9.4: Impulso e colisões (Parte 2)

Efeito do impulso

Como um impulso é uma força que atua por algum tempo, ele faz com que o movimento de um objeto mude. Recordar

\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

Como m\(\vec{v}\) é o momento de um sistema, m\(\Delta \vec{v}\) é a mudança de momento\(\Delta \vec{p}\). Isso nos dá a seguinte relação, chamada teorema impulso-momento (ou relação).

Teorema do Impulso-Mentum

Um impulso aplicado a um sistema muda o momentum do sistema, e essa mudança de momentum é exatamente igual ao impulso que foi aplicado:

\[\vec{J} = \Delta \vec{p} \ldotp \label{9.7}\]

O teorema impulso-momento é representado graficamente na Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Ilustração do teorema impulso-momento. (a) Uma bola com velocidade\(\vec{v}_{0}\) e impulso iniciais\(\vec{p}_{0}\) recebe um impulso\(\vec{J}\). (b) Esse impulso é adicionado vetorialmente ao momento inicial. (c) Assim, o impulso é igual à mudança no momento,\(\vec{J}\) =\(\Delta \vec{p}\). (d) Após o impulso, a bola se move com seu novo impulso\(\vec{p}_{f}\).

Existem dois conceitos cruciais no teorema impulso-momento:

1. O impulso é uma grandeza vetorial; um impulso de, digamos, − (10 N • s)\(\hat{i}\) é muito diferente de um impulso de + (10 N • s)\(\hat{i}\); eles causam mudanças de momentum completamente opostas.
2. Um impulso não causa impulso; ao contrário, causa uma mudança no momento de um objeto. Portanto, você deve subtrair o momento final do momento inicial e, como o momento também é uma quantidade vetorial, você deve levar em consideração cuidadosamente os sinais dos vetores de momento.

As perguntas mais comuns feitas em relação ao impulso são calcular a força aplicada ou a mudança de velocidade que ocorre como resultado da aplicação de um impulso. A abordagem geral é a mesma.

Estratégia de resolução de problemas: Teorema do impulso e momento

1. Expresse o impulso como força multiplicada pelo intervalo de tempo relevante.
2. Expresse o impulso como a mudança de momentum, geralmente m\(\Delta\) v.
3. Equalize-os e resolva para a quantidade desejada.

Empresa

Figura\(\PageIndex{2}\): A nave estelar fictícia Enterprise das aventuras de Star Trek operava com os chamados “motores de impulso” que combinavam matéria com antimatéria para produzir energia.

“Senhor Sulu, tire-nos daqui; avance um quarto de impulso.” Com esse comando, o Capitão Kirk da nave estelar Enterprise (Figura\(\PageIndex{2}\)) faz com que sua nave comece do repouso até a velocidade final de v _f =\(\frac{1}{4}\) (3,0 x 10 ⁸ m/s). Supondo que essa manobra seja concluída em 60 s, que força média os motores de impulso aplicaram ao navio?

Estratégia

Somos solicitados por uma força; conhecemos as velocidades inicial e final (e, portanto, a mudança na velocidade) e sabemos o intervalo de tempo em que tudo isso aconteceu. Em particular, sabemos quanto tempo a força agiu. Isso sugere o uso da relação impulso-momento. Para usar isso, porém, precisamos da massa da Enterprise. Uma pesquisa na Internet fornece uma melhor estimativa da massa da Enterprise (no filme de 2009) em 2 x 10 ⁹ kg.

Solução

Como esse problema envolve apenas uma direção (ou seja, a direção da força aplicada pelos motores), precisamos apenas da forma escalar do teorema impulso-momento Equação\ ref {9.7}, que é

\[\Delta p = J\]

com

\[\Delta p = m \Delta v\]

e

\[J = F \Delta t \ldotp\]

Equacionar essas expressões dá

\[F \Delta t = m \Delta v \ldotp\]

Resolver a magnitude da força e inserir os valores fornecidos leva a

\[F = \frac{m \Delta v}{\Delta t} = \frac{(2 \times 10^{9}\; kg)(7.35 \times 10^{7}\; m/s)}{60\; s} = 2.5 \times 10^{15}\; N \ldotp\]

Significância

Essa é uma força inimaginavelmente enorme. É quase desnecessário dizer que tal força mataria todos a bordo instantaneamente, além de destruir todos os equipamentos. Felizmente, a Enterprise tem “amortecedores inerciais”. É deixado como um exercício para a imaginação do leitor determinar como eles funcionam.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

A Força Aérea dos EUA usa “10gs” (uma aceleração igual a 10 x 9,8 m/s ²) como a aceleração máxima que um humano pode suportar (mas apenas por alguns segundos) e sobreviver. Quanto tempo a Enterprise deve gastar acelerando para que os humanos a bordo experimentem uma média de no máximo 10gs de aceleração? (Suponha que os amortecedores inerciais estejam desligados.)

Exemplo\(\PageIndex{2}\): The iPhone Drop

A Apple lançou seu iPhone 6 Plus em novembro de 2014. De acordo com muitos relatos, originalmente deveria ter uma tela feita de safira, mas ela foi trocada no último minuto por uma tela de vidro endurecido. Alegadamente, isso ocorreu porque a tela de safira rachou quando o telefone caiu. Que força o iPhone 6 Plus experimentou como resultado da queda?

Estratégia

A força que o telefone experimenta se deve ao impulso aplicado pelo chão quando o telefone colide com o chão. Nossa estratégia, então, é usar a relação impulso-momentum. Calculamos o impulso, estimamos o tempo de impacto e usamos isso para calcular a força. Precisamos fazer algumas estimativas razoáveis, bem como encontrar dados técnicos no próprio telefone. Primeiro, vamos supor que o telefone geralmente caia da altura do peito de uma pessoa de estatura média. Em segundo lugar, suponha que ele seja retirado do repouso, ou seja, com uma velocidade vertical inicial de zero. Finalmente, assumimos que o telefone salta muito pouco — a altura de seu salto é considerada insignificante.

Solução

Defina para cima como sendo a direção +y. Uma altura típica é de aproximadamente h = 1,5 m e, conforme declarado,\(\vec{v}_{i}\) = (0 m/s)\(\hat{i}\). A força média no telefone está relacionada ao impulso que o piso aplica a ele durante a colisão:

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]

O impulso\(\vec{J}\) é igual à mudança no momentum,

\[\vec{J} = \Delta \vec{p}\]

então

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp\]

Em seguida, a mudança de momentum é

\[\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

Precisamos ter cuidado com as velocidades aqui; essa é a mudança de velocidade devido à colisão com o piso. Mas o telefone também tem uma velocidade de queda inicial [\(\vec{v}_{i}\)= (0 m/s)\(\hat{j}\)], então rotulamos nossas velocidades. Deixe:

• \(\vec{v}_{i}\)= a velocidade inicial com a qual o telefone caiu (zero, neste exemplo)
• \(\vec{v}_{1}\)= a velocidade que o telefone tinha no instante imediatamente antes de cair no chão
• \(\vec{v}_{2}\)= a velocidade final do telefone como resultado de bater no chão

A figura\(\PageIndex{3}\) mostra as velocidades em cada um desses pontos na trajetória do telefone.

Figura\(\PageIndex{3}\): (a) A velocidade inicial do telefone é zero, logo após a pessoa deixá-lo cair. (b) Pouco antes de o telefone cair no chão\(\vec{v}_{1}\), sua velocidade é desconhecida no momento, exceto por sua direção, que é para baixo (−\(\hat{j}\)). (c) Depois de saltar do chão, o telefone tem uma velocidade\(\vec{v}_{2}\), que também é desconhecida, exceto por sua direção, que é para cima (+\(\hat{j}\)).

Com essas definições, a mudança de impulso do telefone durante a colisão com o piso é

\[m \Delta \vec{v} = m (\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}) \ldotp\]

Como presumimos que o telefone não salta quando atinge o chão (ou, pelo menos, a altura do salto é insignificante), então\(\vec{v}_{2}\) é zero, então

\[m \Delta \vec{v} = m \big[0 - (-v_{1}\; \hat{j}) \big]\]

\[m \Delta \vec{v} = + mv_{1}\; \hat{j} \ldotp\]

Podemos obter a velocidade do telefone logo antes de ele cair no chão usando a cinemática ou a conservação de energia. Usaremos a conservação de energia aqui; você deve refazer essa parte do problema usando a cinemática e provar que obtém a mesma resposta.

Primeiro, defina o zero da energia potencial a ser localizada no chão. A conservação de energia então nos dá:

\[\begin{split} E_{i} & = E_{1} \\ K_{i} + U_{i} & = K_{1} + U_{1} \\ \frac{1}{2}mv_{i}^{2} + mgh_{drop} & = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + mgh_{floor} \ldotp \end{split}\]

Definindo h _floor = 0 e usando\(\vec{v}_{i}\) = (0 m/s)\(\hat{j}\) dá

\[\begin{split} \frac{1}{2} mv_{1}^{2} & = mgh_{drop} \\ v_{1} & = \pm \sqrt{2gh_{drop}} \ldotp \end{split}\]

Como v ₁ é uma magnitude vetorial, ela deve ser positiva. Assim, m\(\Delta\) v = mv ₁ =\(\sqrt{2gh_{drop}}\) m. Inserir esse resultado na expressão de força dá

\[\begin{split} \vec{F} & = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ & = \frac{+mv_{1}\; \hat{j}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \sqrt{2gh}}{\Delta t}\; \hat{j} \ldotp \end{split}\]

Finalmente, precisamos estimar o tempo de colisão. Uma forma comum de estimar o tempo de colisão é calcular quanto tempo o objeto levaria para percorrer seu próprio comprimento. O telefone está se movendo a 5,4 m/s pouco antes de atingir o chão e tem 0,14 m de comprimento, fornecendo um tempo de colisão estimado de 0,026 s. Inserindo os números fornecidos, obtemos

\[\vec{F} = \frac{(0.172\; kg) \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1.5\; m)}}{0.026\; s}\; \hat{j} = (36\; N) \hat{j} \ldotp\]

Significância

O próprio iPhone pesa apenas (0,172 kg) (9,81 m/s ²) = 1,68 N; a força que o piso aplica a ele é, portanto, superior a 20 vezes seu peso.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

E se tivéssemos assumido que o telefone saltou com o impacto? Isso teria aumentado a força no iPhone, diminuído ou não feito diferença?

Momento e força

No exemplo\(\PageIndex{1}\), obtivemos um relacionamento importante:

\[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp \label{9.8}\]

Em palavras, a força média aplicada a um objeto é igual à mudança do momento que a força causa, dividida pelo intervalo de tempo em que essa mudança de momento ocorre. Essa relação é muito útil em situações em que o tempo de colisão\(\Delta\) t é pequeno, mas mensurável; valores típicos seriam 1/10 de segundo, ou mesmo um milésimo de segundo. Acidentes de carro, arremessos de futebol ou colisões de partículas subatômicas atenderiam a esse critério.

Para um momento em constante mudança — devido a uma força em constante mudança — isso se torna uma poderosa ferramenta conceitual. No limite\(\Delta\) t → dt, a Equação 9.3.1 se torna

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{9.9}\]

Isso diz que a taxa de mudança do momentum do sistema (o que implica que o momentum é uma função do tempo) é exatamente igual à força líquida aplicada (também, em geral, uma função do tempo). Essa é, de fato, a segunda lei de Newton, escrita em termos de impulso e não de aceleração. Essa é a relação que o próprio Newton apresentou em seu Principia Mathematica (embora ele a tenha chamado de “quantidade de movimento” em vez de “impulso”).

Se a massa do sistema permanecer constante, a Equação 9.3.3 se reduz à forma mais familiar da segunda lei de Newton. Podemos ver isso substituindo a definição de momentum:

\[\vec{F} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} \ldotp\]

A suposição de massa constante nos permitiu retirar m da derivada. Se a massa não for constante, não podemos usar essa forma da segunda lei, mas devemos partir da Equação 9.3.3. Assim, uma vantagem de expressar força em termos de mudança de momento é que ela permite que a massa do sistema mude, bem como a velocidade; esse é um conceito que exploraremos quando estudarmos o movimento dos foguetes.

Segunda Lei do Movimento de Newton em termos de momentum

A força externa líquida em um sistema é igual à taxa de variação do momento desse sistema causada pela força:

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

Embora a Equação 9.3.3 permita a mudança de massa, como veremos em Propulsão de Foguete, a relação entre momento e força permanece útil quando a massa do sistema é constante, como no exemplo a seguir.

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Calculating Force: Venus Williams’ Tennis Serve

Durante o Aberto da França de 2007, Venus Williams acertou o saque mais rápido registrado em uma partida feminina de primeira linha, atingindo uma velocidade de 58 m/s (209 km/h). Qual é a força média exercida na bola de tênis de 0,057 kg pela raquete de Venus Williams? Suponha que a velocidade da bola logo após o impacto seja de 58 m/s\(\PageIndex{4}\), conforme mostrado na Figura, que o componente horizontal inicial da velocidade antes do impacto é insignificante e que a bola permaneceu em contato com a raquete por 5,0 ms.

Figura\(\PageIndex{4}\): A velocidade final da bola de tênis é\(\vec{v}_{f}\) = (58 m/s)\(\hat{i}\).

Estratégia

Esse problema envolve apenas uma dimensão porque a bola começa por não ter nenhum componente de velocidade horizontal antes do impacto. A segunda lei de Newton declarada em termos de momentum é então escrita como

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

Conforme observado acima, quando a massa é constante, a mudança no momento é dada por

\[\Delta p = m \Delta v = m(v_{f} - v_{i})\]

onde usamos escalares porque esse problema envolve apenas uma dimensão. Neste exemplo, a velocidade logo após o impacto e o intervalo de tempo são fornecidos; assim, uma vez que\(\Delta\) p é calculado, podemos usar F =\(\frac{\Delta p}{\Delta t}\) para encontrar a força.

Solução

Para determinar a mudança no momento, insira os valores das velocidades inicial e final na equação acima:

\[\begin{split} \Delta p & = m(v_{f} - v_{i}) \\ & = (0.057\; kg)(58\; m/s - 0\; m/s) \\ & = 3.3\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

Agora, a magnitude da força externa líquida pode ser determinada usando

\[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{3.3\; kg\; \cdotp m/s}{5.0 \times 10^{-3}\; s} = 6.6 \times 10^{2}\; N \ldotp\]

onde mantivemos apenas dois números significativos na etapa final.

Significância

Essa quantidade foi a força média exercida pela raquete de Venus Williams na bola de tênis durante seu breve impacto (observe que a bola também experimentou a força de gravidade de 0,57 N, mas essa força não foi devida à raquete). Esse problema também poderia ser resolvido primeiro encontrando a aceleração e depois usando F = ma, mas uma etapa adicional seria necessária em comparação com a estratégia usada neste exemplo.