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6.2: Resolvendo problemas com as leis de Newton (Parte 1)

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    Objetivos de
    • Aplique técnicas de resolução de problemas para resolver quantidades em sistemas de forças mais complexos
    • Use conceitos da cinemática para resolver problemas usando as leis do movimento de Newton
    • Resolva problemas de equilíbrio mais complexos
    • Resolva problemas de aceleração mais complexos
    • Aplique o cálculo a problemas dinâmicos mais avançados

    O sucesso na resolução de problemas é necessário para entender e aplicar os princípios físicos. Desenvolvemos um padrão de análise e configuração de soluções para problemas envolvendo as leis de Newton nas Leis do Movimento de Newton; neste capítulo, continuamos discutindo essas estratégias e aplicando um processo passo a passo.

    Estratégias de resolução de problemas

    Seguimos aqui os princípios básicos da resolução de problemas apresentados anteriormente neste texto, mas enfatizamos estratégias específicas que são úteis na aplicação das leis do movimento de Newton. Depois de identificar os princípios físicos envolvidos no problema e determinar que eles incluem as leis do movimento de Newton, você pode aplicar essas etapas para encontrar uma solução. Essas técnicas também reforçam conceitos que são úteis em muitas outras áreas da física. Muitas estratégias de resolução de problemas são apresentadas diretamente nos exemplos trabalhados, portanto, as técnicas a seguir devem reforçar as habilidades que você já começou a desenvolver.

    Estratégia de resolução de problemas: aplicando as leis do movimento de Newton
    1. Identifique os princípios físicos envolvidos listando os dados e as quantidades a serem calculadas.
    2. Esboce a situação usando setas para representar todas as forças.
    3. Determine o sistema de interesse. O resultado é um diagrama de corpo livre que é essencial para resolver o problema.
    4. Aplique a segunda lei de Newton para resolver o problema. Se necessário, aplique as equações cinemáticas apropriadas do capítulo sobre movimento ao longo de uma linha reta.
    5. Verifique a solução para ver se é razoável.

    Vamos aplicar essa estratégia de resolução de problemas ao desafio de colocar um piano de cauda em um apartamento no segundo andar. Depois de determinarmos que as leis do movimento de Newton estão envolvidas (se o problema envolver forças), é particularmente importante fazer um esboço cuidadoso da situação. Esse esboço é mostrado na Figura\(\PageIndex{1a}\). Então, como na Figura\(\PageIndex{1b}\), podemos representar todas as forças com flechas. Sempre que houver informações suficientes, é melhor rotular essas setas com cuidado e fazer com que o comprimento e a direção de cada uma correspondam à força representada.

    Esta figura mostra o desenvolvimento do diagrama de corpo livre de um piano sendo levantado e passado por uma janela. A Figura a é um esboço que mostra o piano pendurado em um guindaste e no meio de uma janela. A Figura b identifica as forças. Ele mostra o mesmo esboço com a adição das forças, representadas como setas vetoriais rotuladas. Vetor T aponta para cima, vetor F sub T aponta para baixo, vetor w aponta para baixo. A Figura c define o sistema de interesse. O esboço é mostrado novamente com o piano circulado e identificado como o sistema de interesse. Somente os vetores T up e w down estão incluídos neste diagrama. A força descendente F sub T não é uma força no sistema de interesse, pois é exercida no mundo exterior. Ele deve ser omitido do diagrama de corpo livre. O diagrama de corpo livre também é mostrado. Consiste em um ponto, representando o sistema de interesse, e os vetores T apontando para cima e w apontando para baixo, com suas caudas no ponto. A Figura d mostra a adição das forças. Os vetores T e w são mostrados. Somos informados de que essas forças devem ser iguais e opostas, pois a força externa líquida é zero. Assim, T é igual a menos w.

    Figura\(\PageIndex{1}\): (a) Um piano de cauda está sendo levado para um apartamento no segundo andar. (b) As setas são usadas para representar todas as forças:\(\vec{T}\) é a tensão na corda acima do piano,\(\vec{F}_{T}\) é a força que o piano exerce sobre a corda e\(\vec{w}\) é o peso do piano. Todas as outras forças, como o toque de uma brisa, são consideradas insignificantes. (c) Suponha que recebamos a massa do piano e nos peçam que encontremos a tensão na corda. Em seguida, definimos o sistema de interesse conforme mostrado e desenhamos um diagrama de corpo livre. Agora não\(\vec{F}_{T}\) é mais mostrado, porque não é uma força atuando no sistema de interesse; ao contrário,\(\vec{F}_{T}\) atua no mundo exterior. (d) Mostrando apenas as setas, o método de adição da cabeça à cauda é usado. É evidente que se o piano estiver parado,\(\vec{T}\) =\(- \vec{w}\).

    Como acontece com a maioria dos problemas, em seguida, precisamos identificar o que precisa ser determinado e o que é conhecido ou pode ser inferido do problema conforme declarado, ou seja, fazer uma lista de conhecidos e incógnitos. É particularmente crucial identificar o sistema de interesse, já que a segunda lei de Newton envolve apenas forças externas. Podemos então determinar quais forças são externas e quais são internas, uma etapa necessária para empregar a segunda lei de Newton. (Veja a Figura\(\PageIndex{1c}\).) A terceira lei de Newton pode ser usada para identificar se forças são exercidas entre componentes de um sistema (interno) ou entre o sistema e algo externo (externo). Conforme ilustrado nas Leis do Movimento de Newton, o sistema de interesse depende da pergunta que precisamos responder. Somente forças são mostradas em diagramas de corpo livre, não aceleração ou velocidade. Desenhamos vários diagramas de corpo livre em exemplos anteriores trabalhados. A figura\(\PageIndex{1c}\) mostra um diagrama de corpo livre para o sistema de interesse. Observe que nenhuma força interna é mostrada em um diagrama de corpo livre.

    Depois que um diagrama de corpo livre é desenhado, aplicamos a segunda lei de Newton. Isso é feito na Figura\(\PageIndex{1d}\) para uma situação específica. Em geral, uma vez que as forças externas são claramente identificadas em diagramas de corpo livre, deve ser uma tarefa simples colocá-las em forma de equação e resolver o desconhecido, como feito em todos os exemplos anteriores. Se o problema for unidimensional, ou seja, se todas as forças forem paralelas, então as forças podem ser tratadas algebricamente. Se o problema for bidimensional, ele deve ser dividido em um par de problemas unidimensionais. Fazemos isso projetando os vetores de força em um conjunto de eixos escolhidos por conveniência. Como visto nos exemplos anteriores, a escolha dos eixos pode simplificar o problema. Por exemplo, quando uma inclinação está envolvida, um conjunto de eixos com um eixo paralelo à inclinação e outro perpendicular a ela é mais conveniente. Quase sempre é conveniente fazer um eixo paralelo à direção do movimento, se isso for conhecido. Geralmente, basta escrever a segunda lei de Newton em componentes ao longo das diferentes direções. Então, você tem as seguintes equações:

    \[\sum F_{x} = m a_{x}, \quad \sum F_{y} = m a_{y}\ldotp\]

    (Se, por exemplo, o sistema estiver acelerando horizontalmente, você poderá definir ay = 0.) Precisamos dessas informações para determinar forças desconhecidas que atuam em um sistema.

    Como sempre, devemos verificar a solução. Em alguns casos, é fácil saber se a solução é razoável. Por exemplo, é razoável descobrir que o atrito faz com que um objeto deslize por uma inclinação mais lentamente do que quando não existe atrito. Na prática, a intuição se desenvolve gradualmente por meio da resolução de problemas; com a experiência, fica cada vez mais fácil julgar se uma resposta é razoável. Outra forma de verificar uma solução é verificar as unidades. Se estamos resolvendo a força e acabando com unidades de milímetros por segundo, cometemos um erro.

    Há muitas aplicações interessantes das leis do movimento de Newton, algumas das quais são apresentadas nesta seção. Eles também servem para ilustrar algumas outras sutilezas da física e para ajudar a desenvolver habilidades de resolução de problemas. Examinamos primeiro os problemas que envolvem o equilíbrio de partículas, que fazem uso da primeira lei de Newton, e depois consideramos a aceleração de partículas, que envolve a segunda lei de Newton.

    Equilíbrio de partículas

    Lembre-se de que uma partícula em equilíbrio é aquela para a qual as forças externas são equilibradas. O equilíbrio estático envolve objetos em repouso e o equilíbrio dinâmico envolve objetos em movimento sem aceleração, mas é importante lembrar que essas condições são relativas. Por exemplo, um objeto pode estar em repouso quando visto do nosso quadro de referência, mas o mesmo objeto parece estar em movimento quando visto por alguém se movendo a uma velocidade constante. Agora usamos o conhecimento adquirido nas Leis do Movimento de Newton, sobre os diferentes tipos de forças e o uso de diagramas de corpo livre, para resolver problemas adicionais no equilíbrio de partículas.

    Exemplo 6.1: Diferentes tensões em ângulos diferentes

    Considere o semáforo (massa de 15,0 kg) suspenso por dois fios, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). Encontre a tensão em cada fio, negligenciando as massas dos fios.

    É mostrado um esboço de um semáforo suspenso por dois fios suportados por dois postes. (b) Algumas forças são mostradas neste sistema. A tensão T sub um puxando a parte superior do poste esquerdo é mostrada pela seta vetorial ao longo do fio esquerdo a partir do topo do poste, e uma tensão T sub um igual, mas oposta, é mostrada pela seta apontando para cima ao longo do fio esquerdo, onde está conectado à luz; o fio esquerdo faz trinta graus ângulo com a horizontal. A tensão T sub dois é mostrada por uma seta vetorial apontando para baixo a partir da parte superior do poste direito ao longo do fio direito, e uma tensão igual, mas oposta, T sub dois, é mostrada pela seta apontando para cima ao longo do fio direito, que forma um ângulo de quarenta e cinco graus com a horizontal. O semáforo está suspenso na extremidade inferior dos fios e seu peso W é mostrado por uma seta vetorial atuando para baixo. (c) O semáforo é o sistema de interesse, indicado ao circular o semáforo. A tensão T subum a partir do semáforo é mostrada por uma seta ao longo do fio fazendo um ângulo de trinta graus com a horizontal. A tensão T sub dois a partir do semáforo é mostrada por uma seta ao longo do fio fazendo um ângulo de quarenta e cinco graus com a horizontal. O peso W é mostrado por uma seta vetorial apontando para baixo a partir do semáforo. Um diagrama de corpo livre é mostrado com três forças atuando em um ponto. O peso W atua para baixo; T sub um e T sub dois agem em um ângulo com a vertical. Um sistema de coordenadas é mostrado, com x positivo à direita e y positivo para cima. (d) As forças são mostradas com seus componentes. T sub um é decomposto em T sub um y apontando verticalmente para cima e T sub um x apontando ao longo da direção x negativa. O ângulo entre T sub um e T sub one x é de trinta graus. T sub dois é decomposto em T sub dois y apontando verticalmente para cima e T sub dois x apontando ao longo da direção x positiva. O ângulo entre T sub dois e T sub dois x é quarenta e cinco graus. O peso W é mostrado por uma seta vetorial atuando para baixo. (e) A força vertical líquida é zero, então a equação vetorial é T sub um y mais T sub dois y é igual a W. T sub um y e T sub dois y são mostrados em um diagrama de corpo livre como setas de igual comprimento apontando para cima. W é mostrado como uma seta apontando para baixo cujo comprimento é duas vezes maior que cada uma das setas T sub um y e T sub dois y. A força horizontal líquida é zero, então o vetor T sub um x é igual a menos o vetor T sub dois x. T sub dois x é mostrado por uma seta apontando para a direita e T sub um x é mostrado por uma seta apontando para a esquerda.

    Figura\(\PageIndex{2}\): Um semáforo está suspenso por dois fios. (b) Algumas das forças envolvidas. (c) Somente as forças que atuam no sistema são mostradas aqui. O diagrama de corpo livre do semáforo também é mostrado. (d) As forças projetadas nos eixos vertical (y) e horizontal (x). Os componentes horizontais das tensões devem ser cancelados e a soma dos componentes verticais das tensões deve ser igual ao peso do semáforo. (e) O diagrama de corpo livre mostra as forças verticais e horizontais atuando no semáforo.

    Estratégia

    O sistema de interesse é o semáforo, e seu diagrama de corpo livre é mostrado na Figura\(\PageIndex{2c}\). As três forças envolvidas não são paralelas e, portanto, devem ser projetadas em um sistema de coordenadas. O sistema de coordenadas mais conveniente tem um eixo vertical e um horizontal, e as projeções vetoriais nele são mostradas na Figura\(\PageIndex{2d}\). Existem duas incógnitas nesse problema (T 1 e T 2), então duas equações são necessárias para encontrá-las. Essas duas equações vêm da aplicação da segunda lei de Newton ao longo dos eixos vertical e horizontal, observando que a força externa líquida é zero ao longo de cada eixo porque a aceleração é zero.

    Solução

    Primeiro, considere o eixo horizontal ou o eixo x:

    \[F_{net x} = T_{2x} - T_{1x} = 0 \ldotp\]

    Assim, como você poderia esperar,

    \[T_{1x} = T_{2x} \ldotp\]

    Isso nos dá a seguinte relação:

    \[T_{1} \cos 30^{o} = T_{2} \cos 45^{o} \ldotp\]

    Assim,

    \[T_{2} = 1.225 T_{1} \ldotp\]

    Observe que T 1 e T 2 não são iguais nesse caso porque os ângulos em ambos os lados não são iguais. É razoável que T 2 acabe sendo maior que T 1 porque é exercido mais verticalmente do que T 1.

    Agora, considere os componentes de força ao longo do eixo vertical ou y:

    \[F_{net y} = T_{1y} + T_{1x} - w = 0 \ldotp\]

    Isso implica

    \[T_{1y} + T_{2y} = w \ldotp\]

    Substituir as expressões pelos componentes verticais dá

    \[T_{1} \sin 30^{o} + T_{2} \sin 45^{o} = w \ldotp\]

    Existem duas incógnitas nessa equação, mas substituir a expressão por T 2 em termos de T 1 reduz isso a uma equação por uma desconhecida:

    \[T_{1} (0.500) + (1.225 T_{1})(0.707) = w = mg,\]

    que rende

    \[1.366 T_{1} = (15.0\; kg)(9.80\; m/s^{2}) \ldotp\]

    Resolver esta última equação dá a magnitude de T 1 a ser

    \[T_{1} = 108\; N \ldotp\]

    Finalmente, encontramos a magnitude de T 2 usando a relação entre eles, T 2 = 1,225 T 1, encontrada acima. Assim, obtemos

    \[T_{2} = 132\; N \ldotp\]

    Significância

    Ambas as tensões seriam maiores se os dois fios fossem mais horizontais e seriam iguais se e somente se os ângulos de cada lado fossem os mesmos (como eram no exemplo anterior de um andador de corda bamba nas Leis do Movimento de Newton).

    Exemplo 6.2: Força de arrasto em uma barcaça

    Dois rebocadores empurram uma barcaça em ângulos diferentes (Figura\(\PageIndex{3}\)). O primeiro rebocador exerce uma força de 2,7 x 10 5 N na direção x, e o segundo rebocador exerce uma força de 3,6 x 10 5 N na direção y. A massa da barcaça é de 5,0 × 106 kg e sua aceleração é observada em 7,5 x 10 −2 m/s 2 na direção mostrada. Qual é a força de arrasto da água na barcaça que resiste ao movimento? (Nota: A força de arrasto é uma força de atrito exercida por fluidos, como ar ou água. A força de arrasto se opõe ao movimento do objeto. Como a barcaça tem fundo plano, podemos supor que a força de arrasto está na direção oposta ao movimento da barcaça.)

    (a) Uma vista de cima de dois rebocadores empurrando uma barcaça. Um rebocador está empurrando com a força F sub 1 igual a dois pontos sete vezes por dez a cinco newtons, mostrada por uma seta vetorial atuando para a direita na direção x. Outro rebocador está empurrando com uma força F sub 2 igual a três pontos seis vezes por dez aos cinco newtons atuando para cima na direção y positiva. A aceleração da barcaça, a, é mostrada por uma seta vetorial direcionada a cinquenta e três pontos de um ângulo de um grau acima do eixo x. No diagrama de corpo livre, a massa é representada por um ponto, F sub 2 está atuando para cima no ponto, F sub 1 está agindo para a direita e F sub D está atuando aproximadamente a sudoeste. (b) Os vetores F sub 1 e F sub 2 são os lados de um triângulo reto. A resultante é a hipotenusa desse triângulo, vetor F sub app, formando um ângulo de cinquenta e três pontos e um grau a partir do vetor base F sub 1. O vetor F sub app mais a força vetorial F sub D, apontando para baixo na inclinação, é igual à sub-rede do vetor de força F, que aponta para cima na inclinação.

    Figura\(\PageIndex{3}\): (a) Vista de cima de dois rebocadores empurrando uma barcaça. (b) O diagrama de corpo livre do navio contém apenas forças atuando no plano da água. Ele omite as duas forças verticais: o peso da barcaça e a força de empuxo da água que a sustenta, cancelam e não são mostrados. Observe que\(\vec{F}_{app}\) é a força total aplicada dos rebocadores.

    Estratégia

    As direções e magnitudes da aceleração e as forças aplicadas são dadas na Figura\(\PageIndex{3a}\). Definimos a força total dos rebocadores na barcaça de\(\vec{F}_{app}\) forma que

    \[\vec{F}_{app} = \vec{F}_{1} + \vec{F}_{2} \ldotp\]

    O arrasto da água\(\vec{F}_{D}\) está na direção oposta à direção do movimento do barco; essa força, portanto, funciona contra\(\vec{F}_{app}\), conforme mostrado no diagrama de corpo livre na Figura\(\PageIndex{3b}\). O sistema de interesse aqui é a barcaça, já que as forças nela são dadas, assim como sua aceleração. Como as forças aplicadas são perpendiculares, os eixos x e y estão na mesma direção de\(\vec{F}_{1}\)\(\vec{F}_{2}\) e. O problema rapidamente se torna um problema unidimensional na direção de\(\vec{F}_{app}\), já que o atrito está na direção oposta\(\vec{F}_{app}\) a. Nossa estratégia é encontrar a magnitude e a direção da força líquida aplicada\(\vec{F}_{app}\) e, em seguida, aplicar a segunda lei de Newton para resolver a força de arrasto\(\vec{F}_{D}\).

    Solução

    Como F x e F y são perpendiculares, podemos encontrar a magnitude e a direção de\(\vec{F}_{app}\) diretamente. Primeiro, a magnitude resultante é dada pelo teorema de Pitágoras:

    \[ \vec{F}_{app} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2}} = \sqrt{(2.7 \times 10^{5}\; N)^{2} + (3.6 \times 10^{5}\; N)^{2}} = 4.5 \times 10^{5} \; N \ldotp\]

    O ângulo é dado por

    \[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{F_{2}}{F_{1}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{3.6 \times 10^{5}\; N}{2.7 \times 10^{5}\; N}\right) = 53.1^{o} \ldotp\]

    Pela primeira lei de Newton, sabemos que essa é a mesma direção da aceleração. Também sabemos que\(\vec{F}_{D}\) está na direção oposta de\(\vec{F}_{app}\), pois age para diminuir a aceleração. Portanto, a força externa líquida está na mesma direção que\(\vec{F}_{app}\), mas sua magnitude é um pouco menor que\(\vec{F}_{app}\). O problema agora é unidimensional. A partir do diagrama de corpo livre, podemos ver que

    \[F_{net} = F_{app} - F_{D} \ldotp\]

    No entanto, a segunda lei de Newton afirma que

    \[F_{net} = ma \ldotp\]

    Assim,

    \[F_{app} - F_{D} = ma \ldotp\]

    Isso pode ser resolvido pela magnitude da força de arrasto da água F D em termos de quantidades conhecidas:

    \[F_{D} = F_{app} - ma \ldotp\]

    A substituição de valores conhecidos fornece

    \[F_{D} = (4.5 \times 10^{5}\; N) - (5.0 \times 10^{6}\; kg)(7.5 \times 10^{-2}\; m/s^{2}) = 7.5 \times 10^{4}\; N \ldotp\]

    A direção de\(\vec{F}_{D}\) já foi determinada como sendo na direção oposta ou em um ângulo de 53° ao sul de oeste.\(\vec{F}_{app}\)

    Significância

    Os números usados neste exemplo são razoáveis para uma barcaça moderadamente grande. Certamente é difícil obter acelerações maiores com rebocadores, e pequenas velocidades são desejáveis para evitar que a barcaça caia entre as docas. O arrasto é relativamente pequeno para um casco bem projetado em baixas velocidades, consistente com a resposta a este exemplo, em que F D é menor que 1/600 do peso do navio.

    Nas Leis do Movimento de Newton, discutimos a força normal, que é uma força de contato que age normalmente à superfície para que um objeto não tenha uma aceleração perpendicular à superfície. A balança de banheiro é um excelente exemplo de uma força normal atuando em um corpo. Ele fornece uma leitura quantitativa de quanto ele deve empurrar para cima para suportar o peso de um objeto. Mas você consegue prever o que veria no mostrador de uma balança de banheiro se estivesse sobre ela durante uma viagem de elevador?

    Você verá um valor maior do que seu peso quando o elevador for ligado? E quando o elevador se move para cima a uma velocidade constante? Adivinhe antes de ler o próximo exemplo.

    Exemplo 6.3: O que a balança de banheiro lê em um elevador?

    \(\PageIndex{4}\)A figura mostra um homem de 75,0 kg (peso de cerca de 165 libras) parado em uma balança de banheiro em um elevador. Calcule a leitura da escala: (a) se o elevador acelerar para cima a uma taxa de 1,20 m/s 2 e (b) se o elevador se mover para cima a uma velocidade constante de 1 m/s.

    Uma pessoa está parada em uma balança de banheiro em um elevador. Seu peso w é mostrado por uma flecha perto do peito, apontando para baixo. F sub s é a força da balança sobre a pessoa, mostrada por um vetor partindo de seus pés apontando verticalmente para cima. W sub s é o peso da balança, mostrado por um vetor que começa na escala apontando verticalmente para baixo. W sub e é o peso do elevador, mostrado por uma seta quebrada começando na parte inferior do elevador apontando verticalmente para baixo. F sub p é a força da pessoa na balança, desenhada começando na escala e apontando verticalmente para baixo. F sub t é a força da balança no piso do elevador, apontando verticalmente para baixo, e N é a força normal do piso na balança, começando no elevador perto da balança apontando para cima. (b) A mesma pessoa é mostrada na balança do elevador, mas apenas algumas forças são mostradas atuando sobre a pessoa, que é o nosso sistema de interesse. W é mostrado por uma seta atuando para baixo, e F sub s é a força da escala na pessoa, mostrada por um vetor que começa com seus pés apontando verticalmente para cima. O diagrama de corpo livre também é mostrado, com duas forças atuando em um ponto. F sub s atua verticalmente para cima e w atua verticalmente para baixo. Um sistema de coordenadas x y é mostrado, com x positivo à direita e y positivo para cima.

    Figura\(\PageIndex{4}\): (a) As várias forças que atuam quando uma pessoa está em uma balança de banheiro em um elevador. As setas estão aproximadamente corretas para quando o elevador está acelerando para cima — flechas quebradas representam forças muito grandes para serem desenhadas em escala. \(\vec{T}\)é a tensão no cabo de suporte,\(\vec{w}\) é o peso da pessoa,\(\vec{w}_{s}\) é o peso da balança,\(\vec{w}_{e}\) é o peso do elevador,\(\vec{F}_{s}\) é a força da balança na pessoa,\(\vec{F}_{p}\) é a força da pessoa na balança,\(\vec{F}_{t}\) é a força de a balança no chão do elevador, e\(\vec{N}\) é a força do piso para cima na balança. (b) O diagrama de corpo livre mostra apenas as forças externas que atuam no sistema de interesse designado - a pessoa - e é o diagrama que usamos para a solução do problema.

    Estratégia

    Se a escala em repouso for precisa, sua leitura é igual\(\vec{F}_{p}\) à magnitude da força que a pessoa exerce para baixo sobre ela. A figura\(\PageIndex{4a}\) mostra as inúmeras forças que atuam no elevador, na balança e na pessoa. Isso faz com que esse problema unidimensional pareça muito mais formidável do que se a pessoa fosse escolhida para ser o sistema de interesse e um diagrama de corpo livre fosse desenhado, como na Figura\(\PageIndex{4b}\). A análise do diagrama de corpo livre usando as leis de Newton pode produzir respostas tanto para a Figura\(\PageIndex{4a}\) quanto para (b) deste exemplo, bem como para algumas outras questões que possam surgir. As únicas forças que atuam sobre a pessoa são seu peso\(\vec{w}\) e a força ascendente da balança\(\vec{F}_{s}\). De acordo com a terceira lei de Newton,\(\vec{F}_{p}\) e\(\vec{F}_{s}\) são iguais em magnitude e opostos em direção, então precisamos encontrar F s para encontrar o que a escala diz. Podemos fazer isso, como sempre, aplicando a segunda lei de Newton,

    \[\vec{F}_{net} = m \vec{a} \ldotp\]

    A partir do diagrama de corpo livre, vemos isso\(\vec{F}_{net} = \vec{F}_{s} - \vec{w}\), então temos

    \[F_{s} - w = ma \ldotp\]

    Resolver F s nos dá uma equação com apenas uma incógnita:

    \[F_{s} = ma + w,\]

    ou, porque w = mg, simplesmente

    \[F_{s} = ma + mg \ldotp\]

    Nenhuma suposição foi feita sobre a aceleração, então essa solução deve ser válida para uma variedade de acelerações, além daquelas nessa situação. (Nota: Estamos considerando o caso quando o elevador está acelerando para cima. Se o elevador estiver acelerando para baixo, a segunda lei de Newton se torna F s − w = −ma.)

    Solução
    1. Temos a = 1,20 m/s 2, então $ $ F_ {s} = (75,0\; kg) (9,80\; m/s^ {2}) + (75,0\; kg) (1,20\; m/s^ {2}) $ rendendo $$F_ {s} = 825\; N\ ldotp$$
    2. Agora, o que acontece quando o elevador atinge uma velocidade ascendente constante? A balança ainda lerá mais do que seu peso? Para qualquer velocidade constante — para cima, para baixo ou estacionária — a aceleração é zero porque\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t}\)\(\Delta v = 0\) e. Assim, $$F_ {s} = ma + mg = 0 + mg$$ou $$F_ {s} = (75,0\; kg) (9,80\; m/s^ {2}), $ $ que dá $$F_ {s} = 735\; N\ ldotp$$

    Significância

    A leitura da escala na Figura\(\PageIndex{4a}\) é de cerca de 185 lb. O que a balança teria lido se ele estivesse parado? Como sua aceleração seria zero, a força da balança seria igual ao seu peso:

    \[F_{net} = ma = 0 = F_{s} − w\]

    \[F_{s} = w = mg\]

    \[F_{s} = (75.0\; kg)(9.80\; m/s^{2}) = 735\; N \ldotp\]

    Assim, a leitura da balança no elevador é maior do que seu peso de 735 N (165 lb.). Isso significa que a balança está empurrando a pessoa com uma força maior que seu peso, como deveria, para acelerá-la para cima.

    Claramente, quanto maior a aceleração do elevador, maior a leitura da escala, consistente com o que você sente em elevadores acelerando rapidamente versus acelerando lentamente. Na Figura\(\PageIndex{4b}\), a leitura da escala é 735 N, o que equivale ao peso da pessoa. Esse é o caso sempre que o elevador tem uma velocidade constante — subindo, descendo ou parado.

    Exercício 6.1

    Agora calcule a leitura da escala quando o elevador acelera para baixo a uma taxa de 1,20 m/s 2.

    A solução para o exemplo anterior também se aplica a um elevador acelerando para baixo, conforme mencionado. Quando um elevador acelera para baixo, a é negativo e a leitura da balança é menor que o peso da pessoa. Se uma velocidade descendente constante for atingida, a leitura da balança novamente se torna igual ao peso da pessoa. Se o elevador estiver em queda livre e acelerando para baixo em g, a leitura da balança é zero e a pessoa parece estar sem peso.

    Exemplo 6.4: Dois blocos anexados

    A figura\(\PageIndex{5}\) mostra um bloco de massa m 1 em uma superfície horizontal sem atrito. É puxado por uma corda leve que passa por uma polia sem atrito e sem massa. A outra extremidade da corda está conectada a um bloco de massa m 2. Encontre a aceleração dos blocos e a tensão na corda em termos de m 1, m 2 e g.

    (a) O bloco m sub 1 está em uma superfície horizontal. Ele é conectado a uma corda que passa por uma polia, depois fica pendurada diretamente e se conecta ao bloco m sub 2. O bloco m sub 1 tem aceleração a sub 1 direcionada para a direita. O bloco m sub 2 tem aceleração a sub 2 direcionada para baixo. (b) Diagramas de corpo livre de cada bloco. O bloco m sub 1 tem força w sub 1 direcionada verticalmente para baixo, N direcionada verticalmente para cima e T direcionada horizontalmente para a direita. O bloco m sub 2 tem força w sub 2 direcionada verticalmente para baixo e T direcionada verticalmente para cima. O sistema de coordenadas x y tem um x positivo para a direita e um y positivo para cima.

    Figura\(\PageIndex{5}\): (a) O bloco 1 é conectado por uma corda de luz ao bloco 2. (b) Os diagramas de corpo livre dos blocos.

    Estratégia

    Desenhamos um diagrama de corpo livre para cada massa separadamente, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{5}\). Em seguida, analisamos cada um para encontrar as incógnitas necessárias. As forças no bloco 1 são a força gravitacional, a força de contato da superfície e a tensão na corda. O bloco 2 está sujeito à força gravitacional e à tensão da corda. A segunda lei de Newton se aplica a cada uma delas, então escrevemos duas equações vetoriais:

    Para o bloco 1:\(\vec{T} + \vec{w}_{1} + \vec{N} = m_{1} \vec{a}_{1}\)

    Para o bloco 2:\(\vec{T} + \vec{w}_{2} = m_{2} \vec{a}_{2}\).

    Observe que\(\vec{T}\) é o mesmo para os dois blocos. Como a corda e a polia têm uma massa insignificante e como não há atrito na polia, a tensão é a mesma em toda a corda. Agora podemos escrever equações de componentes para cada bloco. Todas as forças são horizontais ou verticais, então podemos usar o mesmo sistema de coordenadas horizontal/vertical para os dois objetos.

    Solução

    As equações dos componentes seguem das equações vetoriais acima. Vemos que o bloco 1 tem as forças verticais balanceadas, então as ignoramos e escrevemos uma equação relacionando os componentes x. Não há forças horizontais no bloco 2, então somente a equação y é escrita. Obtemos esses resultados:

    Bloco 1

    \[\sum F_{x} = m a_{x}\]

    \[T_{x} = m_{1} a_{1x}\]

    Bloco 2

    \[\sum F_{y} = m a_{y}\]

    \[T_{y} - m_{2}g = m_{2} a_{2y}\]

    Quando o bloco 1 se move para a direita, o bloco 2 percorre uma distância igual para baixo; portanto, 1x = −a 2y. Escrevendo a aceleração comum dos blocos como a = a 1x = −a 2y, agora temos

    \[T = m_{1}a\]

    e

    \[T − m_{2}g = −m_{2}a \ldotp\]

    A partir dessas duas equações, podemos expressar a e T em termos das massas m 1 e m 2 e g:

    \[a = \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}g\]

    e

    \[T = \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} g \ldotp\]

    Significância

    Observe que a tensão na corda é menor do que o peso do bloco pendurado na extremidade dela. Um erro comum em problemas como esse é definir T = m 2 g. Você pode ver no diagrama de corpo livre do bloco 2 que não pode estar correto se o bloco estiver acelerando.

    Verifique a sua compreensão 6.2

    Calcule a aceleração do sistema e a tensão na corda, quando as massas são m 1 = 5,00 kg e m 2 = 3,00 kg.

    Exemplo 6.5: Máquina Atwood

    Um problema clássico da física, semelhante ao que acabamos de resolver, é o da máquina Atwood, que consiste em uma corda passando por uma polia, com dois objetos de massa diferente presos. É particularmente útil para entender a conexão entre força e movimento. Na Figura\(\PageIndex{6}\), m 1 = 2,00 kg e m 2 = 4,00 kg. Considere que a polia não tem atrito. (a) Se m 2 for liberado, qual será sua aceleração? (b) Qual é a tensão na corda?

    Uma máquina Atwood consiste em massas suspensas em ambos os lados de uma polia por uma corda que passa sobre a polia. Na figura, a massa m sub 1 está à esquerda e a massa m sub 2 está à direita. O diagrama de corpo livre do bloco um mostra a massa um com o vetor de força T apontando verticalmente para cima e o vetor de força w sub um apontando verticalmente para baixo. O diagrama de corpo livre do bloco dois mostra a massa dois com o vetor de força T apontando verticalmente para cima e o vetor de força w sub dois apontando verticalmente para baixo.

    Figura\(\PageIndex{6}\) : Uma máquina Atwood e diagramas de corpo livre para cada um dos dois blocos.

    Estratégia

    Desenhamos um diagrama de corpo livre para cada massa separadamente, conforme mostrado na figura. Em seguida, analisamos cada diagrama para encontrar as incógnitas necessárias. Isso pode envolver a solução de equações simultâneas. Também é importante observar a semelhança com o exemplo anterior. À medida que o bloco 2 acelera com a aceleração a 2 na direção descendente, o bloco 1 acelera para cima com a aceleração a 1. Assim, a = a 1 = −a 2.

    Solução
    1. Temos $$For\; m_ {1},\ sum F_ {y} = T − m_ {1} g = m_ {1} a\ ldotp\ quad Para\; m_ {2},\ sum F_ {y} = T − m_ {2} g = −m_ {2} a\ ldotp$$ (O sinal negativo na frente de m 2 a indica que m 2 acelera para baixo; os dois blocos aceleram na mesma taxa, mas em direções opostas.) Resolva as duas equações simultaneamente (subtraia-as) e o resultado é $$ (m_ {2} - m_ {1}) g = (m_ {1} + m_ {2}) a\ lDotp$$resolvendo a: $$a =\ frac {m_ {2} - m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}} g =\ frac {1} 4\; kg - 2\; kg} {4\; kg + 2\; kg} (9,8\; m/s^ {2}) = 3,27\; m/s^ {2}\ ldotp$$
    2. Observando o primeiro bloco, vemos que $$T − m_ {1} g = m_ {1} a$$ $T = m_ {1} (g + a) = (2\; kg) (9,8\; m/s^ {2} + 3,27\; m/s^ {2}) = 26,1\; N\ ldotp$$

    Significância

    O resultado da aceleração dada na solução pode ser interpretado como a razão entre a força desequilibrada no sistema, (m 2 − m 1) g, e a massa total do sistema, m 1 + m 2. Também podemos usar a máquina Atwood para medir a intensidade do campo gravitacional local.

    Exercício 6.3

    Determine uma fórmula geral em termos de m 1, m 2 e g para calcular a tensão na corda da máquina Atwood mostrada acima.

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