9.6: Conservação do Momento Linear (Parte 2)
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Usar a conservação do momentum requer quatro etapas básicas. O primeiro passo é crucial:
- Identifique um sistema fechado (a massa total é constante, nenhuma força externa líquida atua no sistema).
- Anote uma expressão representando o momento total do sistema antes do “evento” (explosão ou colisão).
- Anote uma expressão representando a dinâmica total do sistema após o “evento”.
- Defina essas duas expressões iguais uma à outra e resolva essa equação para a quantidade desejada
Dois carrinhos em um laboratório de física rolam em uma pista nivelada, com atrito insignificante. Esses carrinhos têm pequenos ímãs nas extremidades, de modo que, quando colidem, ficam juntos (Figura\(\PageIndex{1}\)). O primeiro carrinho tem uma massa de 675 gramas e está rolando a 0,75 m/s para a direita; o segundo tem uma massa de 500 gramas e está rolando a 1,33 m/s, também para a direita. Depois da colisão, qual é a velocidade das duas carretas unidas?
Estratégia
Temos uma colisão. Recebemos massas e velocidades iniciais; nos é solicitada a velocidade final. Tudo isso sugere o uso da conservação do momentum como método de solução. No entanto, só podemos usá-lo se tivermos um sistema fechado. Portanto, precisamos ter certeza de que o sistema que escolhemos não tenha força externa líquida e que sua massa não seja alterada pela colisão.
Definir o sistema como sendo os dois carrinhos atende aos requisitos de um sistema fechado: A massa combinada dos dois carros certamente não muda e, embora os carros definitivamente exerçam forças um sobre o outro, essas forças são internas ao sistema, portanto, não alteram o momentum do sistema como um todo. Na direção vertical, os pesos dos carros são cancelados pelas forças normais nas carretas da pista.
Solução
A conservação do momentum é
\[\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i} \ldotp \nonumber\]
Defina a direção de seus vetores de velocidade iniciais como sendo a direção+x. O momento inicial é então
\[\vec{p}_{i} = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]
O momento final dos carrinhos agora vinculados é
\[\vec{p}_{f} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} \ldotp \nonumber\]
Equacionando:
\[\begin{align*} (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} & = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \\[4pt] \vec{v}_{f} & = \left(\dfrac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]
Substituindo os números fornecidos:
\[\begin{align*} \vec{v}_{f} & = \Bigg[ \frac{(0.675\; kg)(0.75\; m/s) + (0.5\; kg)(1.33\; m/s)}{1.175\; kg} \Bigg] \hat{i} \\[4pt] & = (0.997\; m/s) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]
Significância
Os princípios que se aplicam aqui a dois carrinhos de laboratório se aplicam de forma idêntica a todos os objetos de qualquer tipo ou tamanho. Mesmo para fótons, os conceitos de momento e conservação do momento ainda são crucialmente importantes, mesmo nessa escala. (Como eles não têm massa, o momento de um fóton é definido de forma muito diferente do momento de objetos comuns. Você aprenderá sobre isso ao estudar física quântica.)
Suponha que o segundo carrinho menor estivesse inicialmente se movendo para a esquerda. Qual teria sido o sinal da velocidade final nesse caso?
Uma superbola de massa de 0,25 kg é jogada do repouso de uma altura de h = 1,50 m acima do chão. Ele salta sem perda de energia e retorna à sua altura inicial (Figura\(\PageIndex{2}\)).
- Qual é a mudança de impulso da superbola durante seu salto no chão?
- Qual foi a mudança de impulso da Terra devido à colisão da bola com o chão?
- Qual foi a mudança de velocidade da Terra como resultado dessa colisão?
(Este exemplo mostra que você precisa ter cuidado ao definir seu sistema.)
Estratégia
Como nos perguntam apenas sobre a mudança de impulso da bola, definimos nosso sistema como sendo a bola. Mas isso claramente não é um sistema fechado; a gravidade aplica uma força descendente na bola enquanto ela está caindo, e a força normal do chão aplica uma força durante o salto. Portanto, não podemos usar a conservação do momentum como estratégia. Em vez disso, simplesmente determinamos o momento da bola logo antes de ela colidir com o chão e logo depois, e calculamos a diferença. Temos a massa da bola, então precisamos de suas velocidades.
Solução
- Como esse é um problema unidimensional, usamos a forma escalar das equações. Deixe:
- p 0 = a magnitude do impulso da bola no tempo t 0, no momento em que ela foi lançada; uma vez que ela caiu do repouso, isso é zero.
- p 1 = a magnitude do impulso da bola no tempo t 1, no instante imediatamente antes de ela atingir o chão.
- p 2 = a magnitude do impulso da bola no tempo t 2, logo após ela perder contato com o chão após o salto.
A mudança de impulso da bola é
\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\[4pt] & = p_{2}\; \hat{j} - (-p_{1}\; \hat{j}) \\[4pt] & = (p_{2} + p_{1}) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]
Sua velocidade logo antes de atingir o chão pode ser determinada pela conservação de energia ou pela cinemática. Usamos cinemática aqui; você deve resolvê-la usando a conservação de energia e confirmar que obtém o mesmo resultado.
Queremos a velocidade logo antes de atingir o solo (no tempo t 1). Sabemos sua velocidade inicial v 0 = 0 (no tempo t 0), a altura em que ela cai e sua aceleração; não sabemos o tempo de queda. Poderíamos calcular isso, mas em vez disso usamos
\[\vec{v}_{1} = - \hat{j} \sqrt{2gy} = -5.4\; m/s\; \hat{j} \ldotp \nonumber\]
Assim, a bola tem um impulso de
\[\begin{align*} \vec{p}_{1} & = - (0.25\; kg)(-5.4\; m/s\; \hat{j}) \\[4pt] & = - (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]
Não temos uma maneira fácil de calcular o momentum após o salto. Em vez disso, raciocinamos com base na simetria da situação.
Antes do salto, a bola começa com velocidade zero e cai 1,50 m sob a influência da gravidade, atingindo uma certa quantidade de impulso pouco antes de atingir o solo. Na viagem de volta (após o salto), ele começa com uma certa quantidade de impulso, sobe nos mesmos 1,50 m em que caiu e termina com velocidade zero. Assim, o movimento após o salto era a imagem espelhada do movimento antes do salto. A partir dessa simetria, deve ser verdade que o momento da bola após o salto deve ser igual e oposto ao seu momento antes do salto. (Esse é um argumento sutil, mas crucial; certifique-se de entendê-lo antes de continuar.) Portanto,
\[\vec{p}_{2} = - \vec{p}_{1} = + (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]
Assim, a mudança de impulso da bola durante o salto é
\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\ & = (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \\ & = + (2.8\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]
- Qual foi a mudança de impulso da Terra devido à colisão da bola com o chão? Sua resposta instintiva pode muito bem ter sido “zero; a Terra é muito grande para que aquela pequena bola a tenha afetado” ou possivelmente “mais de zero, mas totalmente insignificante”. Mas não, se redefinirmos nosso sistema para ser a Superball + Terra, esse sistema está fechado (negligenciando as atrações gravitacionais do Sol, da Lua e dos outros planetas do sistema solar) e, portanto, a mudança total de momentum desse novo sistema deve ser zero. Portanto, a mudança de momento da Terra é exatamente a mesma magnitude: $$\ Delta\ vec {p} _ {Earth} = -2,8\; kg\;\ cdotp m/s\;\ hat {j}\ ldotp$$
- Qual foi a mudança de velocidade da Terra como resultado dessa colisão? É aqui que seu sentimento instintivo provavelmente está correto:\[\begin{align*} \Delta \vec{v}_{Earth} & = \frac{\Delta \vec{p}_{Earth}}{M_{Earth}} \\[4pt] & = - \frac{2.8\; kg\; \cdotp m/s}{5.97 \times 10^{24}\; kg}\; \hat{j} \\[4pt] & = - (4.7 \times 10^{-25}\; m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\] essa mudança na velocidade da Terra é totalmente insignificante
Significância
É importante perceber que a resposta para a parte (c) não é uma velocidade; é uma mudança de velocidade, que é uma coisa muito diferente. No entanto, para dar uma ideia de quão pequena é essa mudança de velocidade, suponha que você estivesse se movendo com uma velocidade de 4,7 x 10 −25 m/s. Nessa velocidade, você levaria cerca de 7 milhões de anos para percorrer uma distância igual ao diâmetro de um átomo de hidrogênio.
A mudança de impulso da bola teria sido maior, menor ou a mesma se ela tivesse colidido com o chão e parado (sem quicar)? A mudança de impulso da bola teria sido maior, menor ou a mesma se ela tivesse colidido com o chão e parado (sem quicar)?
Dois discos de hóquei de massa idêntica estão em uma pista de hóquei no gelo plana e horizontal. O disco vermelho está imóvel; o disco azul está se movendo a 2,5 m/s para a esquerda (Figura\(\PageIndex{3}\)). Ele colide com o disco vermelho imóvel. Os discos têm uma massa de 15 g. Após a colisão, o disco vermelho está se movendo a 2,5 m/s, para a esquerda. Qual é a velocidade final do disco azul?
Estratégia
Somos informados de que temos dois objetos em colisão, nos dizem as massas e as velocidades iniciais e uma velocidade final; somos solicitados a fornecer as duas velocidades finais. A conservação do momentum parece ser uma boa estratégia. Defina o sistema como sendo os dois discos; não há atrito, então temos um sistema fechado.
Antes de analisar a solução, qual você acha que será a resposta?
A velocidade final do disco azul será:
- zero
- 2,5 m/s para a esquerda
- 2,5 m/s para a direita
- 1,25 m/s para a esquerda
- 1,25 m/s para a direita
- outra coisa
Solução
Defina a direção+x para apontar para a direita. Conservação do momentum então lê
\[\begin{align*} \vec{p_{f}} & = \vec{p_{i}} \\ mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} & = mv_{r_{i}}\; \hat{i} - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \end{align*}\]
Antes da colisão, o impulso do sistema está inteiramente e somente no disco azul. Assim,
\[mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} = - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \nonumber\]
\[v_{r_{f}}\; \hat{i} + v_{b_{f}}\; \hat{i} = - v_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]
(Lembre-se de que as massas dos discos são iguais.) Substituindo números:
\[\begin{align*} - (2.5\; m/s) \hat{i} + \vec{v}_{b_{f}} & = - (2.5\; m/s) \hat{i} \\ \vec{v}_{b_{f}} & = 0 \ldotp \end{align*}\]
Significância
Evidentemente, os dois discos simplesmente trocaram impulso. O disco azul transferiu todo o seu impulso para o disco vermelho. Na verdade, isso é o que acontece em uma colisão semelhante, onde m 1 = m 2.
Mesmo que houvesse algum atrito no gelo, ainda é possível usar a conservação do momento para resolver esse problema, mas seria necessário impor uma condição adicional ao problema. Qual é essa condição adicional?
Em 12 de novembro de 2014, a Agência Espacial Europeia pousou com sucesso uma sonda chamada Philae no cometa 67P/Churyumov/Gerasimenko (Figura\(\PageIndex{4}\)). Durante o pouso, no entanto, a sonda realmente pousou três vezes, porque saltou duas vezes. Vamos calcular o quanto a velocidade do cometa mudou como resultado do primeiro salto.
Vamos definir para cima como sendo a direção+y, perpendicular à superfície do cometa, e y = 0 como estando na superfície do cometa. Aqui está o que sabemos:
- A massa do cometa 67P: M c = 1,0 x 10 13 kg
- A aceleração devido à gravidade do cometa:\(\vec{a}\) = − (5,0 x 10 −3 m/s 2)\(\hat{j}\)
- Massa de Philae: M p = 96 kg
- Velocidade inicial de touchdown:\(\vec{v}_{1}\) = − (1,0 m/s)\(\hat{j}\)
- Velocidade ascendente inicial devido ao primeiro salto:\(\vec{v}_{2}\) = (0,38 m/s)\(\hat{j}\)
- Tempo de impacto de aterrissagem:\(\Delta\) t = 1,3 s
Estratégia
Somos questionados sobre o quanto a velocidade do cometa mudou, mas não sabemos muito sobre o cometa, além de sua massa e da aceleração que sua gravidade causa. No entanto, somos informados de que a sonda Philae colide com (pousa sobre) o cometa e salta nele. Uma colisão sugere momentum como estratégia para resolver esse problema.
Se definirmos um sistema que consiste tanto no Philae quanto no cometa 67/P, então não há força externa líquida nesse sistema e, portanto, o momentum desse sistema é conservado. (Vamos negligenciar a força gravitacional do sol.) Assim, se calcularmos a mudança de momento da sonda, teremos automaticamente a mudança de momento do cometa. Além disso, a mudança de velocidade do cometa está diretamente relacionada à mudança de momento como resultado da “colisão” da sonda com ele.
Solução
\(\vec{p}_{1}\)Seja o ímpeto de Philae no momento, pouco antes do touchdown, e\(\vec{p}_{2}\) seja o ímpeto logo após o primeiro salto. Então, seu ímpeto pouco antes do pouso foi
\[\vec{p}_{1} = M_{p} \vec{v}_{1} = (96\; kg)(-1.0\; m/s\; \hat{j}) = - (96\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \nonumber\]
e logo depois foi
\[\vec{p}_{2} = M_{p} \vec{v}_{2} = (96\; kg)(+0.38\; m/s\; \hat{j}) = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]
Portanto, a mudança de impulso da sonda durante o primeiro salto é
\[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} \vec{p}_{1} \\ & = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-96.0\; kg\; \cdotp m/s\; \hat{j}) \\ & = (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \end{align*}\]
Observe como é importante incluir o sinal negativo do momentum inicial.
Agora, para o cometa. Como a dinâmica do sistema deve ser conservada, a dinâmica do cometa mudou exatamente pelo negativo disso:
\[\Delta \vec{p}_{c} = - \Delta \vec{p} = - (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]
Portanto, sua mudança de velocidade é
\[\Delta \vec{v}_{c} = \frac{\Delta \vec{p}_{c}}{M_{c}} = \frac{-(133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j}}{1.0 \times 10^{13}\; kg} = - (1.33 \times 10^{-11}\; m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]
Significância
Essa é uma mudança muito pequena na velocidade, cerca de um milésimo de um bilionésimo de um metro por segundo. Crucialmente, no entanto, não é zero.
As mudanças de momentum para Philae e para o Cometa 67/P foram iguais (em magnitude). Os impulsos experimentados por Philae e pelo cometa foram iguais? E quanto às forças? E quanto às mudanças das energias cinéticas?