9.3: Impulso e colisões (Parte 1)
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- Explique o que é um impulso, fisicamente
- Descreva o que um impulso faz
- Relacione impulsos a colisões
- Aplique o teorema impulso-momento para resolver problemas
Definimos o momento como o produto da massa e da velocidade. Portanto, se a velocidade de um objeto deve mudar (devido à aplicação de uma força no objeto), então, necessariamente, seu momento também muda. Isso indica uma conexão entre impulso e força. O objetivo desta seção é explorar e descrever essa conexão.
Suponha que você aplique uma força em um objeto livre por algum tempo. Claramente, quanto maior a força, maior será a mudança de momentum do objeto. Como alternativa, quanto mais tempo você gasta aplicando essa força, novamente maior será a mudança de impulso, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). A quantidade pela qual o movimento do objeto muda é, portanto, proporcional à magnitude da força e também ao intervalo de tempo no qual a força é aplicada.
Matematicamente, se uma quantidade é proporcional a duas (ou mais) coisas, ela é proporcional ao produto dessas coisas. O produto de uma força e de um intervalo de tempo (sobre o qual essa força atua) é chamado de impulso e recebe o símbolo\(\vec{J}\).
Seja\(\vec{F}\) (t) a força aplicada a um objeto em algum intervalo de tempo diferencial\(dt\) (Figura\(\PageIndex{2}\)). O impulso resultante no objeto é definido como
\[d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.2}\]
O impulso total ao longo do intervalo t f − t i é
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J}\]
ou
\[\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.3}\]
As equações\ ref {9.2} e\ ref {9.3} juntas dizem que quando uma força é aplicada para um intervalo de tempo infinitesimal dt, ela causa um impulso infinitesimal d\(\vec{J}\), e o impulso total dado ao objeto é definido como a soma (integral) de todos esses impulsos infinitesimais.
Para calcular o impulso usando a Equação\ ref {9.3}, precisamos conhecer a função de força F (t), que geralmente não conhecemos. No entanto, um resultado do cálculo é útil aqui: Lembre-se de que o valor médio de uma função em algum intervalo é calculado por
\[f(x)_{ave} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f(x)dx\]
onde\(\Delta\) x = x f − x i. Aplicando isso à função de força dependente do tempo, obtemos
\[\vec{F}_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt \ldotp \label{9.4}\]
Portanto, da Equação\ ref {9.3},
\[\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t \ldotp \label{9.5}\]
A ideia aqui é que você pode calcular o impulso no objeto mesmo que não conheça os detalhes da força em função do tempo; você só precisa da força média. Na verdade, porém, o processo geralmente é invertido: você determina o impulso (por medição ou cálculo) e depois calcula a força média que causou esse impulso.
Para calcular o impulso, um resultado útil resulta da escrita da força na Equação\ ref {9.3} como\(\vec{F}\) (t) = m\(\vec{a}\) (t):
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t)dt = m \big[ \vec{v} (t_{f}) - \vec{v} (t_{i}) \big] \ldotp\]
Para uma força constante\(\vec{F}_{ave}\) =\(\vec{F}\) = m\(\vec{a}\), isso simplifica para
\[\vec{J} = m \vec{a} \Delta t = m \vec{v}_{f} - m \vec{v}_{i} = m (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}) \ldotp\]
Ou seja,
\[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp \label{9.6}\]
Observe que a forma integral, Equação\ ref {9.3}, também se aplica a forças constantes; nesse caso, como a força é independente do tempo, ela sai da integral, que pode então ser avaliada trivialmente.
Há aproximadamente 50.000 anos, um grande meteorito de ferro-níquel (raio de 25 m) colidiu com a Terra a uma velocidade estimada de 1,28 x 10 4 m/s no que hoje é o deserto do norte do Arizona, nos Estados Unidos. O impacto produziu uma cratera que ainda é visível hoje (Figura\(\PageIndex{3}\)); tem aproximadamente 1200 m (três quartos de milha) de diâmetro, 170 m de profundidade e tem uma borda que se eleva 45 m acima da planície desértica circundante. Os meteoritos de ferro-níquel normalmente têm uma densidade de\(\rho\) = 7970 kg/m 3. Use considerações de impulso para estimar a força média e a força máxima que o meteoro aplicou à Terra durante o impacto.
Estratégia
É conceitualmente mais fácil reverter a questão e calcular a força que a Terra aplicou no meteoro para detê-lo. Portanto, calcularemos a força no meteoro e depois usaremos a terceira lei de Newton para argumentar que a força do meteoro na Terra era igual em magnitude e direção oposta.
Usando os dados fornecidos sobre o meteoro e fazendo suposições razoáveis sobre a forma do meteoro e o tempo de impacto, primeiro calculamos o impulso usando a Equação\ ref {9.6}. Em seguida, usamos a relação entre força e impulso Equation\ ref {9.5} para estimar a força média durante o impacto. Em seguida, escolhemos uma função de força razoável para o evento de impacto, calculamos o valor médio dessa função Equation\ ref {9.4} e definimos a expressão resultante igual à força média calculada. Isso nos permite resolver a força máxima.
Solução
Defina para cima como sendo a direção +y. Para simplificar, suponha que o meteoro esteja viajando verticalmente para baixo antes do impacto. Nesse caso, sua velocidade inicial é\(\vec{v}_{i}\) = −v i\(\hat{j}\), e a força que a Terra exerce sobre o meteoro aponta para cima,\(\vec{F}\) (t) = + F (t)\(\hat{j}\). A situação em t = 0 é mostrada abaixo.
A força média durante o impacto está relacionada ao impulso por
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]
Da Equação\ ref {9.6},\(\vec{J}\) = m\(\Delta \vec{v}\), então temos
\[\vec{F}_{ave} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \ldotp\]
A massa é igual ao produto da densidade do meteoro e seu volume:
\[m = \rho V \ldotp\]
Se assumirmos (adivinharmos) que o meteoro era aproximadamente esférico, temos
\[V = \frac{4}{3} \pi R^{3} \ldotp\]
Assim, obtemos
\[\vec{F}_{ave} = \frac{\rho V \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\rho \left(\dfrac{4}{3} \pi R^{3}\right) (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i})}{\Delta t} \ldotp\]
O problema diz que a velocidade no impacto foi −1,28 x 10 4 m/s\(\hat{j}\) (a velocidade final é zero); além disso, supomos que o impacto primário durou cerca de t max = 2 s. Substituindo esses valores, obtém-se
\[\begin{split} \vec{F}_{ave} & = \frac{(7970\; kg/m^{3}) \big[ \frac{4}{3} \pi (25\; m)^{3} \big] \big[ 0\; m/s - (-1.28 \times 10^{4}\; m/s\; \hat{j}) \big]}{2\; s} \\ & = + (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j} \end{split}\]
Essa é a força média aplicada durante a colisão. Observe que esse vetor de força aponta na mesma direção do vetor de mudança de velocidade\(\Delta \vec{v}\).
Em seguida, calculamos a força máxima. O impulso está relacionado à função de força por
\[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{max}} \vec{F} (t)dt \ldotp\]
Precisamos fazer uma escolha razoável para a força em função do tempo. Definimos t = 0 como sendo o momento em que o meteoro toca o solo pela primeira vez. Então, assumimos que a força é máxima no impacto e cai rapidamente para zero. Uma função que faz isso é
\[F(t) = F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} \ldotp\]
O parâmetro\(\tau\) representa a rapidez com que a força diminui para zero.) A força média é
\[F_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} dt\]
onde\(\Delta\) t = t max − 0 s. Como já temos um valor numérico para F ave, podemos usar o resultado da integral para obter F max. Escolhendo\(\tau\) =\(\frac{1}{e}\) t max (essa é uma escolha comum, como você verá nos capítulos posteriores) e supondo que t max = 2 s, essa integral é avaliada como
\[F_{avg} = 0.458\; F_{max} \ldotp\]
Assim, a força máxima tem uma magnitude de
\[\begin{split} 0.458\; F_{max} & = 3.33 \times 10^{12}\; N \\ F_{max} & = 7.27 \times 10^{12}\; N \ldotp \end{split}\]
A função de força completa, incluindo a direção, é
\[\vec{F} (t) = (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y} \ldotp\]
Essa é a força que a Terra aplicou ao meteoro; pela terceira lei de Newton, a força que o meteoro aplicou à Terra é
\[\vec{F} (t) = - (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y}\]
qual é a resposta para a pergunta original.
Significância
O gráfico dessa função contém informações importantes. Vamos representar graficamente (a magnitude de) essa função e a força média juntas (Figura\(\PageIndex{4}\)).
Observe que a área abaixo de cada parcela foi preenchida. Para o gráfico da força (constante) F ave, a área é um retângulo, correspondente a F ave\(\Delta\) t = J. Quanto ao gráfico de F (t), lembre-se do cálculo que a área sob o gráfico de uma função é numericamente igual à integral dessa função, no intervalo especificado; então aqui, isso é\(\int_{0}^{t_{max}}\) F (t) dt = J. Assim, as áreas são iguais e ambas representam o impulso que o meteoro aplicou à Terra durante o impacto de dois segundos. A força média na Terra soa como uma força enorme, e é. No entanto, a Terra mal percebeu isso. A aceleração obtida pela Terra foi apenas
\[\vec{a} = \frac{- \vec{F}_{ave}}{M_{Earth}} = \frac{- (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j}}{5.97 \times 10^{24}\; kg} = - (5.6 \times 10^{-13} m/s^{2}) \hat{j}\]
o que é completamente incomensurável. Dito isso, o impacto criou ondas sísmicas que hoje em dia poderiam ser detectadas por modernos equipamentos de monitoramento.
Um carro viajando a 27 m/s colide com um prédio. A colisão com o prédio faz com que o carro pare em aproximadamente 1 segundo. O motorista, que pesa 860 N, é protegido por uma combinação de cinto de segurança de tensão variável e um airbag (Figura\(\PageIndex{5}\)). (Na verdade, o motorista colide com o cinto de segurança e o airbag e não com o prédio.) O airbag e o cinto de segurança diminuem sua velocidade, de forma que ele pare em aproximadamente 2,5 s.
- Qual a força média que o motorista experimenta durante a colisão?
- Sem o cinto de segurança e o airbag, seu tempo de colisão (com o volante) teria sido de aproximadamente 0,20 s. Que força ele experimentaria nesse caso?
Estratégia
Recebemos o peso do motorista, suas velocidades inicial e final e o tempo de colisão; somos solicitados a calcular uma força. O impulso parece ser a maneira certa de lidar com isso; podemos combinar a Equação\ ref {9.5} e a Equação\ ref {9.6}.
Solução
- Defina a direção+x como sendo a direção em que o carro está se movendo inicialmente. Sabemos que $$\ vec {J} =\ vec {F}\ Delta t$$ e $$\ vec {J} = m\ Delta\ vec {v}\ lDOTP$$Como J é igual a ambas as coisas, elas devem ser iguais uma à outra: $$\ vec {F}\ Delta t = m\ Delta\ vec {v}\ ldotp$precisamos converter esse peso à massa equivalente, expresso em unidades SI: $$\ frac {860\; N} {9.8\; m/s^ {2}} = 87,8 \; kg\ lDotp$$Lembrando que\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{f} − \vec{v}_{i}\), e observando que a velocidade final é zero, resolvemos a força: $$\ vec {F} = m\ frac {0 - v_ {i}\;\ hat {i}} {\ Delta t} = (87,8\; kg)\ left (\ dfrac {- (27\; m/s)\ hat {i} {2.5\; s}\ right) = - (948\; N)\ hat {i}\ ldotp$$O sinal negativo implica que a força o desacelera. Para perspectiva, isso é cerca de 1,1 vezes seu próprio peso.
- Mesmo cálculo, apenas o intervalo de tempo diferente: $$\ vec {F} = (87,8\; kg)\ left (\ dfrac {- (27\; m/s)\ hat {i}} {0,20\; s}\ right) = - (11.853\; N)\ hat {i}\ ldotp$$que é cerca de 14 vezes seu próprio peso. Grande diferença!
Significância
Você vê que o valor de um airbag é o quanto ele reduz a força nos ocupantes do veículo. Por esse motivo, eles são exigidos em todos os veículos de passageiros nos Estados Unidos desde 1991 e são comuns em toda a Europa e Ásia desde meados da década de 1990. A mudança de impulso em um acidente é a mesma, com ou sem um airbag; a força, no entanto, é muito diferente.