6.7: Força de arrasto e velocidade do terminal
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- 185410
- Expresse a força de tração matematicamente
- Descreva as aplicações da força de arrasto
- Defina a velocidade do terminal
- Determine a velocidade terminal de um objeto dada sua massa
Outra força interessante na vida cotidiana é a força de arrasto sobre um objeto quando ele está se movendo em um fluido (seja um gás ou um líquido). Você sente a força de arrasto ao mover a mão na água. Você também pode sentir isso se mover a mão durante um vento forte. Quanto mais rápido você move sua mão, mais difícil é se mover. Você sente uma força de arrasto menor ao inclinar a mão para que apenas o lado passe pelo ar — você diminuiu a área da mão voltada para a direção do movimento.
Forças de tração
Assim como o atrito, a força de arrasto sempre se opõe ao movimento de um objeto. Ao contrário do atrito simples, a força de arrasto é proporcional a alguma função da velocidade do objeto nesse fluido. Essa funcionalidade é complicada e depende da forma do objeto, de seu tamanho, de sua velocidade e do fluido em que ele se encontra. Para a maioria dos objetos grandes, como ciclistas, carros e bolas de beisebol, que não se movem muito lentamente, a magnitude da força de arrasto\(F_D\) é proporcional ao quadrado da velocidade do objeto. Podemos escrever essa relação matematicamente como\(F_D \propto v^2\). Ao levar em conta outros fatores, essa relação se torna
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2}, \label{6.5}\]
onde\(C\) está o coeficiente de arrasto,\(A\) é a área do objeto voltada para o fluido e\(\rho\) é a densidade do fluido. (Lembre-se de que densidade é massa por unidade de volume.) Essa equação também pode ser escrita de forma mais generalizada como\(F_D = bv^2\), onde b é uma constante equivalente\(0.5C \rho A\) a. Definimos o expoente n para essas equações como 2 porque quando um objeto está se movendo em alta velocidade no ar, a magnitude da força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade. Como veremos em Mecânica dos Fluidos, para partículas pequenas que se movem em baixas velocidades em um fluido, o expoente n é igual a 1.
\(F_D\)A força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade do objeto. Matematicamente,
\[F_{D} = \frac{1}{2} C \rho A v^{2},\]
onde\(C\) está o coeficiente de arrasto,\(A\) é a área do objeto voltada para o fluido e\(\rho\) é a densidade do fluido.
Atletas e designers de carros buscam reduzir a força de arrasto para diminuir seus tempos de corrida (Figura\(\PageIndex{1A}\)). A modelagem aerodinâmica de um automóvel pode reduzir a força de arrasto e, assim, aumentar o consumo de combustível de um carro. O valor do coeficiente de arrasto\(C\) é determinado empiricamente, geralmente com o uso de um túnel de vento (Figura\(\PageIndex{1B}\)).
O coeficiente de arrasto pode depender da velocidade, mas assumimos que é uma constante aqui. A tabela\(\PageIndex{1}\) lista alguns coeficientes de arrasto típicos para uma variedade de objetos. Observe que o coeficiente de arrasto é uma quantidade adimensional. Em velocidades de rodovia, mais de 50% da potência de um carro é usada para superar a resistência aérea. A velocidade de cruzeiro mais eficiente em termos de combustível é de cerca de 70—80 km/h (cerca de 45—50 mi/h). Por esse motivo, durante a crise do petróleo dos anos 1970 nos Estados Unidos, as velocidades máximas nas rodovias foram fixadas em cerca de 90 km/h (55 mi/h).
| Objeto | C |
|---|---|
| Aerofólio | 0,05 |
| Toyota Camry | 0,28 |
| Ford Focus | 0,32 |
| Honda Civic | 0,36 |
| Ferrari Testarossa | 0,37 |
| Captador Dodge Ram | 0,43 |
| Esfera | 0,45 |
| Hummer H2 SUV | 0,64 |
| Paraquedista (pés primeiro) | 0,70 |
| Bicicleta | 0,90 |
| Paraquedista (horizontal) | 1,0 |
| Placa plana circular | 1,12 |
Pesquisas substanciais estão em andamento no mundo esportivo para minimizar o arrasto. As covinhas das bolas de golfe estão sendo redesenhadas, assim como as roupas que os atletas vestem. Os ciclistas e alguns nadadores e corredores usam macacões completos. A australiana Cathy Freeman vestiu um traje de corpo inteiro nas Olimpíadas de Sydney 2000 e ganhou a medalha de ouro na corrida de 400 m. Muitos nadadores nas Olimpíadas de Pequim 2008 usavam roupas corporais (Speedo); isso pode ter feito a diferença ao quebrar muitos recordes mundiais (Figura\(\PageIndex{2}\)). A maioria dos nadadores de elite (e ciclistas) depilam os pelos do corpo. Essas inovações podem ter o efeito de cortar milissegundos em uma corrida, às vezes fazendo a diferença entre uma medalha de ouro e uma de prata. Uma consequência é que diretrizes cuidadosas e precisas devem ser continuamente desenvolvidas para manter a integridade do esporte.
Velocidade terminal
Algumas situações interessantes relacionadas à segunda lei de Newton ocorrem ao considerar os efeitos das forças de arrasto sobre um objeto em movimento. Por exemplo, considere um paraquedista caindo no ar sob a influência da gravidade. As duas forças que atuam sobre ele são a força da gravidade e a força de arrasto (ignorando a pequena força de empuxo). A força descendente da gravidade permanece constante, independentemente da velocidade na qual a pessoa está se movendo. No entanto, à medida que a velocidade da pessoa aumenta, a magnitude da força de arrasto aumenta até que a magnitude da força de arrasto seja igual à força gravitacional, produzindo assim uma força líquida de zero. Uma força líquida zero significa que não há aceleração, conforme mostrado pela segunda lei de Newton. Nesse ponto, a velocidade da pessoa permanece constante e dizemos que a pessoa atingiu sua velocidade terminal (\(v_T\)). Como\(F_D\) é proporcional à velocidade quadrada, um paraquedista mais pesado deve ir mais rápido para que F D iguale seu peso. Vamos ver como isso funciona de forma mais quantitativa.
Na velocidade terminal,
\[F_{net} = mg - F_{D} = ma = 0 \ldotp\]
Assim,
\[mg = F_{D} \ldotp\]
Usando a equação da força de arrasto, temos
\[mg = \frac{1}{2} C \rho A v_{T}^{2} \ldotp\]
Resolvendo a velocidade, obtemos
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} \ldotp\]
Suponha que a densidade do ar seja\(\rho\) = 1,21 kg/m 3. Um paraquedista de 75 kg descendo de cabeça primeiro tem uma área transversal de aproximadamente A = 0,18 m 2 e um coeficiente de arrasto de aproximadamente C = 0,70. Nós descobrimos que
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2(75\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(0.70)(0.18\; m^{2})}} = 98\; m/s = 350\; km/h \ldotp\]
Isso significa que um paraquedista com uma massa de 75 kg atinge uma velocidade terminal de cerca de 350 km/h enquanto viaja em uma posição de pique (cabeça primeira), minimizando a área e seu arrasto. Em uma posição de águia aberta, essa velocidade terminal pode diminuir para cerca de 200 km/h à medida que a área aumenta. Essa velocidade terminal se torna muito menor após a abertura do paraquedas.
Encontre a velocidade terminal de um paraquedista de 85 kg caindo em uma posição de águia aberta.
Estratégia
Na velocidade terminal,\(F_{net} = 0\). Assim, a força de arrasto no paraquedista deve ser igual à força da gravidade (o peso da pessoa). Usando a equação da força de arrasto, encontramos\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^{2}\).
Solução
A velocidade terminal\(v_T\) pode ser escrita como
\[v_{T} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho CA}} = \sqrt{\frac{2(85\; kg)(9.80\; m/s^{2})}{(1.21\; kg/m^{3})(1.0)(0.70\; m^{2})}} = 44\; m/s \ldotp\]
Significância
Esse resultado é consistente com o valor de v T mencionado anteriormente. O paraquedista de 75 kg que passava primeiro tinha uma velocidade terminal de v T = 98 m/s. Ele pesava menos, mas tinha uma área frontal menor e, portanto, um arrasto menor devido ao ar.
Encontre a velocidade terminal de um paraquedista de 50 kg caindo em forma de águia aberta.
O tamanho do objeto que está caindo no ar apresenta outra aplicação interessante da resistência aérea. Se você cair de um galho de uma árvore com 5 m de altura, provavelmente se machucará, possivelmente fraturando um osso. No entanto, um pequeno esquilo faz isso o tempo todo, sem se machucar. Você não atinge uma velocidade terminal em uma distância tão curta, mas o esquilo sim.
A seguinte citação interessante sobre o tamanho do animal e a velocidade terminal é de um ensaio de 1928 de um biólogo britânico, J. B. S. Haldane, intitulado “Sobre ser o tamanho certo”.
“Para o rato e qualquer animal menor, [a gravidade] praticamente não apresenta perigos. Você pode jogar um rato no poço de uma mina de mil metros; e, ao chegar ao fundo, ele recebe um leve choque e vai embora, desde que o solo seja bastante macio. Um rato é morto, um homem é quebrado e um cavalo espirra. Pois a resistência apresentada ao movimento pelo ar é proporcional à superfície do objeto em movimento. Divida o comprimento, a largura e a altura de um animal cada um por dez; seu peso é reduzido para um milésimo, mas sua superfície apenas para um centésimo. Portanto, a resistência à queda no caso do animal pequeno é relativamente dez vezes maior do que a força motriz.”
A dependência quadrática acima da resistência do ar sobre a velocidade não se sustenta se o objeto for muito pequeno, estiver muito lento ou estiver em um meio mais denso que o ar. Em seguida, descobrimos que a força de arrasto é proporcional apenas à velocidade. Essa relação é dada pela lei de Stokes.
Para um objeto esférico caindo em um meio, a força de arrasto é
\[F_{s} = 6 \pi r \eta v, \label{6.6}\]
onde\(r\) é o raio do objeto,\(\eta\) é a viscosidade do fluido e\(v\) é a velocidade do objeto.
Bons exemplos da lei de Stokes são fornecidos por microorganismos, pólen e partículas de poeira. Como cada um desses objetos é tão pequeno, descobrimos que muitos desses objetos viajam sem ajuda apenas a uma velocidade constante (terminal). As velocidades terminais das bactérias (tamanho de cerca de\ (1\,\ mu m) podem ser de cerca de\ (2\,\ mu m/s). Para se mover a uma velocidade maior, muitas bactérias nadam usando flagelos (organelas em forma de pequenas caudas) que são alimentadas por pequenos motores embutidos na célula.
O sedimento em um lago pode se mover a uma velocidade terminal maior (cerca de 5\(\mu\) m/s), então pode levar dias para chegar ao fundo do lago depois de ser depositado na superfície.
Se compararmos os animais que vivem na terra com os que vivem na água, podemos ver como o arrasto influenciou a evolução. Peixes, golfinhos e até baleias enormes têm uma forma simplificada para reduzir as forças de arrasto. As aves são aerodinâmicas e as espécies migratórias que voam grandes distâncias geralmente têm características particulares, como pescoços longos. Bandos de pássaros voam na forma de uma ponta de lança enquanto o rebanho forma um padrão simplificado (Figura\(\PageIndex{3}\)). Em humanos, um exemplo importante de racionalização é a forma dos espermatozoides, que precisam ser eficientes no uso da energia.
Em demonstrações de palestras, fazemos medições da força de arrasto em diferentes objetos. Os objetos são colocados em uma corrente de ar uniforme criada por um ventilador. Calcule o número de Reynolds e o coeficiente de arrasto.
Vídeo\(\PageIndex{1}\): Mecânica dos Fluidos - Força de arrasto - Simulação de fluxo
O cálculo das forças de atrito dependentes da velocidade
Quando um corpo desliza por uma superfície, a força de atrito sobre ele é aproximadamente constante e dada por\(\mu_{k}N\). Infelizmente, a força de atrito em um corpo que se move através de um líquido ou gás não se comporta de forma tão simples. Essa força de arrasto geralmente é uma função complicada da velocidade do corpo. No entanto, para um corpo que se move em linha reta em velocidades moderadas através de um líquido como a água, a força de atrito geralmente pode ser aproximada por
\[f_{R} = -bv,\]
onde b é uma constante cujo valor depende das dimensões e da forma do corpo e das propriedades do líquido, e\(v\) é a velocidade do corpo. Duas situações para as quais a força de atrito pode ser representada nessa equação são uma lancha se movendo na água e um pequeno objeto caindo lentamente através de um líquido.
Vamos considerar o objeto caindo através de um líquido. O diagrama de corpo livre desse objeto com a direção positiva para baixo é mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\). A segunda lei de Newton na direção vertical fornece a equação diferencial
\[mg - bv = m \frac{dv}{dt},\]
onde escrevemos a aceleração como\(\frac{dv}{dt}\). Conforme v aumenta, a força de atrito\(–bv\) aumenta até atingir mg. Nesse ponto, não há aceleração e a velocidade permanece constante na velocidade terminal v T. Da equação anterior,
\[mg - bv_{T} = 0,\]
então
\[v_{T} = \frac{mg}{b} \ldotp\]
Podemos encontrar a velocidade do objeto integrando a equação diferencial para\(v\). Primeiro, reorganizamos os termos nesta equação para obter
\[\frac{dv}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v} = dt \ldotp \label{eq20}\]
Supondo que\(v = 0\) em\ 9t = 0\), a integração da Equação\ ref {eq20} produz
\[\int_{0}^{v} \frac{dv'}{g- \left(\dfrac{b}{m}\right)v'} = \int_{0}^{t} dt',\]
ou
\[- \frac{m}{b} \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v' \right) \Bigg|_{0}^{v} = t' \big|_{0}^{t} ,\]
onde\(v'\) e\(t'\) são variáveis fictícias de integração. Com os limites dados, encontramos
\[- \frac{m}{b} [ \ln \left(g - \dfrac{b}{m} v \right) - \ln g] = t \ldotp\]
Uma vez que\(\ln A − \ln B = \ln (\left(\frac{A}{B}\right)\), e\(\ln (\left(\frac{A}{B}\right) = x\) implica\(e^x = \dfrac{A}{B}\), obtemos
\[\frac{g - \left(\dfrac{bv}{m}\right)}{g} = e^{- \frac{bt}{m}},\]
e
\[v = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big) \ldotp\]
Observe que, como t →\(\infty\), v →\(\frac{mg}{b}\) = v T, que é a velocidade terminal.
A posição a qualquer momento pode ser encontrada integrando a equação de v. Com v =\(\frac{dy}{dt}\),
\[dy = \frac{mg}{b} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt \ldotp\]
Supondo que y = 0 quando t = 0,
\[\int_{0}^{y} dy' = \frac{mg}{b} \int_{0}^{t} \big( 1 - e^{- \frac{bt}{m}} \big)dt',\]
que se integra a
\[y = \frac{mg}{b} t + \frac{m^{2}g}{b^{2}} \big( e^{- \frac{bt}{m}} - 1 \big) \ldotp\]
Uma lancha está se movendo através de um lago a uma velocidade v 0 quando seu motor congela repentinamente e para. O barco então desacelera sob a força de atrito\(f_R = −bv\).
- Quais são a velocidade e a posição do barco em função do tempo?
- Se o barco desacelerar de 4,0 para 1,0 m/s em 10 s, até onde ele percorre antes de parar?
Solução
- Com o motor parado, a única força horizontal no barco é f R = −bv, então, da segunda lei de Newton, $$m\ frac {dv} {dt} = -bv, $$que podemos escrever como $$\ frac {dv} {v} = -\ frac {b} {m} dt\ lDotp$$integrando essa equação entre o tempo zero quando o veludo a cidade é v 0 e o tempo t quando a velocidade é v, temos $$\ int_ {0} ^ {v}\ frac {dv'} {v'} = -\ frac {b} {m}\ int_ {0} ^ {t} dt'\ ldotp$$ Assim, $$\ ln\ frac {v} {v_ {0}} = -\ frac {b} {m} t, $ $que, como LnA = x implica e x = A, podemos escrever isso como $$v = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ ldotp$$agora a partir da definição de velocidade, $$\ frac {dx} {dt} = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}}, $$so temos $$dx = v_ {0} e^ {-\ frac {bt} {m}} dt\ ldotp$$Com a posição inicial zero, temos $$\ int_ {0} ^ {x} dx' = v_ {0}\ int_ {0} ^ {t} e^ {0} ^ {t} ^ {0} e^ {t} ^ {0} -\ frac {bt'} {m}} dt', $ $ e $$x = -\ frac {mv_ {0}} {b} e^ {-\ frac {bt} {m}}\ Big|_ {0} ^ {t} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ big (1 - e^ {-\ frac {bt} {m}}}\ big)\ lDotP$$as o tempo aumenta,\(e^{- \frac{bt}{m}}\) → 0, e a posição do barco se aproxima de um valor limite $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b}\ ldotp$Embora isso nos diga que o barco leva uma quantidade infinita de tempo para atingir x max, o barco para efetivamente após um tempo razoável. Por exemplo, em t =\(\frac{10m}{b}\), temos $$v = v_ {0} e^ {-10}\ simeq 4.5\ times 10^ {-5} v_ {0}, $$ enquanto também temos $$x = x_ {max}\ big (1 - e^ {-10}\ big)\ simeq 0.99995x_ {max}\ lDotp$Portanto, o barco A velocidade e a posição da atingiram essencialmente seus valores finais.
- Com v 0 = 4,0 m/s e v = 1,0 m/s, temos 1,0 m/s = (4,0 m/s)\(e^{(- \frac{bt}{m})(10\; s)}\), então $$\ ln 0,25 = -\ ln 4.0 = -\ frac {b} {m} (10\; s), $ $ e $$\ frac {b} {m} =\ frac {1} {10}\ ln 4.0\; s^ {-1} = 0,14\; s^ {-1} = 0,14\; s^ {-1}}\ lDotp$$Agora, a posição limite do barco é $$x_ {max} =\ frac {mv_ {0}} {b} =\ frac {4.0\; m/s} {0.14\; s^ {-1}} = 29\; m\ ldotp$$
Significância
Nos dois exemplos anteriores, encontramos valores “limitantes”. A velocidade terminal é a mesma que a velocidade limite, que é a velocidade do objeto que cai após um tempo (relativamente) longo. Da mesma forma, a distância limite do barco é a distância que o barco percorrerá após um longo período de tempo. Devido às propriedades do decaimento exponencial, o tempo necessário para alcançar qualquer um desses valores na verdade não é muito longo (certamente não é uma quantidade infinita de tempo!) mas eles são encontrados rapidamente levando o limite ao infinito.
Suponha que a força resistiva do ar em um paraquedista possa ser aproximada em\(f = −bv^2\). Se a velocidade terminal de um paraquedista de 100 kg for 60 m/s, qual é o valor de b?