9.5: Conservação do Momento Linear (Parte 1)

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Objetivos de

Explique o significado de “conservação do momentum”
Identifique corretamente se um sistema está ou não fechado
Defina um sistema cujo momentum seja conservado
Expresse matematicamente a conservação do momento para um determinado sistema
Calcule uma quantidade desconhecida usando a conservação do momentum

Lembre-se da terceira lei de Newton: Quando dois objetos de massas m ₁ e m ₂ interagem (o que significa que eles aplicam forças um sobre o outro), a força que o objeto 2 aplica ao objeto 1 é igual em magnitude e oposta em direção à força que o objeto 1 aplica no objeto 2. Deixe:

$\vec{F}_{21}$= a força em m ₁ de m ₂
$\vec{F}_{12}$= a força em m ₂ de m ₁

Então, em símbolos, a terceira lei de Newton diz

\[\begin{split} \vec{F}_{21} & = - \vec{F}_{12} \\ m_{1} \vec{a}_{1} & = -m_{2} \vec{a}_{2} \ldotp \end{split} \label{9.10}\]

(Lembre-se de que essas duas forças não são canceladas porque são aplicadas a objetos diferentes. F ₂₁ faz com que m ₁ acelere e F ₁₂ faz com que m ₂ acelere.)

Embora as magnitudes das forças nos objetos sejam as mesmas, as acelerações não são, simplesmente porque as massas (em geral) são diferentes. Portanto, as mudanças na velocidade de cada objeto são diferentes:

\[\frac{d \vec{v}_{1}}{dt} \neq \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp\]

No entanto, os produtos da massa e a mudança de velocidade são iguais (em magnitude):

\[m_{1} \frac{d \vec{v}_{1}}{dt} = - m_{2} \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.11}\]

É uma boa ideia, neste momento, ter certeza de que você está claro sobre o significado físico das derivadas na Equação 9.3.3. Por causa da interação, cada objeto acaba tendo sua velocidade alterada, em uma quantidade dv. Além disso, a interação ocorre em um intervalo de tempo dt, o que significa que a mudança de velocidade também ocorre sobre dt. Esse intervalo de tempo é o mesmo para cada objeto.

Vamos supor, no momento, que as massas dos objetos não mudem durante a interação. (Vamos relaxar essa restrição mais tarde.) Nesse caso, podemos puxar as massas para dentro das derivadas:

\[\frac{d}{dt} (m_{1} \vec{v}_{1}) = - \frac{d}{dt} (m_{2} \vec{v}_{2}) \label{9.12}\]

e, portanto,

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} = - \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.13}\]

Isso diz que a taxa na qual o momentum muda é a mesma para os dois objetos. As massas são diferentes e as mudanças de velocidade são diferentes, mas a taxa de variação do produto de m e$\vec{v}$ é a mesma.

Fisicamente, isso significa que durante a interação dos dois objetos (m ₁ e m ₂), ambos os objetos têm seu momento alterado; mas essas mudanças são idênticas em magnitude, embora opostas em signo. Por exemplo, o momento do objeto 1 pode aumentar, o que significa que o momento do objeto 2 diminui exatamente na mesma quantidade.

Diante disso, vamos reescrever a Equação\ ref {9.12} de uma forma mais sugestiva:

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} = 0 \ldotp \label{9.14}\]

Isso diz que durante a interação, embora o momento do objeto 1 mude e o momento do objeto 2 também mude, essas duas mudanças se cancelam, de modo que a mudança total do momento dos dois objetos juntos é zero.

Como o momento total combinado dos dois objetos juntos nunca muda, então poderíamos escrever

\[\frac{d}{dt} (\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}) = 0 \label{9.15}\]

do qual se segue que

\[\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} = constant \ldotp \label{9.16}\]

Conforme mostrado na Figura$\PageIndex{1}$, o momento total do sistema antes e depois da colisão permanece o mesmo.

Antes da colisão, a bola amarela1 está se movendo para baixo e para a direita, apontando para o centro da bola azul 2. A bola azul 2 está se movendo para a esquerda e ligeiramente para baixo, e mais lentamente do que a bola 1. Somos informados de que o vetor total p é igual ao vetor p 1 mais o vetor p 2 e nos é mostrada a soma como um diagrama vetorial: p 1 e p 2 são colocados com a cauda de p 2 na cabeça de p 1. Um vetor é desenhado da cauda de p 1 até a cabeça de p 2. Após a colisão, a bola amarela está se movendo lentamente para a direita e p 2 está se movendo mais rapidamente para baixo e para a esquerda. Somos informados de que o vetor total primo p é igual ao vetor p primo 1 mais o vetor p primo 2 e nos é mostrada a soma como um diagrama vetorial: p primo 1 e p primo 2 são colocados com a cauda de p primo 2 na cabeça de p primo 1. Um vetor é desenhado da cauda de p primo 1 até a cabeça de p primo 2 e tem o mesmo comprimento e na mesma direção do vetor de soma antes da colisão. — Figura$\PageIndex{1}$: Antes da colisão, as duas bolas de bilhar viajam com momenta$\vec{p}_{1}$$\vec{p}_{2}$ e. O momento total do sistema é a soma deles, conforme mostrado pelo vetor vermelho rotulado à$\vec{p}_{total}$ esquerda. Após a colisão, as duas bolas de bilhar viajam com diferentes momentos$\vec{p}′_{1}$$\vec{p}′_{2}$ e. O momento total, no entanto, não mudou, conforme mostrado pela seta vetorial vermelha à$\vec{p}'_{total}$ direita.

Generalizando esse resultado para N objetos, obtemos

\[\begin{align} \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} + \vec{p}_{3} + \cdots + \vec{p}_{N} & = constant \\ \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} & = constant \ldotp \label{9.17} \end{align} \]

A equação\ ref {9.17} é a definição do momento total (ou líquido) de um sistema de N objetos que interagem, junto com a afirmação de que o momento total de um sistema de objetos é constante no tempo — ou melhor, é conservado.

Leis de conservação

Se o valor de uma quantidade física for constante no tempo, dizemos que a quantidade é conservada.

Requisitos para conservação de momentum

Há uma complicação, no entanto. Um sistema deve atender a dois requisitos para que seu momentum seja conservado:

A massa do sistema deve permanecer constante durante a interação. À medida que os objetos interagem (aplicam forças uns sobre os outros), eles podem transferir massa de um para outro; mas qualquer massa que um objeto ganha é equilibrada pela perda dessa massa de outro. A massa total do sistema de objetos, portanto, permanece inalterada com o passar do tempo:\ [\ Big [\ frac {dm} {dt}\ Big] _ {system} = 0\ ldotp$$
A força externa líquida no sistema deve ser zero. À medida que os objetos colidem, explodem e se movem, eles exercem forças uns sobre os outros. No entanto, todas essas forças são internas ao sistema e, portanto, cada uma dessas forças internas é equilibrada por outra força interna que é igual em magnitude e oposta em signo. Como resultado, a mudança no momentum causada por cada força interna é cancelada por outra mudança de momentum que é igual em magnitude e direção oposta. Portanto, as forças internas não podem alterar o momento total de um sistema porque as mudanças somam zero. No entanto, se houver alguma força externa que atue em todos os objetos (gravidade, por exemplo, ou atrito), essa força altera o momento do sistema como um todo; ou seja, o momento do sistema é alterado pela força externa. Assim, para que o momentum do sistema seja conservado, precisamos ter $$\ vec {F} _ {ext} =\ vec {0}\ ldotp$$

Diz-se que um sistema de objetos que atende a esses dois requisitos é um sistema fechado (também chamado de sistema isolado). Assim, a forma mais compacta de expressar isso é mostrada abaixo.

Lei de Conservação do Momento

O momentum total de um sistema fechado é conservado:

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} = constant \ldotp\]

Essa declaração é chamada de Lei de Conservação do Momento. Junto com a conservação de energia, é uma das bases sobre as quais toda a física se sustenta. Todas as nossas evidências experimentais apoiam essa afirmação: dos movimentos dos aglomerados galácticos aos quarks que compõem o próton e o nêutron, e em todas as escalas intermediárias. Em um sistema fechado, o momentum total nunca muda.

Observe que absolutamente pode haver forças externas atuando no sistema; mas para que o momento do sistema permaneça constante, essas forças externas precisam ser canceladas, de modo que a força externa líquida seja zero. Todas as bolas de bilhar em uma mesa têm uma força de peso atuando sobre elas, mas os pesos são balanceados (cancelados) pelas forças normais, então não há força líquida.

O significado de 'Sistema'

Um sistema (mecânico) é a coleção de objetos em cujo movimento (cinemática e dinâmica) você está interessado. Se você está analisando o salto de uma bola no chão, provavelmente está interessado apenas no movimento da bola, e não da Terra; portanto, a bola é o seu sistema. Se você estiver analisando um acidente de carro, os dois carros juntos compõem seu sistema (Figura$\PageIndex{2}$).

Ilustração da colisão de dois carros com massas m 1 e m 2. O sistema de interesse são os dois carros antes e depois da colisão. Antes da colisão, o carro m 2 está na frente e avança com a velocidade v 2, e o carro m 1 está atrás dele, avançando com a velocidade v 1. O vetor líquido F = 0 e os vetores p 1 mais p 2 são iguais a p tot. Após a colisão, o carro m 2 está na frente e avança com a velocidade v 2 prime que é maior que v 2 antes da colisão, e o carro m 1 está atrás dele, avançando com a velocidade v 1 prime menor que v 1 antes da colisão. Vetores p 1 primo mais p 2 primo são iguais a p a primo. — Figura$\PageIndex{2}$: Os dois carros juntos formam o sistema que será analisado. É importante lembrar que o conteúdo (a massa) do sistema não muda antes, durante ou após a interação dos objetos no sistema.