9.7: Tipos de colisões
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- Identifique o tipo de colisão
- Identifique corretamente uma colisão como elástica ou inelástica
- Use energia cinética junto com momento e impulso para analisar uma colisão
Embora o momentum seja conservado em todas as interações, nem todas as interações (colisões ou explosões) são iguais. As possibilidades incluem:
- Um único objeto pode explodir em vários objetos (explosões).
- Vários objetos podem colidir e ficar juntos, formando um único objeto (inelástico).
- Vários objetos podem colidir e ricochetear um no outro, permanecendo como vários objetos (elásticos). Se eles ricochetearem um no outro, eles podem recuar na mesma velocidade com que se aproximaram antes da colisão, ou podem se mover mais lentamente.
Portanto, é útil categorizar diferentes tipos de interações, de acordo com a forma como os objetos que interagem se movem antes e depois da interação.
Explosões
A primeira possibilidade é que um único objeto se divida em duas ou mais peças. Um exemplo disso é um foguete, um arco e flecha ou um foguete subindo pelo ar em direção ao espaço. Pode ser difícil analisar se o número de fragmentos após a colisão é maior do que cerca de três ou quatro; mas, no entanto, o momento total do sistema antes e depois da explosão é idêntico.
Observe que, se o objeto estiver inicialmente imóvel, o sistema (que é apenas o objeto) não tem momento nem energia cinética. Após a explosão, o momento líquido de todas as peças do objeto deve somar zero (já que o momento desse sistema fechado não pode mudar). No entanto, o sistema terá uma grande quantidade de energia cinética após a explosão, embora não tivesse nenhuma antes. Assim, vemos que, embora o momento do sistema seja conservado em uma explosão, a energia cinética do sistema definitivamente não é; ela aumenta. Essa interação - um objeto se tornando muitos, com um aumento da energia cinética do sistema - é chamada de explosão.
De onde vem a energia? A conservação de energia ainda se mantém? Sim; alguma forma de energia potencial é convertida em energia cinética. No caso de queima de pólvora e lançamento de uma bala, a energia potencial química é convertida em energia cinética da bala e da arma recuando. Para um arco e flecha, é a energia potencial elástica na corda do arco.
Inelástico
A segunda possibilidade é inversa: que dois ou mais objetos colidam entre si e fiquem juntos, formando assim (após a colisão) um único objeto composto. A massa total desse objeto composto é a soma das massas dos objetos originais, e o novo objeto único se move com uma velocidade ditada pela conservação do momento. No entanto, acontece novamente que, embora o momento total do sistema de objetos permaneça constante, a energia cinética não; mas desta vez, a energia cinética diminui. Esse tipo de colisão é chamado de inelástico.
Qualquer colisão em que os objetos fiquem juntos resultará na perda máxima de energia cinética (ou seja, K f será o mínimo).
Diz-se que essa colisão é perfeitamente inelástica. Em casos extremos, vários objetos colidem, se unem e permanecem imóveis após a colisão. Como os objetos ficam todos imóveis após a colisão, a energia cinética final também é zero; portanto, a perda de energia cinética é máxima.
- Se 0 < K f < K i, a colisão é inelástica.
- Se K f for a energia mais baixa, ou a energia perdida por ambos os objetos for a maior, a colisão é perfeitamente inelástica (os objetos ficam juntos).
- Se K f = K i, a colisão é elástica.
Elástico
O caso extremo do outro lado é quando dois ou mais objetos se aproximam, colidem e ricocheteiam um no outro, afastando-se um do outro na mesma velocidade relativa com que se aproximam. Nesse caso, a energia cinética total do sistema é conservada. Essa interação é chamada de elástica.
Em qualquer interação de um sistema fechado de objetos, o momento total do sistema é conservado (\(\vec{p}_{f}\)=\(\vec{p}_{i}\)), mas a energia cinética pode não ser:
- Se 0 < K f < K i, a colisão é inelástica.
- Se K f = 0, a colisão é perfeitamente inelástica.
- Se K f = K i, a colisão é elástica.
- Se K f > K i, a interação é uma explosão.
O objetivo de tudo isso é que, ao analisar uma colisão ou explosão, você pode usar tanto o momento quanto a energia cinética.
Um sistema fechado sempre conserva o momentum; ele também pode conservar energia cinética, mas muitas vezes não. Os problemas de energia-momento confinados a um plano (como o nosso) geralmente têm duas incógnitas. Geralmente, essa abordagem funciona bem:
- Defina um sistema fechado.
- Anote a expressão para conservação do momentum.
- Se a energia cinética for conservada, anote a expressão para conservação da energia cinética; se não, anote a expressão para a mudança da energia cinética.
- Agora você tem duas equações em duas incógnitas, que você resolve por métodos padrão.
Um próton (massa de 1,67 x 10 −27 kg) colide com um nêutron (com essencialmente a mesma massa do próton) para formar uma partícula chamada deutério. Qual é a velocidade do deutério se ele for formado a partir de um próton se movendo com velocidade 7,0 x 10 6 m/s para a esquerda e um nêutron se movendo com velocidade de 4,0 x 10 6 m/s para a direita?
Estratégia
Defina o sistema como sendo as duas partículas. Isso é uma colisão, então devemos primeiro identificar de que tipo. Como nos dizem que as duas partículas formam uma única partícula após a colisão, isso significa que a colisão é perfeitamente inelástica. Assim, a energia cinética não é conservada, mas o momentum é. Assim, usamos a conservação do momento para determinar a velocidade final do sistema.
Solução
Trate as duas partículas como tendo massas idênticas M. Use os subscritos p, n e d para próton, nêutron e deutério, respectivamente. Este é um problema unidimensional, então temos
\[Mv_{p} - Mv_{n} = 2Mv_{d} \ldotp\]
As massas se dividem:
\[\begin{split} v_{p} - v_{n} & = 2v_{d} \\ (7.0 \times 10^{6}\; m/s) - (4.0 \times 10^{6}\; m/s) & = 2v_{d} \\ v_{d} & = 1.5 \times 10^{6}\; m/s \ldotp \end{split}\]
A velocidade é, portanto\(\vec{v}_{d} = (1.5 \times 10^{6}\; m/s) \hat{i}\).
Significância
É essencialmente assim que os colisores de partículas, como o Grande Colisor de Hádrons, funcionam: eles aceleram as partículas até velocidades muito altas (grandes momentos), mas em direções opostas. Isso maximiza a criação das chamadas “partículas filhas”.
(Essa é uma variação de um exemplo anterior.)
Dois discos de hóquei no gelo de massas diferentes estão em uma pista de hóquei plana e horizontal. O disco vermelho tem uma massa de 15 gramas e está imóvel; o disco azul tem uma massa de 12 gramas e está se movendo a 2,5 m/s para a esquerda. Ele colide com o disco vermelho imóvel (Figura\(\PageIndex{1}\)). Se a colisão for perfeitamente elástica, quais são as velocidades finais dos dois discos?
Estratégia
Somos informados de que temos dois objetos em colisão, e nos dizem suas massas e velocidades iniciais, e uma velocidade final; somos solicitados a fornecer as duas velocidades finais. A conservação do momentum parece uma boa estratégia; defina o sistema como sendo os dois discos. Não há atrito, então temos um sistema fechado. Temos duas incógnitas (as duas velocidades finais), mas apenas uma equação. O comentário sobre a colisão ser perfeitamente elástica é a pista; sugere que a energia cinética também é conservada nessa colisão. Isso nos dá nossa segunda equação.
O momento inicial e a energia cinética inicial do sistema residem inteiramente e somente no segundo disco (o azul); a colisão transfere parte desse momento e energia para o primeiro disco.
Solução
Conservação do momentum, neste caso, lê
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ m_{2}v_{2,i} & = m_{1} v_{1,f} + m_{2} v_{2,f} \ldotp \end{split}\]
Conservação de leituras de energia cinética
\[\begin{split} K_{i} & = K_{f} \\ \frac{1}{2} m_{2} v_{2,i}^{2} & = \frac{1}{2} m_{1} v_{1,f}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
Existem nossas duas equações em duas incógnitas. A álgebra é entediante, mas não muito difícil; você definitivamente deveria resolvê-la. A solução é
\[v_{1,f} = \frac{(m_{1} - m_{2})v_{1,i} + 2m_{2} v_{2,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
\[v_{2,f} = \frac{(m_{2} - m_{1})v_{2,i} + 2m_{1} v_{1,i}}{m_{1} + m_{2}}\]
Substituindo os números dados, obtemos
\[v_{1,f} = 2.22\; m/s\]
\[v_{2,f} = -0.28\; m/s \ldotp\]
Significância
Observe que após a colisão, o disco azul está se movendo para a direita; sua direção de movimento foi invertida. O disco vermelho agora está se movendo para a esquerda.
Há uma segunda solução para o sistema de equações resolvida neste exemplo (porque a equação de energia é quadrática): v 1, f = −2,5 m/s, v 2, f = 0. Essa solução é inaceitável por motivos físicos; o que há de errado com ela?
O filme de 2012 “Os Vingadores” tem uma cena em que Homem de Ferro e Thor lutam. No início da luta, Thor joga seu martelo no Homem de Ferro, batendo nele e jogando-o levemente no ar e contra uma pequena árvore, que se rompe. No vídeo, o Homem de Ferro está parado quando o martelo o atinge. A distância entre Thor e Homem de Ferro é de aproximadamente 10 m, e o martelo leva cerca de 1 s para alcançar o Homem de Ferro depois que Thor o solta. A árvore está cerca de 2 m atrás do Homem de Ferro, que ele atinge em cerca de 0,75 s. Também no vídeo, a trajetória do Homem de Ferro até a árvore é muito próxima da horizontal. Supondo que a massa total do Homem de Ferro seja de 200 kg:
- Estime a massa do martelo de Thor
- Estime quanta energia cinética foi perdida nesta colisão
Estratégia
Após a colisão, o martelo de Thor fica em contato com o Homem de Ferro o tempo todo, então essa é uma colisão perfeitamente inelástica. Assim, com a escolha correta de um sistema fechado, esperamos que o momentum seja conservado, mas não a energia cinética. Usamos os números fornecidos para estimar o momento inicial, a energia cinética inicial e a energia cinética final. Como esse é um problema unidimensional, podemos ir diretamente para a forma escalar das equações.
Solução
- Primeiro, postulamos a conservação do momentum. Para isso, precisamos de um sistema fechado. A escolha aqui é o sistema (martelo + Homem de Ferro), desde o momento da colisão até o momento pouco antes do Homem de Ferro e do martelo atingirem a árvore. Deixe:
- M H = massa do martelo
- M I = massa do Homem de Ferro
- v H = velocidade do martelo antes de atingir o Homem de Ferro
- v = velocidade combinada do martelo Homem de Ferro + após a colisão
Novamente, a velocidade inicial do Homem de Ferro era zero. A conservação do momentum aqui diz:
\[M_{H} v_{H} = (M_{H} + M_{I})v \ldotp\]
Somos convidados a encontrar a massa do martelo, então temos
\[\begin{split} M_{H} v_{H} & = M_{H} v + M_{1} v \\ M_{H} (v_{H} - v) & = M_{I} v \\ M_{H} & = \frac{M_{I}v}{v_{H} - v} \\ & = \frac{(200\; kg) \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)}{10\; m/s - \left(\dfrac{2\; m}{0.75\; s}\right)} \\ & = 73\; kg \ldotp \end{split}\]
Considerando as incertezas em nossas estimativas, isso deve ser expresso com apenas um valor significativo; portanto, M H = 7 x 10 1 kg.
- A energia cinética inicial do sistema, como o momento inicial, está toda no martelo: $$\ begin {split} K_ {i} & =\ frac {1} {2} M_ {H} v_ {H} ^ {2}\\ & =\ frac {1} {2} (70\; kg) (10\; m/s) ^ {2}\\ & = 3500\;; J\ ldotp\ end {split} $$Depois da colisão, $$\ begin {split} K_ {f} & =\ frac {1} {2} (M_ {H} + M_ {I}) v^ {2}\\ & =\ frac {1} {2} (70\; kg + 200\; kg) (2,67\; m/s) ^ {2}\\ & = 960\; J\ ldotp\ end {split} $Assim, houve uma perda de 3500 J − 960 J = 2540 J.
Significância
Em outras cenas do filme, Thor aparentemente consegue controlar a velocidade do martelo com sua mente. É possível, portanto, que ele faça com que mentalmente o martelo mantenha sua velocidade inicial de 10 m/s enquanto o Homem de Ferro está sendo empurrado para trás em direção à árvore. Nesse caso, isso representaria uma força externa em nosso sistema, portanto, não seria fechado. No entanto, o controle mental de Thor sobre seu martelo está além do escopo deste livro.
Em um semáforo, um caminhão grande (3000 kg) colide com um carro pequeno imóvel (1200 kg). O caminhão pára instantaneamente; o carro desliza para frente, parando depois de deslizar 10 metros. O coeficiente de atrito medido entre os pneus do carro e a estrada foi de 0,62. Com que rapidez o caminhão estava se movendo no momento do impacto?
Estratégia
À primeira vista, pode parecer que não temos informações suficientes para resolver esse problema. Embora saibamos a velocidade inicial do carro, não sabemos a velocidade do caminhão (na verdade, é isso que devemos encontrar), então não sabemos a dinâmica inicial do sistema. Da mesma forma, sabemos a velocidade final do caminhão, mas não a velocidade do carro imediatamente após o impacto. O fato de o carro ter caído para uma velocidade de zero não ajuda no impulso final, já que uma força de atrito externa causou isso. Também não podemos calcular um impulso, pois não sabemos o tempo de colisão ou a quantidade de tempo que o carro deslizou antes de parar. Uma estratégia útil é impor uma restrição à análise.
Suponha que definamos um sistema que consiste apenas no caminhão e no carro. A dinâmica desse sistema não é conservada, devido ao atrito entre o carro e a estrada. Mas se pudéssemos encontrar a velocidade do carro no instante após o impacto — antes que o atrito tivesse qualquer efeito mensurável no carro — então poderíamos considerar que a dinâmica do sistema seria conservada, com essa restrição.
Podemos encontrar a velocidade final do carro? Sim; invocamos o teorema da energia cinética do trabalho.
Solução
Primeiro, defina algumas variáveis. Deixe:
- M c e M T são as massas do carro e do caminhão, respectivamente
- v T, i e v T, f são as velocidades do caminhão antes e depois da colisão, respectivamente
- v c, i e v c, f são as velocidades do carro antes e depois da colisão, respectivamente
- K i e K f são as energias cinéticas do carro imediatamente após a colisão e depois que o carro parou de deslizar (então K f = 0).
- d é a distância em que o carro desliza após a colisão antes de finalmente parar.
Como realmente queremos a velocidade inicial do caminhão, e como o caminhão não faz parte do cálculo da energia de trabalho, vamos começar com a conservação do momentum. Para o sistema carro+caminhão, a conservação do momentum diz
\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ M_{c} v_{c,i} + M_{T} v_{T,i} & = M_{c} v_{c,f} + M_{T} v_{T,f} \ldotp \end{split}\]
Como a velocidade inicial do carro era zero, assim como a velocidade final do caminhão, isso simplifica para
\[v_{T,i} = \frac{M_{c}}{M_{T}} v_{c,f} \ldotp\]
Então, agora precisamos da velocidade do carro imediatamente após o impacto. Lembre-se de que
\[W = \Delta K\]
onde
\[\begin{split} \Delta K & = K_{f} - K_{i} \\ & = 0 - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp \end{split}\]
Além disso,
\[W = \vec{F}\; \cdotp \vec{d} = Fd \cos \theta \ldotp\]
O trabalho é feito na distância em que o carro desliza, o que chamamos de d. Equacionando:
\[Fd \cos \theta = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2} \ldotp\]
O atrito é a força no carro que faz o trabalho de impedir o deslizamento. Com uma estrada nivelada, a força de atrito é
\[F = \mu_{k} M_{c} g \ldotp\]
Como o ângulo entre as direções do vetor de força de atrito e o deslocamento d é 180° e cos (180°) = —1, temos
\[- (\mu_{k} M_{c} g) d = - \frac{1}{2} M_{c} v_{c,f}^{2}\]
(Observe que a massa do carro se divide; evidentemente, a massa do carro não importa.)
Resolver a velocidade do carro imediatamente após a colisão dá
\[v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} \ldotp\]
Substituindo os números fornecidos:
\[\begin{split} v_{c,f} & = \sqrt{2(0.62)(9.81\; m/s^{2})(10\; m)} \\ & = 11.0\; m/s \ldotp \end{split}\]
Agora podemos calcular a velocidade inicial do caminhão:
\[v_{T,i} = \left(\dfrac{1200\; kg}{3000\; kg}\right) (11.0\; m/s) = 4.4\; m/s \ldotp\]
Significância
Este é um exemplo do tipo de análise feita por investigadores de acidentes automobilísticos graves. Muitas consequências legais e financeiras dependem de uma análise e cálculo precisos do momentum e da energia.
Suponha que não tenha havido atrito (a colisão aconteceu no gelo); isso resultaria em\(\mu_{k}\) zero e, portanto\(v_{c,f} = \sqrt{2 \mu_{k} gd} = 0\), o que está obviamente errado. Qual é o erro nessa conclusão?
Colisões subatômicas e momento
A conservação do momento é crucial para nossa compreensão das partículas atômicas e subatômicas porque muito do que sabemos sobre essas partículas vem de experimentos de colisão.
No início do século XX, havia considerável interesse e debate sobre a estrutura do átomo. Sabia-se que os átomos contêm dois tipos de partículas carregadas eletricamente: elétrons carregados negativamente e prótons carregados positivamente. (Suspeitava-se a existência de uma partícula eletricamente neutra, mas não seria confirmada até 1932.) A questão era: como essas partículas estavam dispostas no átomo? Eles estavam distribuídos uniformemente por todo o volume do átomo (como propôs J.J. Thomson), ou dispostos nos cantos de polígonos regulares (que era o modelo de Gilbert Lewis), ou anéis de carga negativa que cercam o núcleo com carga positiva — mais ou menos como os anéis planetários ao redor de Saturno (como sugerido) de Hantaro Nagaoka), ou alguma outra coisa?
O físico neozelandês Ernest Rutherford (junto com o físico alemão Hans Geiger e o físico britânico Ernest Marsden) realizou o experimento crucial em 1909. Eles bombardearam uma fina folha de ouro com um feixe de partículas alfa de alta energia (ou seja, de alta velocidade) (o núcleo de um átomo de hélio). As partículas alfa colidiram com os átomos de ouro e suas velocidades subsequentes foram detectadas e analisadas, usando conservação de momento e conservação de energia.
Se as cargas dos átomos de ouro fossem distribuídas uniformemente (de acordo com Thomson), as partículas alfa deveriam colidir com elas e quase todas seriam desviadas por vários ângulos, todos pequenos; o modelo de Nagaoka produziria um resultado semelhante. Se os átomos fossem organizados como polígonos regulares (Lewis), as partículas alfa se desviariam em um número relativamente pequeno de ângulos.
O que realmente aconteceu é que quase nenhuma das partículas alfa foi desviada. As que estavam, foram desviadas em grandes ângulos, algumas próximas a 180° - essas partículas alfa inverteram completamente a direção (Figura\(\PageIndex{2}\)). Nenhum dos modelos atômicos existentes poderia explicar isso. Eventualmente, Rutherford desenvolveu um modelo do átomo que estava muito mais próximo do que temos agora — novamente, usando a conservação do momento e da energia como ponto de partida.