6.3: Resolvendo problemas com as leis de Newton (Parte 2)
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Leis do movimento e da cinemática de Newton
A física é mais interessante e poderosa quando aplicada a situações gerais que envolvem mais do que um conjunto restrito de princípios físicos. As leis do movimento de Newton também podem ser integradas a outros conceitos que foram discutidos anteriormente neste texto para resolver problemas de movimento. Por exemplo, forças produzem acelerações, um tópico de cinemática e, portanto, a relevância dos capítulos anteriores.
Ao abordar problemas que envolvem vários tipos de forças, aceleração, velocidade e/ou posição, listar os dados e as quantidades a serem calculadas permitirá que você identifique os princípios envolvidos. Em seguida, você pode consultar os capítulos que tratam de um tópico específico e resolver o problema usando as estratégias descritas no texto. O exemplo prático a seguir ilustra como a estratégia de resolução de problemas dada anteriormente neste capítulo, bem como as estratégias apresentadas em outros capítulos, é aplicada a um problema de conceito integrado.
Um jogador de futebol começa em repouso e acelera para frente, atingindo uma velocidade de 8,00 m/s em 2,50 s. (a) Qual é a aceleração média dela? (b) Que força média o solo exerce para frente na corredora para que ela alcance essa aceleração? A massa do jogador é de 70,0 kg e a resistência do ar é insignificante.
Estratégia
Para encontrar as respostas para esse problema, usamos a estratégia de resolução de problemas fornecida anteriormente neste capítulo. As soluções para cada parte do exemplo ilustram como aplicar etapas específicas de solução de problemas. Nesse caso, não precisamos usar todas as etapas. Simplesmente identificamos os princípios físicos e, portanto, os conhecidos e desconhecidos; aplicamos a segunda lei de Newton; e verificamos se a resposta é razoável.
Solução
- Recebemos as velocidades inicial e final (zero e 8,00 m/s para frente); assim, a mudança na velocidade é\(\Delta\) v = 8,00 m/s. Recebemos o tempo decorrido, então\(\Delta\) t = 2,50 s. A incógnita é a aceleração, que pode ser encontrada em sua definição: $$a =\ frac {\ Delta v} {\ Delta t}\ lDotp$$$A Substituir os valores conhecidos resulta em $$a =\ frac {8.00\; m/s} {2.50\; s} = 3,20\; m/s^ {2}\ ldotp p$$
- Aqui, somos solicitados a encontrar a força média que o solo exerce sobre o corredor para produzir essa aceleração. (Lembre-se de que estamos lidando com a força ou forças que atuam sobre o objeto de interesse.) Essa é a força de reação à exercida pelo jogador de trás para o chão, pela terceira lei de Newton. Negligenciando a resistência do ar, isso seria igual em magnitude à força externa líquida sobre o jogador, pois essa força causa sua aceleração. Como agora conhecemos a aceleração do jogador e recebemos sua massa, podemos usar a segunda lei de Newton para encontrar a força exercida. Ou seja, $$F_ {net} = ma\ lDotp$$Substituindo os valores conhecidos de m e a dá $$F_ {net} = (70,0\; kg) (3,20\; m/s^ {2}) = 224\; N\ ldotp$$
Este é um resultado razoável: a aceleração é alcançável para um atleta em boas condições. A força é de cerca de 50 libras, uma força média razoável.
Significância
Este exemplo ilustra como aplicar estratégias de resolução de problemas a situações que incluem tópicos de diferentes capítulos. O primeiro passo é identificar os princípios físicos, os conhecidos e os desconhecidos envolvidos no problema. O segundo passo é resolver o desconhecido, neste caso usando a segunda lei de Newton. Por fim, verificamos nossa resposta para garantir que seja razoável. Essas técnicas para problemas de conceito integrados serão úteis em aplicações da física fora de um curso de física, como em sua profissão, em outras disciplinas científicas e na vida cotidiana.
O jogador de futebol para depois de completar a jogada descrita acima, mas agora percebe que a bola está em posição de ser roubada. Se ela agora experimentar uma força de 126 N para tentar roubar a bola, que está a 2,00 m de distância dela, quanto tempo ela levará para chegar até a bola?
Um helicóptero modelo de 1,50 kg tem uma velocidade de 5,00\(\hat{j}\) m/s em t = 0. Ele é acelerado a uma taxa constante por dois segundos (2,00 s), após os quais tem uma velocidade de (6,00\(\hat{i}\) + 12,00\(\hat{j}\)) m/s. Qual é a magnitude da força resultante atuando no helicóptero durante esse intervalo de tempo?
Estratégia
Podemos configurar facilmente um sistema de coordenadas no qual o eixo x (\(\hat{i}\)direção) é horizontal e o eixo y (\(\hat{j}\)direção) é vertical. Sabemos que\(\Delta\) t = 2,00s e\(\Delta\) v = (6,00\(\hat{i}\) + 12,00\(\hat{j}\) m/s) − (5,00\(\hat{j}\) m/s). A partir disso, podemos calcular a aceleração pela definição; podemos então aplicar a segunda lei de Newton.
Solução
Nós temos
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{(6.00 \hat{i} + 12.00 \hat{j}\; m/s) - (5.00 \hat{j}\; m/s)}{2.00\; s} = 3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}$$ $$\sum \vec{F} = m \vec{a} = (1.50\; kg)(3.00 \hat{i} + 3.50 \hat{j}\; m/s^{2}) = 4.50 \hat{i} + 5.25 \hat{j}\; N \ldotp\]
A magnitude da força agora é facilmente encontrada:
\[F = \sqrt{(4.50\; N)^{2} + (5.25\; N)^{2}} = 6.91\; N \ldotp\]
Significância
O problema original foi declarado em termos de\(\hat{i}\) − componentes\(\hat{j}\) vetoriais, então usamos métodos vetoriais. Compare esse exemplo com o exemplo anterior.
Encontre a direção do resultado para o helicóptero modelo de 1,50 kg.
A Figura\(\PageIndex{7}\) (a) mostra um trator de bagagem puxando carrinhos de bagagem de um avião. O trator tem massa 650,0 kg, enquanto o carrinho A tem massa 250,0 kg e o carrinho B tem massa 150,0 kg. A força motriz atuando por um breve período de tempo acelera o sistema em repouso e atua por 3,00 s. (a) Se essa força motriz for dada por F = (820,0t) N, determine a velocidade após 3,00 segundos. (b) Qual é a força horizontal atuando no cabo de conexão entre o trator e a carreta A neste instante?
Estratégia
Um diagrama de corpo livre mostra a força motriz do trator, o que dá ao sistema sua aceleração. Só precisamos considerar o movimento na direção horizontal. As forças verticais se equilibram e não é necessário considerá-las. Para a parte b, usamos apenas um diagrama de corpo livre do trator para determinar a força entre ele e o carrinho A. Isso expõe a força de acoplamento\(\vec{T}\), que é nosso objetivo.
Solução
- $$\ sum F_ {x} = m_ {system} a_ {x}\; e\;\ sum F_ {x} = 820,0t, $$so $820,0t = (650,0 + 250,0 + 150,0) a$$ $a = 0.7809t\ ldotp$$$Como a aceleração é uma função do tempo, podemos determinar a velocidade do trator usando a =\(\frac{dv}{dt}\) com a condição inicial de que v 0 = 0 em t = 0. Integramos de t = 0 a t = 3: $$\ begin {split} dv & = adt\\\ int_ {0} ^ {3} dv & =\ int_ {0} ^ {3,00} adt =\ int_ {0} ^ {3,00} 0.7809tdt\\ v & = 0,3905t^ {2}\ big] _ {0} ^ {3,00} = 3,51\; m/s\ ldotp\ end {split} $$
- Consulte o diagrama de corpo livre na Figura\(\PageIndex{7}\) (b) $$\ begin {split}\ sum F_ {x} & = m_ {trator} a_ {x}\\ 820.0t - T & = m_ {trator} (0,7805) t\\ (820,0) (3,00) - T & = (650,0) (0,7805) (3,00)\\ T & = 938\; N\ ldotp\ end {split} $$
Significância
Como a força varia com o tempo, devemos usar o cálculo para resolver esse problema. Observe como a massa total do sistema foi importante para resolver a Figura\(\PageIndex{7}\) (a), enquanto apenas a massa do caminhão (já que ele fornecia a força) era útil na Figura\(\PageIndex{7}\) (b).
Lembre-se de que v =\(\frac{ds}{dt}\) e a =\(\frac{dv}{dt}\). Se a aceleração for uma função do tempo, podemos usar as formas de cálculo desenvolvidas em Movimento ao longo de uma linha reta, conforme mostrado neste exemplo. No entanto, às vezes a aceleração é uma função do deslocamento. Nesse caso, podemos derivar um resultado importante dessas relações de cálculo. Resolvendo para dt em cada um, temos dt =\(\frac{ds}{v}\) e dt =\(\frac{dv}{a}\). Agora, igualando essas expressões, temos\(\frac{ds}{v}\) =\(\frac{dv}{a}\). Podemos reorganizar isso para obter a ds = v dv.
Um casco de argamassa de 10,0 kg é disparado verticalmente do solo para cima, com uma velocidade inicial de 50,0 m/s (veja a Figura\(\PageIndex{8}\)). Determine a altura máxima que ele percorrerá se a resistência atmosférica for medida como F D = (0,0100 v 2) N, onde v é a velocidade em qualquer instante.
Estratégia
A força conhecida no invólucro da argamassa pode ser relacionada à sua aceleração usando as equações de movimento. A cinemática pode então ser usada para relacionar a aceleração do casco da argamassa com sua posição.
Solução
Inicialmente, y 0 = 0 e v 0 = 50,0 m/s. Na altura máxima y = h, v = 0. O diagrama de corpo livre mostra que F D age para baixo, porque retarda o movimento ascendente do casco da argamassa. Assim, podemos escrever
\[\begin{split} \sum F_{y} & = ma_{y} \\ -F_{D} - w & = ma_{y} \\ -0.0100 v^{2} - 98.0 & = 10.0 a \\ a & = -0.00100 v^{2} - 9.80 \ldotp \end{split}\]
A aceleração depende de v e, portanto, é variável. Como a = f (v), podemos relacionar a a a v usando o rearranjo descrito acima,
\[a ds = v dv \ldotp\]
Substituímos ds por dy porque estamos lidando com a direção vertical,
\[\begin{split} ady & = vdv \\ (−0.00100v^{2} − 9.80)dy & = vdv \ldotp \end{split}\]
Agora separamos as variáveis (v's e dv's em um lado; dy no outro):
\[\begin{split} \int_{0}^{h} dy & = \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} - 9.80)} \\ & = - \int_{50.0}^{0} \frac{vdv}{(-0.00100 v^{2} + 9.80)} \\ & = (-5 \times 10^{3}) \ln(0.00100v^{2} + 9.80) \Big|_{50.0}^{0} \ldotp \end{split}\]
Assim, h = 114 m.
Significância
Observe a necessidade de aplicar o cálculo, pois a força não é constante, o que também significa que a aceleração não é constante. Para piorar a situação, a força depende de v (não t) e, portanto, devemos usar o truque explicado antes do exemplo. A resposta para a altura indica uma elevação menor se houver resistência do ar. Vamos lidar com os efeitos da resistência do ar e outras forças de arrasto com mais detalhes em Força de Arrasto e Velocidade Terminal.
Se a resistência atmosférica for negligenciada, encontre a altura máxima para o invólucro da argamassa. O cálculo é necessário para essa solução?
Explore as forças em ação nesta simulação ao tentar empurrar um armário de arquivamento. Crie uma força aplicada e veja a força de atrito resultante e a força total atuando no gabinete. Os gráficos mostram as forças, a posição, a velocidade e a aceleração em relação ao tempo. Veja um diagrama de corpo livre de todas as forças (incluindo forças gravitacionais e normais).