8.4: Conservação de energia
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- Formule o princípio da conservação da energia mecânica, com ou sem a presença de forças não conservadoras
- Use a conservação de energia mecânica para calcular várias propriedades de sistemas simples
Nesta seção, elaboramos e estendemos o resultado que obtivemos em Energia Potencial de um Sistema, onde reescrevemos o teorema da energia de trabalho em termos da mudança nas energias cinética e potencial de uma partícula. Isso nos levará a uma discussão sobre o importante princípio da conservação da energia mecânica. Ao continuar examinando outros tópicos da física, nos capítulos posteriores deste livro, você verá como essa lei de conservação é generalizada para abranger outros tipos de energia e transferências de energia. A última seção deste capítulo fornece uma prévia.
Os termos “quantidade conservada” e “lei de conservação” têm significados científicos específicos em física, que são diferentes dos significados cotidianos associados ao uso dessas palavras. (O mesmo comentário também é verdadeiro sobre os usos científicos e cotidianos da palavra “trabalho”.) No uso diário, você pode economizar água não a usando, usando menos ou reutilizando-a. A água é composta por moléculas que consistem em dois átomos de hidrogênio e um de oxigênio. Junte esses átomos para formar uma molécula e você cria água; dissocie os átomos dessa molécula e você destrói a água. No entanto, no uso científico, uma quantidade conservada para um sistema permanece constante, muda em uma quantidade definida que é transferida para outros sistemas e/ou é convertida em outras formas dessa quantidade. Uma quantidade conservada, no sentido científico, pode ser transformada, mas não estritamente criada ou destruída. Portanto, não existe uma lei física de conservação da água.
Sistemas com uma única partícula ou objeto
Primeiro, consideramos um sistema com uma única partícula ou objeto. Voltando ao nosso desenvolvimento da Equação 8.2.2, lembre-se de que primeiro separamos todas as forças que atuam sobre uma partícula em tipos conservadores e não conservadores e escrevemos o trabalho realizado por cada tipo de força como um termo separado no teorema trabalho-energia. Em seguida, substituímos o trabalho realizado pelas forças conservadoras pela mudança na energia potencial da partícula, combinando-a com a mudança na energia cinética da partícula para obter a Equação 8.2.2. Agora, escrevemos essa equação sem o passo intermediário e definimos a soma das energias cinética e potencial, K + U = E; como sendo a energia mecânica da partícula.
A energia mecânica E de uma partícula permanece constante, a menos que forças fora do sistema ou forças não conservadoras funcionem nela; nesse caso, a mudança na energia mecânica é igual ao trabalho realizado pelas forças não conservadoras:
\[W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.12}\]
Essa afirmação expressa o conceito de conservação de energia para uma partícula clássica, desde que não haja trabalho não conservador. Lembre-se de que uma partícula clássica é apenas uma massa pontual, não é relativista e obedece às leis do movimento de Newton. Em Relatividade, veremos que a conservação de energia ainda se aplica a uma partícula não clássica, mas para que isso aconteça, precisamos fazer um pequeno ajuste na definição de energia.
Às vezes, é conveniente separar o caso em que o trabalho realizado por forças não conservadoras é zero, seja porque essas forças não são consideradas presentes ou, como a força normal, elas funcionam zero quando o movimento é paralelo à superfície. Então
\[0 = W_{nc,\; AB} = \Delta (K + U)_{AB} = \Delta E_{AB} \ldotp \label{8.13}\]
Nesse caso, a conservação da energia mecânica pode ser expressa da seguinte forma: A energia mecânica de uma partícula não muda se todas as forças não conservadoras que podem atuar sobre ela não funcionarem. Entender o conceito de conservação de energia é o importante, não a equação específica que você usa para expressá-la.
- Identifique o corpo ou corpos a serem estudados (o sistema). Muitas vezes, em aplicações do princípio da conservação mecânica de energia, estudamos mais de um corpo ao mesmo tempo.
- Identifique todas as forças que atuam no corpo ou nos corpos.
- Determine se cada força que funciona é conservadora. Se uma força não conservadora (por exemplo, atrito) estiver funcionando, a energia mecânica não será conservada. O sistema deve então ser analisado com um trabalho não conservador, Equação\ ref {8.13}.
- Para cada força que funciona, escolha um ponto de referência e determine a função de energia potencial para a força. Os pontos de referência para as várias energias potenciais não precisam estar no mesmo local.
- Aplique o princípio da conservação mecânica de energia definindo a soma das energias cinéticas e potenciais iguais em todos os pontos de interesse.
Uma partícula de massa m é pendurada no teto por um fio sem massa de 1,0 m de comprimento, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). A partícula é liberada do repouso, quando o ângulo entre a corda e a direção vertical descendente é de 30°. Qual é sua velocidade quando atinge o ponto mais baixo de seu arco?
Estratégia
Usando nossa estratégia de solução de problemas, o primeiro passo é definir que estamos interessados no sistema partícula-Terra. Segundo, somente a força gravitacional está atuando sobre a partícula, que é conservadora (etapa 3). Negligenciamos a resistência do ar no problema, e nenhum trabalho é feito pela tensão da corda, que é perpendicular ao arco do movimento. Portanto, a energia mecânica do sistema é conservada, conforme representado pela Equação\ ref {8.13}, 0 =\(\Delta\) (K + U). Como a partícula começa do repouso, o aumento na energia cinética é apenas a energia cinética no ponto mais baixo. Esse aumento na energia cinética é igual à diminuição da energia potencial gravitacional, que podemos calcular a partir da geometria. Na etapa 4, escolhemos um ponto de referência para que a energia potencial gravitacional zero esteja no ponto vertical mais baixo que a partícula atinge, que está no meio da oscilação. Por fim, na etapa 5, definimos a soma das energias no ponto mais alto (inicial) da oscilação até o ponto mais baixo (final) da oscilação para finalmente resolver a velocidade final.
Solução
Estamos negligenciando as forças não conservadoras, então escrevemos a fórmula de conservação de energia relacionando a partícula no ponto mais alto (inicial) e no ponto mais baixo do balanço (final) como
\[K_{i} + U_{i} = K_{f} + U_{f} \ldotp\]
Como a partícula é liberada do repouso, a energia cinética inicial é zero. No ponto mais baixo, definimos a energia potencial gravitacional como zero. Portanto, nossa fórmula de conservação de energia se reduz a
\[\begin{split} 0 + mgh & = \frac{1}{2} mv^{2} + 0 \\ v & = \sqrt{2gh} \ldotp \end{split}\]
A altura vertical da partícula não é dada diretamente no problema. Isso pode ser resolvido usando trigonometria e dois dados: o comprimento do pêndulo e o ângulo pelo qual a partícula é puxada verticalmente para cima. Olhando para o diagrama, a linha tracejada vertical é o comprimento da corda do pêndulo. A altura vertical é rotulada h. O outro comprimento parcial da corda vertical pode ser calculado com trigonometria. Essa peça é resolvida por
\[\cos \theta = \frac{x}{L} = L \cos \theta \ldotp\]
Portanto, observando as duas partes da corda, podemos resolver a altura h,
\[\begin{split} x + h & = L \\ L \cos \theta + h & = L \\ h & = L - L \cos \theta \\ & = L(1 - \cos \theta) \ldotp \end{split}\]
Substituímos essa altura pela expressão anterior resolvida por velocidade para calcular nosso resultado:
\[v = \sqrt{2gL(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1\; m)(1 - \cos 30^{o})} = 1.62\; m/s \ldotp\]
Significância
Encontramos a velocidade diretamente da conservação da energia mecânica, sem precisar resolver a equação diferencial para o movimento de um pêndulo (veja Oscilações). Podemos abordar esse problema em termos de gráficos de barras da energia total. Inicialmente, a partícula tem toda a energia potencial, estando no ponto mais alto, e nenhuma energia cinética. Quando a partícula cruza o ponto mais baixo na parte inferior do balanço, a energia se move da coluna de energia potencial para a coluna de energia cinética. Portanto, podemos imaginar uma progressão dessa transferência à medida que a partícula se move entre seu ponto mais alto, o ponto mais baixo da oscilação e volta ao ponto mais alto (Figura\(\PageIndex{2}\)). À medida que a partícula viaja do ponto mais baixo da oscilação até o ponto mais alto no lado direito do diagrama, as barras de energia vão na ordem inversa de (c) para (b) para (a).
Quão acima da parte inferior de seu arco está a partícula no pêndulo simples acima, quando sua velocidade é de 0,81 m/s?
Um helicóptero está pairando a uma altitude de 1 km quando um painel de sua parte inferior se solta e cai no chão (Figura\(\PageIndex{3}\)). A massa do painel é de 15 kg e atinge o solo com uma velocidade de 45 m/s. Quanta energia mecânica foi dissipada pela resistência do ar durante a descida do painel?
Estratégia
Etapa 1: Aqui, apenas um corpo está sendo investigado.
Etapa 2: A força gravitacional está atuando no painel, assim como a resistência do ar, que é declarada no problema.
Etapa 3: A força gravitacional é conservadora; no entanto, a força não conservadora da resistência do ar faz um trabalho negativo no painel descendente, então podemos usar a conservação da energia mecânica, na forma expressa pela Equação\ ref {8.12}, para encontrar a energia dissipada. Essa energia é a magnitude do trabalho:
\[\Delta E_{diss} = |W_{nc,if}| = |\Delta (K + U)_{if}| \ldotp\]
Etapa 4: A energia cinética inicial, em yi = 1 km, é zero. Definimos a energia potencial gravitacional para zero no nível do solo por conveniência.
Etapa 5: O trabalho não conservador é definido como igual às energias a serem resolvidas para o trabalho dissipado pela resistência do ar.
Solução
A energia mecânica dissipada pela resistência do ar é a soma algébrica do ganho na energia cinética e da perda de energia potencial. Portanto, o cálculo dessa energia é
\[\begin{split} \Delta E_{diss} & = |K_{f} - K_{i} 9 U_{f} - U_{i}| \\ & = \Big| \frac{1}{2} (15\; kg)(45\; m/s)^{2} - 0 + 0 - (15\; kg)(9.8\; m/s^{2})(1000\; m) \Big| \\ & = 130\; kJ \ldotp \end{split}\]
Significância
A maior parte da energia mecânica inicial do painel (U i), 147 kJ, foi perdida devido à resistência do ar. Observe que conseguimos calcular a energia dissipada sem saber qual era a força da resistência do ar, apenas que ela era dissipativa.
Você provavelmente se lembra de que, negligenciando a resistência do ar, se você lançar um projétil para cima, o tempo necessário para atingir sua altura máxima é igual ao tempo necessário para cair da altura máxima de volta à altura inicial. Suponha que você não possa negligenciar a resistência do ar, como no Exemplo 8.8. O tempo que o projétil leva para subir (a) é maior que, (b) menor que ou (c) igual ao tempo necessário para voltar para baixo? Explique.
Nesses exemplos, pudemos usar a conservação de energia para calcular a velocidade de uma partícula apenas em pontos específicos de seu movimento. Mas o método de analisar o movimento das partículas, partindo da conservação de energia, é mais poderoso do que isso. Tratamentos mais avançados da teoria da mecânica permitem calcular a dependência em tempo integral do movimento de uma partícula, para uma determinada energia potencial. De fato, muitas vezes acontece que um modelo melhor para o movimento das partículas é fornecido pela forma de suas energias cinéticas e potenciais, em vez de uma equação para a força que atua sobre ela. (Isso é especialmente verdadeiro para a descrição mecânica quântica de partículas como elétrons ou átomos.)
Podemos ilustrar algumas das características mais simples dessa abordagem baseada em energia considerando uma partícula em movimento unidimensional, com energia potencial U (x) e sem interações não conservadoras presentes. A equação\ ref {8.12} e a definição de velocidade exigem
\[K = \frac{1}{2} mv^{2} = E - U(x)\]
\[v = \frac{dx}{dt} = \sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}} \ldotp\]
Separe as variáveis x e t e integre, de um tempo inicial t = 0 a um tempo arbitrário, para obter
\[t = \int_{0}^{t} dt = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\frac{2(E - U(x))}{m}}} \ldotp \label{8.14}\]
Se você pode fazer a integral na Equação\ ref {8.14}, então você pode resolver x em função de t.
Use a energia potencial U (x) = −E\(\left(\dfrac{x}{x_{0}}\right)\), para E > 0, na Equação\ ref {8.14} para encontrar a posição x de uma partícula em função do tempo t.
Estratégia
Como sabemos como a energia potencial muda em função de x, podemos substituir U (x) na Equação\ ref {8.14}, integrar e depois resolver x. Isso resulta em uma expressão de x em função do tempo com constantes de energia E, massa m e a posição inicial x 0.
Solução
Seguindo as duas primeiras etapas sugeridas na estratégia acima,
\[t = \int_{x_{0}}^{x} \frac{dx}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)(x_{0} - x)}} = \frac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \Big| -2\sqrt{(x_{0} - x)} \Big|_{x_{0}}^{x} = \frac{-2\sqrt{(x_{0} - x)}}{\sqrt{\left(\dfrac{2E}{mx_{0}}\right)}} \ldotp\]
Resolvendo para a posição, obtemos
\[x(t) = x_{0} - \frac{1}{2} \left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right) t^{2} \ldotp\]
Significância
A posição em função do tempo, para esse potencial, representa um movimento unidimensional com aceleração constante, a =\(\left(\dfrac{E}{mx_{0}}\right)\), começando em repouso da posição x 0. Isso não é tão surpreendente, pois essa é uma energia potencial para uma força constante, F\(− \frac{dU}{dx}\) = =\(\frac{E}{x_{0}}\) e a =\(\frac{F}{m}\).
Qual energia potencial U (x) você pode substituir na Equação\ ref {8.13} que resultará em movimento com velocidade constante de 2 m/s por uma partícula de massa de 1 kg e energia mecânica de 1 J?
Veremos outro exemplo fisicamente mais apropriado do uso da Equação\ ref {8.13} depois de explorarmos algumas implicações adicionais que podem ser extraídas da forma funcional da energia potencial de uma partícula.
Sistemas com várias partículas ou objetos
Os sistemas geralmente consistem em mais de uma partícula ou objeto. No entanto, a conservação da energia mecânica, em uma das formas na Equação\ ref {8.12} ou na Equação\ ref {8.13}, é uma lei fundamental da física e se aplica a qualquer sistema. Basta incluir as energias cinéticas e potenciais de todas as partículas e o trabalho realizado por todas as forças não conservadoras que atuam sobre elas. Até que você aprenda mais sobre a dinâmica de sistemas compostos por muitas partículas, em Momento Linear e Colisões, Rotação de Eixo Fixo e Momento Angular, é melhor adiar a discussão sobre a aplicação da conservação de energia para lá.