8.3: Forças conservadoras e não conservadoras
- Page ID
- 185404
- Caracterize uma força conservadora de várias maneiras diferentes
- Especifique as condições matemáticas que devem ser satisfeitas por uma força conservadora e seus componentes
- Relacione a força conservadora entre as partículas de um sistema com a energia potencial do sistema
- Calcule os componentes de uma força conservadora em vários casos
Em Energia Potencial e Conservação de Energia, qualquer transição entre energia cinética e energia potencial conservou a energia total do sistema. Isso era independente do caminho, o que significa que podemos começar e parar em quaisquer dois pontos do problema, e a energia total do sistema — cinética mais potencial — nesses pontos é igual uma à outra. Isso é característico de uma força conservadora. Lidamos com forças conservadoras na seção anterior, como a força gravitacional e a força da mola. Ao comparar o movimento da bola de futebol na Figura 8.2.1, a energia total do sistema nunca muda, mesmo que a energia potencial gravitacional da bola aumente, à medida que a bola sobe em relação ao solo e volta para a energia potencial gravitacional inicial quando a bola de futebol jogador pega a bola. As forças não conservadoras são forças dissipativas, como atrito ou resistência ao ar. Essas forças retiram energia do sistema à medida que o sistema progride, energia que você não pode recuperar. Essas forças dependem do caminho; portanto, importa onde o objeto começa e para.
O trabalho realizado por uma força conservadora é independente do caminho; em outras palavras, o trabalho realizado por uma força conservadora é o mesmo para qualquer caminho conectando dois pontos:
\[W_{AB,\; path-1} = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = W_{AB,\; path-2} = \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \ldotp \label{8.8}\]
O trabalho realizado por uma força não conservadora depende do caminho percorrido. Equivalentemente, uma força é conservadora se o trabalho que ela faz em torno de qualquer caminho fechado for zero:
\[W_{closed\; path} = \oint \vec{E}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \label{8.9}\]
Na Equação\ ref {8.9}, usamos a notação de um círculo no meio do sinal integral para uma integral de linha sobre um caminho fechado, uma notação encontrada na maioria dos textos de física e engenharia.] As equações\ ref {8.8} e\ ref {8.9} são equivalentes porque qualquer caminho fechado é a soma de dois caminhos: o primeiro indo de A para B e o segundo indo de B para A. O trabalho realizado ao longo de um caminho de B para A é o negativo do trabalho realizado seguindo o mesmo caminho de A para B, onde A e B são quaisquer dois pontos o caminho fechado:
\[\begin{split} 0 = \int \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} + \int_{BA,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} \\ & = \int_{AB,\; path-1} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} - \int_{AB,\; path-2} \vec{F}_{cons} \cdotp d \vec{r} = 0 \ldotp \end{split}\]
Você pode perguntar como vamos provar se uma força é conservadora ou não, já que as definições envolvem todo e qualquer caminho de A a B, ou todo e qualquer caminho fechado, mas para fazer a integral do trabalho, você precisa escolher um caminho específico. Uma resposta é que o trabalho realizado é independente do caminho se o trabalho infinitesimal\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) for um diferencial exato, a forma como a rede infinitesimal era igual ao diferencial exato da energia cinética,\(dW_{net} = m\vec{v}\; \cdotp d\vec{v}= d \frac{1}{2}mv^{2}\), quando derivamos o teorema trabalho-energia no Teorema Trabalho-Energia . Existem condições matemáticas que você pode usar para testar se o trabalho infinitesimal realizado por uma força é um diferencial exato e se a força é conservadora. Essas condições envolvem apenas diferenciação e, portanto, são relativamente fáceis de aplicar. Em duas dimensões, a condição para\(\vec{F} \cdotp d \vec{r}\) = F x dx + F y dy ser um diferencial exato é
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{dF_{y}}{dx} \ldotp \label{8.10}\]
Você deve se lembrar que o trabalho realizado pela força no Exemplo 7.2.4 dependia do caminho. Por essa força,
\[F_{x} = (5\; N/m)y\; and\; F_{y} = (10\; N/m)x \ldotp\]
Portanto,
\[\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = 5\; N/m \neq \left(\dfrac{dF_{y}}{dx}\right) = 10\; N/m,\]
o que indica que é uma força não conservadora. Você consegue ver o que você poderia mudar para torná-la uma força conservadora?
Quais das seguintes forças bidimensionais são conservadoras e quais não são? Suponha que a e b sejam constantes com unidades apropriadas:
- \(axy^{3} \hat{i} + ayx^{3} \hat{j},\)
- \(a \left[ \left(\dfrac{y^{2}}{x}\right) \hat{i} + 2y \ln \left(\dfrac{x}{b}\right) \hat{j} \right],\)
- \(\frac{ax \hat{i} + ay \hat{j}}{x^{2} + y^{2}}\)
Estratégia
Aplique a condição indicada na Equação\ ref {8.10}, ou seja, usando as derivadas dos componentes de cada força indicada. Se a derivada do componente y da força em relação a x for igual à derivada do componente x da força em relação a y, a força é uma força conservadora, o que significa que o caminho percorrido para cálculos de energia ou trabalho potencial sempre produz os mesmos resultados.
Solução
um:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d(axy^{3})}{dy} = 3axy^{2} \nonumber\]
e
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(ayx^{3})}{dx} = 3ayx^{2}, \nonumber\]
então essa força não é conservadora.
por:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ay^{2}}{x}\right)}{dy} = \frac{2ay}{x} \nonumber\]
e
\[\frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d(2ay \ln \left(\dfrac{x}{b}\right))}{dx} = \frac{2ay}{x}, \nonumber\]
então essa força é conservadora.
c:
\[\frac{dF_{x}}{dy} = \frac{d \left(\dfrac{ax}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dy} = - \frac{ax(2y)}{(x^{2} + y^{2})^{2}} = \frac{dF_{y}}{dx} = \frac{d \left(\dfrac{ay}{(x^{2} + y^{2})}\right)}{dx },\]
novamente conservador.
Significância
As condições na Equação\ ref {8.10} são derivadas como funções de uma única variável; em três dimensões, existem condições semelhantes que envolvem mais derivadas.
Uma força conservadora bidimensional é zero nos eixos x e y e satisfaz a condição\(\left(\dfrac{dF_{x}}{dy}\right) = \left(\dfrac{dF_{y}}{dy}\right)\) = (4 N/m 3) xy. Qual é a magnitude da força no ponto\(x = y = 1\, m\)?
Antes de sair desta seção, observamos que forças não conservadoras não têm energia potencial associada a elas porque a energia é perdida para o sistema e não pode ser transformada em trabalho útil posteriormente. Portanto, sempre há uma força conservadora associada a toda energia potencial. Vimos que a energia potencial é definida em relação ao trabalho realizado pelas forças conservadoras. Essa relação, Equação 8.2.1, envolveu uma integral para o trabalho; começando com a força e o deslocamento, você se integrou para obter o trabalho e a mudança na energia potencial. No entanto, a integração é a operação inversa da diferenciação; você poderia igualmente ter começado com a energia potencial e tomado sua derivada, em relação ao deslocamento, para obter a força. O incremento infinitesimal da energia potencial é o produto escalar da força e do deslocamento infinitesimal,
\[dU = - \vec{F}\; \cdotp d \vec{l} = - F_{l}dl \ldotp\]
Aqui, optamos por representar o deslocamento em uma direção arbitrária por d\(\vec{l}\), para não ficarmos restritos a nenhuma direção coordenada específica. Também expressamos o produto escalar em termos da magnitude do deslocamento infinitesimal e da componente da força em sua direção. Ambas as quantidades são escalares, então você pode dividir por dl para obter
\[F_{l} = - \frac{dU}{dl} \ldotp \label{8.11}\]
Essa equação fornece a relação entre a força e a energia potencial associada a ela. Em palavras, o componente de uma força conservadora, em uma direção específica, é igual ao negativo da derivada da energia potencial correspondente, em relação a um deslocamento nessa direção. Para movimentos unidimensionais, digamos, ao longo do eixo x, a Equação\ ref {8.11} fornece toda a força vetorial,
\[\bar{F} = F_{x} \hat{i} = - \frac{\partial U}{\partial x} \hat{i} \ldotp\]
Em duas dimensões,
\[ \begin{align} \bar{F} &= F_{x} \hat{i} + F_{y} \hat{j} \\[4pt] &= - \left(\dfrac{\partial U}{\partial x}\right) \hat{i} - \left(\dfrac{\partial U}{\partial y}\right) \hat{j} \ldotp \end{align}\]
A partir dessa equação, você pode ver por que a Equação\ ref {8.11} é a condição para que o trabalho seja um diferencial exato, em termos das derivadas dos componentes da força. Em geral, uma notação derivada parcial é usada. Se uma função tiver muitas variáveis, a derivada será obtida somente da variável especificada pela derivada parcial. As outras variáveis são mantidas constantes. Em três dimensões, você adiciona outro termo para o componente z, e o resultado é que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. No entanto, ainda não veremos exemplos tridimensionais.
A energia potencial de uma partícula em movimento unidimensional ao longo do eixo x é
\[U(x) = \frac{1}{4} cx^{4}, \nonumber\]
onde c = 8 N/m 3. Sua energia total em x = 0 é 2 J e não está sujeita a nenhuma força não conservadora. Encontre (a) as posições em que sua energia cinética é zero e (b) as forças nessas posições.
Estratégia
- Podemos encontrar as posições em que K = 0, então a energia potencial é igual à energia total de um determinado sistema.
- Usando a Equação\ ref {8.11}, podemos encontrar a força avaliada nas posições encontradas na parte anterior, uma vez que a energia mecânica é conservada.
Solução
- A energia total do sistema de 2 J é igual à energia elástica quártica dada no problema $$2\; J =\ frac {1} {4} (8\; N/m^ {3}) x_ {f} ^ {4}\ lDOTP$$A solução para x f resulta em x f = ±1 m.
- Da Equação\ ref {8.11}, $$F_ {x} = -\ frac {dU} {dx} = -cx^ {3}\ ldotp$$ Assim, avaliando a força em ±1 m, obtemos $$\ vec {F} = - (8\; N/m^ {3}) (\ pm 1\; m) ^ {3}\ hat {i} =\ pm 8\; N\ hat {i}\ ldotp$$Em ambas as posições, a magnitude das forças é 8 N e as direções estão em direção à origem, já que esta é a energia potencial para uma força restauradora.
Significância
Encontrar a força da energia potencial é matematicamente mais fácil do que encontrar a energia potencial da força, porque diferenciar uma função geralmente é mais fácil do que integrá-la.
Encontre as forças na partícula em Exemplo\(\PageIndex{2}\) quando sua energia cinética é 1,0 J em\(x = 0\).