6.6: Força centrípeta

objetivos de aprendizagem

• Explique a equação da aceleração centrípeta
• Aplique a segunda lei de Newton para desenvolver a equação da força centrípeta
• Use conceitos de movimento circular na resolução de problemas envolvendo as leis do movimento de Newton

Em Movimento em duas e três dimensões, examinamos os conceitos básicos do movimento circular. Um objeto em movimento circular, como um dos carros de corrida mostrados no início deste capítulo, deve estar acelerando porque está mudando a direção de sua velocidade. Provamos que essa aceleração direcionada centralmente, chamada aceleração centrípeta, é dada pela fórmula

\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r}\]

onde v é a velocidade do objeto, direcionada ao longo de uma linha tangente à curva em qualquer instante. Se soubermos a velocidade angular\(\omega\), então podemos usar

\[a_{c} = r \omega^{2} \ldotp\]

A velocidade angular fornece a taxa na qual o objeto está girando na curva, em unidades de rad/s. Essa aceleração atua ao longo do raio do caminho curvo e, portanto, também é chamada de aceleração radial.

Uma aceleração deve ser produzida por uma força. Qualquer força ou combinação de forças pode causar uma aceleração centrípeta ou radial. Apenas alguns exemplos são a tensão na corda em uma bola de amarração, a força da gravidade da Terra na Lua, o atrito entre patins e o piso de uma pista, a força de uma pista inclinada em um carro e as forças no tubo de uma centrífuga giratória. Qualquer força líquida que cause movimento circular uniforme é chamada de força centrípeta. A direção de uma força centrípeta é em direção ao centro da curvatura, a mesma direção da aceleração centrípeta. De acordo com a segunda lei do movimento de Newton, a força líquida é massa vezes aceleração: F _net = ma. Para um movimento circular uniforme, a aceleração é a aceleração centrípeta: a = a _c. Assim, a magnitude da força centrípeta F _c é

\[F_{c} = ma_{c} \ldotp\]

Ao substituir as expressões pela aceleração centrípeta a _c (\(a_{c} = \frac{v^{2}}{r}; a_{c} = r \omega^{2}\)), obtemos duas expressões para a força centrípeta F _c em termos de massa, velocidade, velocidade angular e raio de curvatura:

\[F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}; \quad F_{c} = mr\omega^{2} \ldotp \label{6.3}\]

Você pode usar qualquer expressão para força centrípeta que seja mais conveniente. A força centrípeta\(\vec{F}_{c}\) é sempre perpendicular ao caminho e aponta para o centro da curvatura, porque\(\vec{a}_{c}\) é perpendicular à velocidade e aponta para o centro da curvatura. Observe que se você resolver a primeira expressão para r, obterá

\[r = \frac{mv^{2}}{F_{c}} \ldotp\]

Isso implica que, para uma determinada massa e velocidade, uma grande força centrípeta causa um pequeno raio de curvatura, ou seja, uma curva estreita, como na Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): A força de atrito fornece a força centrípeta e é numericamente igual a ela. A força centrípeta é perpendicular à velocidade e causa movimento circular uniforme. Quanto maior o F _c, menor o raio de curvatura r e mais nítida é a curva. A segunda curva tem o mesmo v, mas um F _c maior produz um r menor.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): What Coefficient of Friction Do Cars Need on a Flat Curve?

1. Calcule a força centrípeta exercida em um carro de 900,0 kg que negocia uma curva de raio de 500,0 m a 25,00 m/s.
2. Assumindo uma curva sem inclinação, determine o coeficiente estático mínimo de atrito entre os pneus e a estrada, sendo o atrito estático o motivo que impede o carro de escorregar (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): Este carro em terreno plano está se afastando e virando para a esquerda. A força centrípeta que faz com que o carro gire em um caminho circular se deve ao atrito entre os pneus e a estrada. É necessário um coeficiente mínimo de atrito, ou o carro se moverá em uma curva de raio maior e sairá da pista.

Estratégia

1. Nós sabemos disso\(F_{c} = m \frac{v^{2}}{r}\). Assim, $$F_ {c} = m\ frac {v^ {2}} {r} =\ frac {(900,0\; kg) (25,00\; m/s) ^ {2}} {(500,0\; m)} = 1125\; N\ ldotp$$
2. A figura\(\PageIndex{2}\) mostra as forças que atuam no carro em uma curva sem inclinação (nível do solo). O atrito é para a esquerda, impedindo que o carro escorregue e, como é a única força horizontal atuando sobre o carro, o atrito é a força centrípeta neste caso. Sabemos que o atrito estático máximo (no qual os pneus rolam, mas não escorregam) é\(\mu_{s}\) N, onde\(\mu_{s}\) está o coeficiente estático de atrito e N é a força normal. A força normal é igual ao peso do carro em terreno plano, então N = mg. Assim, a força centrípeta nessa situação é $$F_ {c} = f =\ mu_ {s} N =\ mu_ {s} mg\ lDotp$$Agora temos uma relação entre a força centrípeta e o coeficiente de atrito. Usando a equação $$F_ {c} = m\ frac {v^ {2}} {r}\ ldotp$$, obtemos $$m\ frac {v^ {2}} {r} =\ mu_ {s} mg\ ldotp$$Nós resolvemos isso\(\mu_{s}\), observando que a massa é cancelada e obtemos $$\ mu_ {s} =\ frac {v^ {2}} {rg}\ lDotp$$Substituindo os conhecidos, $$\ mu_ {s} =\ frac {(25,00\; m/s) ^ {2}} {(500,0\; m) (9,80\; m/s^ {2})} = 0,13\ ldotp$$ (Como os coeficientes de atrito são aproximados, a resposta é dada a apenas dois dígitos.)

Significância

O coeficiente de atrito encontrado na Figura\(\PageIndex{2b}\) é muito menor do que normalmente é encontrado entre pneus e estradas. O carro ainda negocia a curva se o coeficiente for maior que 0,13, porque o atrito estático é uma força responsiva, capaz de assumir um valor menor que, mas não maior que\(\mu_{s}\) N. Um coeficiente maior também permitiria ao carro negociar a curva em uma velocidade maior, mas se o coeficiente de atrito for menor, a velocidade segura seria inferior a 25 m/s. Observe que a massa é cancelada, o que implica que, neste exemplo, não importa o quão pesado o carro esteja para negociar a curva. A massa é cancelada porque o atrito é considerado proporcional à força normal, que por sua vez é proporcional à massa. Se a superfície da estrada estivesse inclinada, a força normal seria menor, conforme discutido a seguir.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Um carro que se move a 96,8 km/h percorre uma curva circular de raio de 182,9 m em uma estrada rural plana. Qual deve ser o coeficiente mínimo de atrito estático para evitar que o carro escorregue?

Curvas inclinadas

Vamos agora considerar curvas inclinadas, onde a inclinação da estrada ajuda você a negociar a curva (Figura\(\PageIndex{3}\)). Quanto maior o ângulo θ, mais rápido você pode pegar a curva. As pistas de corrida para bicicletas e carros, por exemplo, costumam ter curvas acentuadas. Em uma “curva inclinada idealmente”, o ângulo\(\theta\) é tal que você pode negociar a curva em uma determinada velocidade sem o auxílio do atrito entre os pneus e a estrada. Derivaremos uma expressão\(\theta\) para uma curva idealmente inclinada e consideraremos um exemplo relacionado a ela.

Figura\(\PageIndex{3}\): O carro nesta curva inclinada está se afastando e virando para a esquerda.

Para uma inclinação ideal, a força externa líquida é igual à força centrípeta horizontal na ausência de atrito. Os componentes da força normal N nas direções horizontal e vertical devem ser iguais à força centrípeta e ao peso do carro, respectivamente. Nos casos em que as forças não são paralelas, é mais conveniente considerar os componentes ao longo dos eixos perpendiculares — nesse caso, nas direções vertical e horizontal.

A figura\(\PageIndex{3}\) mostra um diagrama de carroceria livre para um carro em uma curva inclinada sem atrito. Se o ângulo\(\theta\) for ideal para a velocidade e o raio, a força externa líquida é igual à força centrípeta necessária. As duas únicas forças externas que atuam no carro são seu peso\(\vec{w}\) e a força normal da estrada\(\vec{N}\). (Uma superfície sem atrito só pode exercer uma força perpendicular à superfície, ou seja, uma força normal.) Essas duas forças devem ser adicionadas para dar uma força externa líquida que seja horizontal em direção ao centro da curvatura e tenha magnitude\(\frac{mv^{2}}{r}\). Como essa é a força crucial e é horizontal, usamos um sistema de coordenadas com eixos vertical e horizontal. Somente a força normal tem um componente horizontal, então isso deve ser igual à força centrípeta, ou seja,

\[N \sin \theta = \frac{mv^{2}}{r} \ldotp\]

Como o carro não sai da superfície da estrada, a força vertical líquida deve ser zero, o que significa que os componentes verticais das duas forças externas devem ser iguais em magnitude e opostos na direção. Na Figura\(\PageIndex{3}\), vemos que o componente vertical da força normal é N cos\(\theta\), e a única outra força vertical é o peso do carro. Eles devem ser iguais em magnitude; portanto,

\[N \cos \theta = mg \ldotp\]

Agora podemos combinar essas duas equações para eliminar N e obter uma expressão para\(\theta\), conforme desejado. Resolver a segunda equação para N =\(\frac{mg}{(\cos \theta)}\) e substituí-la pela primeira produz

\[\begin{split} mg \frac{\sin \theta}{\cos \theta} & = \frac{mv^{2}}{r} \\ mg \tan \theta & = \frac{mv^{2}}{r} \\ \tan \theta & = \frac{v^{2}}{rg} \ldotp \end{split}\]

Tomando a tangente inversa dá

\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v^{2}}{rg}\right) \ldotp \label{6.4}\]

Essa expressão pode ser entendida considerando como\(\theta\) depende de v e r. Um grande\(\theta\) é obtido para um grande v e um pequeno r. Ou seja, as estradas devem ser inclinadas para altas velocidades e curvas nítidas. O atrito ajuda, pois permite que você faça a curva em uma velocidade maior ou menor do que se a curva fosse sem atrito. Note que isso\(\theta\) não depende da massa do veículo.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): What Is the Ideal Speed to Take a Steeply Banked Tight Curve?

As curvas em algumas pistas de teste e pistas de corrida, como a Daytona International Speedway, na Flórida, são muito inclinadas. Esse banco, com a ajuda do atrito dos pneus e de configurações de carro muito estáveis, permite que as curvas sejam percorridas em altíssima velocidade. Para ilustrar, calcule a velocidade na qual uma curva de raio de 100,0 m inclinada a 31,0° deve ser percorrida se a estrada estiver sem atrito.

Estratégia

Primeiro, notamos que todos os termos na expressão para o ângulo ideal de uma curva inclinada, exceto a velocidade, são conhecidos; portanto, precisamos apenas reorganizá-la para que a velocidade apareça no lado esquerdo e, em seguida, substituir as quantidades conhecidas.

Solução

Começando com

\[\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg},\]

nós obtemos

\[v = \sqrt{rg \tan \theta} \ldotp\]

Observando que tan 31,0° = 0,609, obtemos

\[v = \sqrt{(100.0\; m)(9.80\; m/s^{2})(0.609)} = 24.4\; m/s \ldotp\]

Significância

Isso é apenas cerca de 165 km/h, consistente com uma curva muito inclinada e bastante nítida. O atrito do pneu permite que um veículo faça a curva em velocidades significativamente mais altas.

Os aviões também fazem curvas bancando. A força de sustentação, devido à força do ar na asa, atua em ângulo reto com a asa. Quando o avião pousa, o piloto está obtendo maior sustentação do que o necessário para um voo nivelado. O componente vertical do elevador equilibra o peso do avião e o componente horizontal acelera o avião. O ângulo de inclinação mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\) é dado por\(\theta\). Analisamos as forças da mesma forma que tratamos o caso do carro arredondar uma curva inclinada.

Figura\(\PageIndex{4}\): Em uma curva inclinada, o componente horizontal do elevador está desequilibrado e acelera o avião. O componente normal do elevador equilibra o peso do avião. O ângulo bancário é dado por\(\theta\). Compare o diagrama vetorial com o mostrado na Figura 6.22.

Simulação

Junte-se à joaninha em uma exploração do movimento rotacional. Gire o carrossel para alterar seu ângulo ou escolha uma velocidade angular constante ou aceleração angular. Explore como o movimento circular se relaciona com a posição xy, a velocidade e a aceleração do bug usando vetores ou gráficos.

Nota

Um movimento circular requer uma força, a chamada força centrípeta, que é direcionada ao eixo de rotação. Esse modelo simplificado de carrossel demonstra essa força.

Forças inerciais e estruturas não inerciais (aceleradas): a força de Coriolis

O que decolar em um avião a jato, virar uma esquina em um carro, andar de carrossel e o movimento circular de um ciclone tropical têm em comum? Cada um exibe forças inerciais — forças que simplesmente parecem surgir do movimento, porque o quadro de referência do observador está acelerando ou girando. Ao decolar em um jato, a maioria das pessoas concorda que é como se você estivesse sendo empurrado de volta para o assento enquanto o avião acelera na pista. No entanto, um físico diria que você tende a permanecer parado enquanto o assento o empurra para frente. Uma experiência ainda mais comum ocorre quando você faz uma curva estreita em seu carro — digamos, para a direita (Figura\(\PageIndex{5}\)). Você se sente como se fosse jogado (ou seja, forçado) para a esquerda em relação ao carro. Novamente, um físico diria que você está indo em linha reta (lembre-se da primeira lei de Newton), mas o carro se move para a direita, não que você esteja experimentando uma força da esquerda.

Figura\(\PageIndex{5}\): (a) O motorista do carro se sente forçado para a esquerda em relação ao carro quando faz uma curva à direita. Essa é uma força inercial decorrente do uso do carro como quadro de referência. (b) No quadro de referência da Terra, o motorista se move em linha reta, obedecendo à primeira lei de Newton, e o carro se move para a direita. Não há força à esquerda no motorista em relação à Terra. Em vez disso, há uma força à direita no carro para fazê-lo girar.

Podemos conciliar esses pontos de vista examinando os quadros de referência usados. Vamos nos concentrar nas pessoas em um carro. Os passageiros usam instintivamente o carro como referência, enquanto um físico pode usar a Terra. O físico pode fazer essa escolha porque a Terra é quase um quadro de referência inercial, no qual todas as forças têm uma origem física identificável. Nesse quadro de referência, as leis do movimento de Newton assumem a forma dada nas Leis do Movimento de Newton. O carro é um quadro de referência não inercial porque é acelerado para o lado. A força à esquerda detectada pelos passageiros do carro é uma força inercial sem origem física (é devida puramente à inércia do passageiro, não a alguma causa física, como tensão, atrito ou gravitação). O carro, assim como o motorista, está realmente acelerando para a direita. Diz-se que essa força inercial é uma força inercial porque não tem origem física, como a gravidade.

Um físico escolherá o quadro de referência mais conveniente para a situação que está sendo analisada. Não há problema para um físico em incluir forças inerciais e a segunda lei de Newton, como sempre, se isso for mais conveniente, por exemplo, em um carrossel ou em um planeta rotativo. Quadros de referência não inerciais (acelerados) são usados quando é útil fazer isso. Diferentes quadros de referência devem ser considerados ao discutir o movimento de um astronauta em uma espaçonave viajando a velocidades próximas à velocidade da luz, como você apreciará no estudo da teoria especial da relatividade.

Vamos agora fazer um passeio mental em um carrossel — especificamente, um carrossel de playground que gira rapidamente (Figura\(\PageIndex{6}\)). Você considera o carrossel como seu quadro de referência porque vocês giram juntos. Ao girar nesse quadro de referência não inercial, você sente uma força inercial que tende a desanimá-lo; isso geralmente é chamado de força centrífuga (não deve ser confundida com força centrípeta). Força centrífuga é um termo comumente usado, mas na verdade não existe. Você deve se segurar firmemente para neutralizar sua inércia (que as pessoas geralmente chamam de força centrífuga). No quadro de referência da Terra, não há nenhuma força tentando te despistar; enfatizamos que a força centrífuga é uma ficção. Você deve se segurar para fazer um círculo porque, caso contrário, você seguiria em linha reta, logo após o carrossel, de acordo com a primeira lei de Newton. Mas a força que você exerce age em direção ao centro do círculo.

Figura\(\PageIndex{6}\): (a) Um piloto em um carrossel se sente como se estivesse sendo expulso. Essa força inercial às vezes é erroneamente chamada de força centrífuga em um esforço para explicar o movimento do piloto na estrutura rotativa de referência. (b) Em um quadro de referência inercial e de acordo com as leis de Newton, é sua inércia que o leva para fora (o piloto sem sombra tem F _net = 0 e segue em linha reta). É necessária uma força _centrípeta F para criar um caminho circular.

Esse efeito inercial, que o afasta do centro de rotação se não houver força centrípeta para causar movimento circular, é bem utilizado em centrífugas (Figura\(\PageIndex{7}\)). Uma centrífuga gira uma amostra muito rapidamente, conforme mencionado anteriormente neste capítulo. Vista a partir do quadro de referência rotativo, a força inercial lança as partículas para fora, acelerando sua sedimentação. Quanto maior a velocidade angular, maior a força centrífuga. Mas o que realmente acontece é que a inércia das partículas as carrega ao longo de uma linha tangente ao círculo enquanto o tubo de ensaio é forçado em um caminho circular por uma força centrípeta.

Figura\(\PageIndex{7}\): As centrífugas usam a inércia para realizar sua tarefa. As partículas no sedimento fluido se depositam porque sua inércia as afasta do centro de rotação. A grande velocidade angular da centrífuga acelera a sedimentação. Por fim, as partículas entram em contato com as paredes do tubo de ensaio, que então fornecem a força centrípeta necessária para fazê-las se mover em um círculo de raio constante.

Vamos agora considerar o que acontece se algo se move em um quadro de referência rotativo. Por exemplo, e se você deslizar uma bola diretamente para longe do centro do carrossel, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{8}\)? A bola segue um caminho reto em relação à Terra (assumindo atrito insignificante) e um caminho curvado para a direita na superfície do carrossel. Uma pessoa ao lado do carrossel vê a bola se movendo em linha reta e o carrossel girando embaixo dela. No quadro de referência do carrossel, explicamos a curva aparente à direita usando uma força inercial, chamada força de Coriolis, que faz com que a bola se curve para a direita. A força de Coriolis pode ser usada por qualquer pessoa nesse quadro de referência para explicar por que os objetos seguem caminhos curvos e nos permite aplicar as leis de Newton em quadros de referência não inerciais.

Figura\(\PageIndex{8}\): Olhando para baixo na rotação anti-horária de um carrossel, vemos que uma bola deslizada diretamente em direção à borda segue um caminho curvado para a direita. A pessoa desliza a bola em direção ao ponto B, começando no ponto A. Ambos os pontos giram para as posições sombreadas (A' e B') mostradas no tempo em que a bola segue o caminho curvo na estrutura giratória e um caminho reto na estrutura da Terra.

Até agora, consideramos a Terra um quadro de referência inercial com pouca ou nenhuma preocupação com os efeitos devido à sua rotação. No entanto, esses efeitos existem — na rotação dos sistemas climáticos, por exemplo. A maioria das consequências da rotação da Terra pode ser entendida qualitativamente por analogia com o carrossel. Visto de cima do Pólo Norte, a Terra gira no sentido anti-horário, assim como o carrossel na Figura\(\PageIndex{8}\). Como no carrossel, qualquer movimento no hemisfério norte da Terra experimenta uma força de Coriolis para a direita. Exatamente o oposto ocorre no hemisfério sul; lá, a força está à esquerda. Como a velocidade angular da Terra é pequena, a força de Coriolis geralmente é insignificante, mas para movimentos de grande escala, como padrões de vento, ela tem efeitos substanciais.

A força de Coriolis faz com que os furacões no hemisfério norte girem no sentido anti-horário, enquanto os ciclones tropicais no hemisfério sul giram no sentido horário. (Os termos furacão, tufão e tempestade tropical são nomes regionais específicos para ciclones, que são sistemas de tempestades caracterizados por centros de baixa pressão, ventos fortes e chuvas fortes.) \(\PageIndex{9}\)A figura ajuda a mostrar como essas rotações ocorrem. O ar flui para qualquer região de baixa pressão, e os ciclones tropicais contêm pressões particularmente baixas. Assim, os ventos fluem em direção ao centro de um ciclone tropical ou de um sistema climático de baixa pressão na superfície. No hemisfério norte, esses ventos internos são desviados para a direita, conforme mostrado na figura, produzindo uma circulação no sentido anti-horário na superfície para zonas de baixa pressão de qualquer tipo. A baixa pressão na superfície está associada ao aumento do ar, que também produz resfriamento e formação de nuvens, tornando os padrões de baixa pressão bastante visíveis do espaço. Por outro lado, a circulação do vento em torno das zonas de alta pressão é no sentido horário no hemisfério sul, mas é menos visível porque a alta pressão está associada ao afundamento do ar, produzindo céu limpo.

Figura\(\PageIndex{9}\): (a) A rotação anti-horária desse furacão no hemisfério norte é uma das principais consequências da força de Coriolis. (b) Sem a força de Coriolis, o ar fluiria diretamente para uma zona de baixa pressão, como a encontrada em ciclones tropicais. (c) A força de Coriolis desvia os ventos para a direita, produzindo uma rotação no sentido anti-horário. (d) O vento que flui para longe de uma zona de alta pressão também é desviado para a direita, produzindo uma rotação no sentido horário. (e) A direção oposta de rotação é produzida pela força de Coriolis no hemisfério sul, levando a ciclones tropicais. (crédito a e crédito e: modificações do trabalho da NASA)

A rotação dos ciclones tropicais e o caminho de uma bola em um carrossel também podem ser explicados pela inércia e pela rotação do sistema por baixo. Quando estruturas não inerciais são usadas, forças inerciais, como a força de Coriolis, devem ser inventadas para explicar o caminho curvo. Não há fonte física identificável para essas forças inerciais. Em uma estrutura inercial, a inércia explica o caminho, e nenhuma força é encontrada sem uma fonte identificável. Qualquer uma das visões nos permite descrever a natureza, mas uma visão em um quadro inercial é a mais simples no sentido de que todas as forças têm origens e explicações.