito “e” para nos referirmos à Terra e o subscrito “m” para nos referirmos à lua.
Solução
Defina a origem do sistema de coordenadas como o centro da Terra. Então, com apenas dois objetos, a Equação\ ref {9.29} se torna
\[R = \frac{m_{c} r_{c} + m_{m} r_{m}}{m_{c} + m_{m}} \ldotp\]
Do Apêndice D,
\[m_{c} = 5.97 \times 10^{24}\; kg\]
\[m_{m} = 7.36 \times 10^{22}\; kg\]
\[r_{m} = 3.82 \times 10^{5}\; m \ldotp\]
Definimos o centro da Terra como a origem, então r e = 0 m. Inserindo-os na equação de R dá
\[\begin{split} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24}\; kg)(0\; m) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)(3.82 \times 10^{8}\; m)}{(5.98 \times 10^{24}\; kg) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)} \\ & = 4.64 \times 10^{6}\; m \ldotp \end{split}\]
Significância
O raio da Terra é 6,37 x 10 6 m, então o centro de massa do sistema Terra-lua é (6,37 − 4,64) x 10 6 m = 1,73 x 10 6 m = 1730 km (aproximadamente 1080 milhas) abaixo da superfície da Terra. A localização do centro de massa é mostrada (não em escala).
Suponha que incluímos o sol no sistema. Aproximadamente onde estaria localizado o centro de massa do sistema Terra-Lua-Sol? (Sinta-se à vontade para realmente calculá-lo.)
A figura\(\PageIndex{3}\) mostra um único cristal de cloreto de sódio — sal comum de mesa. Os íons sódio e cloreto formam uma única unidade, NaCl. Quando várias unidades de NaCl se agrupam, elas formam uma rede cúbica. O menor cubo possível (chamado de célula unitária) consiste em quatro íons sódio e quatro íons cloreto, alternados. O comprimento de uma borda desse cubo (ou seja, o comprimento da ligação) é 2,36 x 10 −10 m. Encontre a localização do centro de massa da célula unitária. Especifique-o por suas coordenadas (r CM, x, r CM, y, r CM, z) ou por r CM e dois ângulos.
Estratégia
Podemos pesquisar todas as massas de íons. Se impormos um sistema de coordenadas na célula unitária, isso nos dará as posições dos íons. Podemos então aplicar a Equação\ ref {9,30}, a Equação\ ref {9,31} e a Equação\ ref {9,32} (junto com o teorema de Pitágoras).
Solução
Defina a origem como sendo a localização do íon cloreto na parte inferior esquerda da célula unitária. A figura\(\PageIndex{4}\) mostra o sistema de coordenadas.
Existem oito íons neste cristal, então N = 8:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
A massa de cada um dos íons cloreto é
\[35.453u \times \frac{1.660 \times 10^{-27}\; kg}{u} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg\]
então temos
\[m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
Para os íons de sódio,
\[m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]
A massa total da célula unitária é, portanto,
\[M = (4)(5.885 \times 10^{-26}\; kg) + (4)(3.816 \times 10^{-26}\; kg) = 3.880 \times 10^{-25}\; kg \ldotp\]
A partir da geometria, as localizações são
\[\begin{split} \vec{r}_{1} & = 0 \\ \vec{r}_{2} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} \\ \vec{r}_{3} & = r_{3x} \hat{i} + r_{3y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{4} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{5} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{6} & = r_{6x} \hat{i} + r_{6z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{7} & = r_{7x} \hat{i} + r_{7y} \hat{j} + r_{7z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{8} & = r_{8y} \hat{j} + r_{8z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \ldotp \end{split}\]
Substituindo:
\[\begin{split} |\vec{r}_{CM,x}| & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} (r_{x})_{j} \\ & = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1x} + m_{2} r_{2x} + m_{3} r_{3x} + m_{4} r_{4x} + m_{5} r_{5x} + m_{6} r_{6x} + m_{7} r_{7x} + m_{8} r_{8x}) \\ & = \frac{1}{3.8804 \times 10^{-25}\; kg} \Big[ (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(0\; m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) \\ & + (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 + 0 \\ & + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 \Big] \\ & = 1.18 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
Cálculos semelhantes fornecem r CM, y = r CM, z = 1,18 x 10 −10 m (você poderia argumentar que isso deve ser verdade, por simetria, mas é uma boa ideia verificar).
Significância
Ao que parece, não era realmente necessário converter a massa de unidades de massa atômica (u) em quilogramas, já que as unidades se dividem ao calcular r CM de qualquer maneira.
Para expressar r CM em termos de magnitude e direção, primeiro aplique o teorema tridimensional de Pitágoras aos componentes vetoriais:
\[\begin{split} r_{CM} & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = (1.18 \times 10^{-10}\; m) \sqrt{3} \\ & = 2.044 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]
Como esse é um problema tridimensional, são necessários dois ângulos para especificar a direção de\(\vec{r}_{CM}\). \(\phi\)Seja o ângulo no plano x, y, medido a partir do eixo +x, no sentido anti-horário, conforme visto de cima; então:
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{r_{CM,y}}{r_{CM,x}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
\(\theta\)Seja o ângulo no plano y, z, medido para baixo a partir do eixo +z; isso é (não surpreendentemente):
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{R_{z}}{R_{y}}\right) = 45^{o} \ldotp\]
Assim, o centro de massa está no centro geométrico da célula unitária. Novamente, você poderia argumentar isso com base na simetria.
Suponha que você tenha um cristal de sal macroscópico (ou seja, um cristal grande o suficiente para ser visível a olho nu). É composto por um grande número de células unitárias. O centro de massa desse cristal está necessariamente no centro geométrico do cristal?
Dois conceitos cruciais surgem desses exemplos:
- 1. Como em todos os problemas, você deve definir seu sistema de coordenadas e sua origem. Para cálculos de centro de massa, geralmente faz sentido escolher sua origem para estar localizada em uma das massas do seu sistema. Essa opção define automaticamente sua distância na Equação\ ref {9.29} como zero. No entanto, você ainda deve incluir a massa do objeto em sua origem no cálculo de M, a equação de massa total\ ref {9.19}. No exemplo do sistema Terra-lua, isso significa incluir a massa da Terra. Se não tivesse, teria acabado com o centro de massa do sistema no centro da lua, o que está claramente errado.
- No segundo exemplo (o cristal de sal), observe que não há massa alguma no local do centro de massa. Este é um exemplo do que afirmamos acima, que não precisa haver nenhuma massa real no centro de massa de um objeto.