4.S: Movimento em duas e três dimensões (resumo)

Termos-chave

vetor de aceleração	aceleração instantânea encontrada tomando a derivada da função de velocidade em relação ao tempo na notação vetorial unitária
frequência angular	\(\omega\), taxa de mudança de um ângulo com o qual um objeto se move em um caminho circular
aceleração centrípeta	componente de aceleração de um objeto se movendo em um círculo que é direcionado radialmente para dentro em direção ao centro do círculo
vetor de deslocamento	vetor da posição inicial para uma posição final em uma trajetória de uma partícula
vetor de posição	vetor da origem de um sistema de coordenadas escolhido até a posição de uma partícula no espaço bidimensional ou tridimensional
movimento do projétil	movimento de um objeto sujeito apenas à aceleração da gravidade
alcance	distância horizontal máxima que um projétil percorre
quadro de referência	sistema de coordenadas no qual a posição, a velocidade e a aceleração de um objeto em repouso ou em movimento são medidas
velocidade relativa	velocidade de um objeto conforme observada a partir de um quadro de referência específico, ou a velocidade de um quadro de referência em relação a outro quadro de referência
aceleração tangencial	magnitude da qual é a taxa de tempo de mudança de velocidade. Sua direção é tangente ao círculo.
hora do voo	tempo decorrido em que um projétil está no ar
aceleração total	soma vetorial das acelerações centrípeta e tangencial
trajetória	caminho de um projétil pelo ar
vetor de velocidade	vetor que fornece a velocidade e direção instantâneas de uma partícula; tangente à trajetória

Equações-chave

Vetor de posição	$$\ vec {r} (t) = x (t)\ hat {i} + y (t)\ hat {j} + z (t)\ hat {k} $$
Vetor de deslocamento	$$\ Delta\ vec {r} =\ vec {r} (t_ {2}) -\ vec {r} (t_ {1}) $$
Vetor de velocidade	$$\ vec {v} (t) =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ vec {r} (t +\ Delta t) -\ vec {r} (t)} {\ Delta t} =\ frac {d\ vec {r}} {dt} $$
Velocidade em termos de componentes	$$\ vec {v} (t) = v_ {x} (t)\ chapéu {i} + v_ {y} (t)\ hat {j} + v_ {z} (t)\ chapéu {k} $$
Componentes de velocidade	$$v_ {x} (t) =\ frac {dx (t)} {dt} v_ {y} (t) =\ frac {dy (t)} {dt} v_ {z} (t) =\ frac {d z (t)} {dt} $$
Velocidade média	$$\ vec {v} _ {avg} =\ frac {\ vec {r} (t_ {2}) -\ vec {r} (t_ {1})} {t_ {2} - t_ {1}} $$
Aceleração instantânea	$$\ vec {a} (t) =\ lim_ {\ Delta t\ rightarrow 0}\ frac {\ vec {v} (t +\ Delta t) -\ vec {v} (t)} {\ Delta t} =\ frac {d\ vec {v}} {dt} $$
Aceleração instantânea, forma de componente	$$\ vec {a} (t) =\ frac {dv_ {x} (t)} {dt}\ hat {i} +\ frac {dv_ {y} (t)} {dt}\ chapéu {j} +\ frac {dv_ {z} (t)} {dt}\ chapéu {k} $$
Aceleração instantânea como segunda derivada da posição	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d^ {2} x (t)} {dt^ {2}}\ hat {i} +\ frac {d^ {2} y (t)} {dt^ {2}} +\ frac {d^ {2} z (t)} {dt^ {2}}\ hat {k} $$
Hora do voo	$$T_ {tof} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g} $$
Trajetória	$$y = (\ tan\ theta_ {0}) x -\ Grande [\ frac {g} {2 (v_ {0}\ cos\ theta_ {0}) ^ {2}}\ Grande] x^ {2} $$
Alcance	$$R =\ frac {v_ {0} ^ {2}\ sin 2\ theta_ {0}} {g} $$
Aceleração centrípeta	$$a_ {C} =\ frac {v^ {2}} {r} $$
Vetor de posição, movimento circular uniforme	$$\ vec {r} (t) = A\ cos\ omega t\ hat {i} + A\ sin\ omega t\ hat {j} $$
Vetor de velocidade, movimento circular uniforme	$$\ vec {v} (t) =\ frac {d\ vec {r} (t)} {dt} = -A\ ômega\ sin\ ômega t\ hat {i} + A\ ômega\ cos\ ômega t\ hat {j} $$
Vetor de aceleração, movimento circular uniforme	$$\ vec {a} (t) =\ frac {d\ vec {v} (t)} {dt} = -A\ ômega^ {2}\ cos\ omega t\ hat {i} - A\ omega^ {2}\ sin\ ômega t\ hat {j} $$
Aceleração tangencial	$$a_ {T} =\ frac {d|\ vec {v} |} {dt} $$
Aceleração total	$$\ vec {a} =\ vec {a} _ {C} +\ vec {a} _ {T} $$
O vetor de posição no quadro S é o vetor de posição no quadro S′s mais o vetor da origem de S até a origem de S′.	$$\ vec {r} _ {PS} =\ vec {r} _ {PS'} +\ vec {r} _ {S} $$
Equação de velocidade relativa conectando dois quadros de referência	$$\ vec {v} _ {PS} =\ vec {v} _ {PS'} +\ vec {v} _ {S} $$
Equação de velocidade relativa conectando mais de dois quadros de referência	$$\ vec {v} _ {PC} =\ vec {v} _ {PA} +\ vec {v} _ {AB} +\ vec {v} _ {BC} $$
Equação de aceleração relativa	$$\ vec {a} _ {PS} =\ vec {a} _ {PS'} +\ vec {a} _ {S} $$

Resumo

4.1 Vetores de deslocamento e velocidade

• A função de posição\(\vec{r}\) (t) fornece a posição em função do tempo de uma partícula se movendo em duas ou três dimensões. Graficamente, é um vetor da origem de um sistema de coordenadas escolhido até o ponto em que a partícula está localizada em um momento específico.
• O vetor de deslocamento\(\Delta \vec{r}\) fornece a menor distância entre quaisquer dois pontos na trajetória de uma partícula em duas ou três dimensões.
• A velocidade instantânea fornece a velocidade e a direção de uma partícula em um momento específico de sua trajetória em duas ou três dimensões e é um vetor em duas e três dimensões.
• O vetor de velocidade é tangente à trajetória da partícula.
• O deslocamento\(\vec{r}\) (t) pode ser escrito como uma soma vetorial dos deslocamentos unidimensionais\(\vec{x}\) (t),\(\vec{y}\) (t),\(\vec{z}\) (t) ao longo das direções x, y e z.
• A velocidade\(\vec{v}\) (t) pode ser escrita como uma soma vetorial das velocidades unidimensionais v _x (t), v _y (t), v _z (t) ao longo das direções x, y e z.
• O movimento em qualquer direção é independente do movimento em uma direção perpendicular.

4.2 Vetor de aceleração

• Em duas e três dimensões, o vetor de aceleração pode ter uma direção arbitrária e não necessariamente apontar ao longo de um determinado componente da velocidade.
• A aceleração instantânea é produzida por uma mudança na velocidade em um período de tempo muito curto (infinitesimal). A aceleração instantânea é um vetor em duas ou três dimensões. É encontrado tomando a derivada da função de velocidade em relação ao tempo.
• Em três dimensões, a aceleração\(\vec{a}\) (t) pode ser escrita como uma soma vetorial das acelerações unidimensionais a _x (t), a _y (t) e a _z (t) ao longo dos eixos x, y e z.
• As equações cinemáticas para aceleração constante podem ser escritas como a soma vetorial das equações de aceleração constante nas direções x, y e z.

4.3 Movimento de projé

• O movimento do projétil é o movimento de um objeto sujeito apenas à aceleração da gravidade, onde a aceleração é constante, como próximo à superfície da Terra.
• Para resolver problemas de movimento do projétil, analisamos o movimento do projétil nas direções horizontal e vertical usando as equações cinemáticas unidimensionais para x e y.
• O tempo de voo de um projétil lançado com velocidade vertical inicial v _0y em uma superfície uniforme é dado por $$T_ {tof} =\ frac {2 (v_ {0}\ sin\ theta)} {g} $$Essa equação é válida somente quando o projétil pousa na mesma elevação da qual foi lançado.
• A distância horizontal máxima percorrida por um projétil é chamada de alcance. Novamente, a equação para alcance é válida somente quando o projétil pousa na mesma elevação da qual foi lançado.

4.4 Movimento circular uniforme

• O movimento circular uniforme é o movimento em um círculo em velocidade constante.
• A aceleração centrípeta\(\vec{a}_{C}\) é a aceleração que uma partícula deve ter para seguir um caminho circular. A aceleração centrípeta sempre aponta para o centro de rotação e tem magnitude a _C =\(\frac{v^{2}}{r}\).
• O movimento circular não uniforme ocorre quando há aceleração tangencial de um objeto executando um movimento circular de forma que a velocidade do objeto esteja mudando. Essa aceleração é chamada de aceleração tangencial\(\vec{a}_{T}\). A magnitude da aceleração tangencial é a taxa de variação temporal da magnitude da velocidade. O vetor de aceleração tangencial é tangencial ao círculo, enquanto o vetor de aceleração centrípeta aponta radialmente para dentro em direção ao centro do círculo. A aceleração total é a soma vetorial das acelerações tangenciais e centrípetas.
• Um objeto executando movimento circular uniforme pode ser descrito com equações de movimento. O vetor de posição do objeto é\(\vec{r}\) (t) = A cos\(\omega\) t\(\hat{i}\) + A sin\(\omega\) t\(\hat{j}\), onde A é a magnitude |\(\vec{r}\) (t) |, que também é o raio do círculo e\(\omega\) é a frequência angular.

4.5 Movimento relativo em uma e duas dimensões

• Ao analisar o movimento de um objeto, o quadro de referência em termos de posição, velocidade e aceleração precisa ser especificado.
• A velocidade relativa é a velocidade de um objeto observada a partir de um determinado quadro de referência e varia com a escolha do quadro de referência.
• Se S e S′s são dois quadros de referência que se movem em relação um ao outro em uma velocidade constante, então a velocidade de um objeto em relação a S é igual à sua velocidade em relação a S′mais a velocidade de S′em relação a S.
• Se dois quadros de referência estiverem se movendo um em relação ao outro em uma velocidade constante, as acelerações de um objeto, conforme observado em ambos os quadros de referência, serão iguais.

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