3.5: Movimento com aceleração constante (Parte 1)
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- Identifique quais equações de movimento devem ser usadas para resolver incógnitas.
- Use equações de movimento apropriadas para resolver um problema de perseguição de dois corpos.
Você pode imaginar que quanto maior a aceleração, digamos, de um carro se afastando de um sinal de parada, maior o deslocamento do carro em um determinado momento. Mas não desenvolvemos uma equação específica que relacione aceleração e deslocamento. Nesta seção, examinamos algumas equações convenientes para relações cinemáticas, começando pelas definições de deslocamento, velocidade e aceleração. Primeiro investigamos um único objeto em movimento, chamado movimento de corpo único. Em seguida, investigamos o movimento de dois objetos, chamados problemas de perseguição de dois corpos.
Notação
Primeiro, vamos fazer algumas simplificações na notação. Considerar o tempo inicial zero, como se o tempo fosse medido com um cronômetro, é uma ótima simplificação. Como o tempo decorrido é\(\Delta\) t = t f − t 0, tomar t 0 = 0 significa que\(\Delta\) t = t f, o tempo final no cronômetro. Quando o tempo inicial é considerado zero, usamos o subscrito 0 para indicar os valores iniciais de posição e velocidade. Ou seja, x 0 é a posição inicial e v 0 é a velocidade inicial. Não colocamos assinaturas nos valores finais. Ou seja, t é o tempo final, x é a posição final e v é a velocidade final. Isso fornece uma expressão mais simples para o tempo decorrido,\(\Delta\) t = t. Também simplifica a expressão para o deslocamento x, que agora é\(\Delta\) x = x − x 0. Além disso, simplifica a expressão de mudança na velocidade, que agora é\(\Delta\) v = v − v 0. Para resumir, usando a notação simplificada, com o tempo inicial considerado zero,
\[\Delta t = t\]
\[\Delta x = x - x_{0}\]
\[\Delta v = v - v_{0},\]
onde o subscrito 0 indica um valor inicial e a ausência de um subscrito indica um valor final em qualquer movimento que esteja sendo considerado.
Agora fazemos a importante suposição de que a aceleração é constante. Essa suposição nos permite evitar o uso do cálculo para encontrar a aceleração instantânea. Como a aceleração é constante, as acelerações média e instantânea são iguais, ou seja,
\[\bar{a} = a = constant \ldotp\]
Assim, podemos usar o símbolo a para aceleração em todos os momentos. Assumir que a aceleração seja constante não limita seriamente as situações que podemos estudar nem degrada a precisão do nosso tratamento. Por um lado, a aceleração é constante em um grande número de situações. Além disso, em muitas outras situações, podemos descrever o movimento com precisão assumindo uma aceleração constante igual à aceleração média desse movimento. Por fim, para movimentos durante os quais a aceleração muda drasticamente, como um carro acelerando até a velocidade máxima e depois freando até parar, o movimento pode ser considerado em partes separadas, cada uma com sua própria aceleração constante.
Deslocamento e posição em relação à velocidade
Para obter nossas duas primeiras equações, começamos com a definição de velocidade média:
\[\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \ldotp\]
Substituindo a notação simplificada por\(\Delta\) x e\(\Delta\) t rende
\[\bar{v} = \frac{x - x_{0}}{t} \ldotp\]
\[x = x_{0} + \bar{v} t,\label{3.10}\]
onde a velocidade média é
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} \ldotp \label{3.11}\]
A equação\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\) reflete o fato de que quando a aceleração é constante, v é apenas a média simples das velocidades inicial e final. A figura\(\PageIndex{1}\) ilustra esse conceito graficamente. Na parte (a) da figura, a aceleração é constante, com a velocidade aumentando a uma taxa constante. A velocidade média durante o intervalo de 1 hora de 40 km/h a 80 km/h é de 60 km/h:
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2} = \frac{40\; km/h + 80\; km/h}{2} = 60\; km/h \ldotp\]
Na parte (b), a aceleração não é constante. Durante o intervalo de 1 hora, a velocidade está mais próxima de 80 km/h do que 40 km/h. Portanto, a velocidade média é maior do que em parte (a).
Resolvendo a velocidade final a partir da aceleração e do tempo
Podemos derivar outra equação útil manipulando a definição de aceleração:
\[a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \ldotp\]
Substituir a notação simplificada por\(\Delta\) v e\(\Delta\) t nos dá
\[a = \frac{v - v_{0}}{t}\; (constant\; a) \ldotp\]
Resolvendo os rendimentos de v
\[v = v_{0} + at\; (constant\; a) \ldotp \label{3.12}\]
Um avião pousa com uma velocidade inicial de 70,0 m/s e depois desacelera a 1,50 m/s 2 por 40,0 s. Qual é sua velocidade final?
Estratégia
Primeiro, identificamos os conhecidos: v 0 = 70 m/s, a = −1,50 m/s 2, t = 40 s.
Em segundo lugar, identificamos o desconhecido; nesse caso, é a velocidade final v f.
Por último, determinamos qual equação usar. Para fazer isso, descobrimos qual equação cinemática fornece o desconhecido em termos de conhecidos. Calculamos a velocidade final usando a Equação\ ref {3.12}, v = v 0 + at.
Solução
Substitua os valores conhecidos e resolva:
\[v = v_{0} + at = 70.0\; m/s + (-1.50\; m/s^{2})(40.0\; s) = 10.0\; m/s \ldotp\]
A figura\(\PageIndex{2}\) é um esboço que mostra os vetores de aceleração e velocidade.
Significância
A velocidade final é muito menor que a velocidade inicial, conforme desejado ao diminuir a velocidade, mas ainda é positiva (veja a figura). Com motores a jato, o empuxo reverso pode ser mantido por tempo suficiente para parar o avião e começar a movê-lo para trás, o que é indicado por uma velocidade final negativa, mas não é o caso aqui.
Além de ser útil na resolução de problemas, a equação v = v 0 + at nos dá uma visão sobre as relações entre velocidade, aceleração e tempo. Podemos ver, por exemplo, que
- A velocidade final depende de quão grande é a aceleração e de quanto tempo ela dura
- Se a aceleração for zero, a velocidade final será igual à velocidade inicial (v = v 0), conforme esperado (em outras palavras, a velocidade é constante)
- Se a for negativo, a velocidade final será menor que a velocidade inicial
Todas essas observações se encaixam em nossa intuição. Observe que é sempre útil examinar equações básicas à luz de nossa intuição e experiência para verificar se elas realmente descrevem a natureza com precisão.
Resolução da posição final com aceleração constante
Podemos combinar as equações anteriores para encontrar uma terceira equação que nos permite calcular a posição final de um objeto em constante aceleração. Começamos com
\[v = v_{0} + at \ldotp\]
Adicionar v 0 a cada lado dessa equação e dividir por 2 dá
\[\frac{v_{0} + v}{2} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]
Uma vez que,\(\frac{v_{0} + v}{2} = \bar{v}\) para aceleração constante, temos
\[\bar{v} = v_{0} + \frac{1}{2} at \ldotp\]
Agora substituímos essa expressão por\(\bar{v}\) na equação do deslocamento, x = x 0 +\(\bar{v}\) t, produzindo
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\; (constant\; a) \ldotp \label{3.13}\]
Os dragsters podem atingir uma aceleração média de 26,0 m/s 2. Suponha que um dragster acelere do repouso nessa taxa por 5,56 s Figura\(\PageIndex{3}\). Até onde ele viaja neste momento?
Estratégia
Primeiro, vamos desenhar um esboço da Figura\(\PageIndex{4}\). Somos solicitados a encontrar o deslocamento, que é x se considerarmos que x 0 é zero. (Pense em x 0 como a linha de partida de uma corrida. Ele pode estar em qualquer lugar, mas nós o chamamos de zero e medimos todas as outras posições em relação a ele.) Podemos usar a equação\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) quando identificamos v 0, a e t a partir da declaração do problema.
Solução
Primeiro, precisamos identificar os conhecidos. Partir do repouso significa que v 0 = 0, a é dado como 26,0 m/s 2 e t é dado como 5,56 s.
Em segundo lugar, substituímos os valores conhecidos na equação para resolver o desconhecido:
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]
Como a posição inicial e a velocidade são ambas zero, essa equação simplifica para
\[x = \frac{1}{2} at^{2} \ldotp\]
Substituindo os valores identificados de a e t dá
\[x = \frac{1}{2} (26.0\; m/s^{2})(5.56\; s)^{2} = 402\; m \ldotp\]
Significância
Se convertermos 402 m em milhas, descobrimos que a distância percorrida é muito próxima de um quarto de milha, a distância padrão para corridas de arrancada. Então, nossa resposta é razoável. Este é um deslocamento impressionante a ser percorrido em apenas 5,56 s, mas dragsters de alto nível podem fazer um quarto de milha em ainda menos tempo do que isso. Se o dragster recebesse uma velocidade inicial, isso adicionaria outro termo à equação da distância. Se a mesma aceleração e tempo forem usados na equação, a distância percorrida seria muito maior.
O que mais podemos aprender examinando a equação\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\)? Podemos ver os seguintes relacionamentos:
- O deslocamento depende do quadrado do tempo decorrido quando a aceleração não é zero. No Exemplo 3.8, o dragster cobre apenas um quarto da distância total na primeira metade do tempo decorrido.
- Se a aceleração for zero, então a velocidade inicial é igual à velocidade média (v 0 =\(\bar{v}\)) e\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\) se torna x = x 0 + v 0 t.
Resolução da velocidade final a partir da distância e da aceleração
Uma quarta equação útil pode ser obtida a partir de outra manipulação algébrica de equações anteriores. Se resolvermos v = v 0 + em para t, obtemos
\[t = \frac{v - v_{0}}{a} \ldotp\]
Substituindo isso e\(\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\) em\(x = x_{0} + \bar{v} t\), obtemos
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\; (constant\; a) \ldotp \label{3.14}\]
Calcule a velocidade final do dragster no Exemplo 3.8 sem usar informações sobre o tempo.
Estratégia
A equação\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) é ideal para essa tarefa porque relaciona velocidades, aceleração e deslocamento, e nenhuma informação de tempo é necessária.
Solução
Primeiro, identificamos os valores conhecidos. Sabemos que v 0 = 0, já que o dragster começa do resto. Também sabemos que x − x 0 = 402 m (essa foi a resposta no Exemplo 3.8). A aceleração média foi dada por a = 26,0 m/s 2. Em segundo lugar, substituímos os conhecidos na equação\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) e resolvemos por v:
\[v^{2} = 0 + 2(26.0\; m/s^{2})(402\; m) \ldotp\]
Assim,
\[v^{2} = 2.09 \times 10^{4}\; m/s^{2}\]
\[v = \sqrt{2.09 \times 10^{4}\; m^{2}/s^{2}} = 145\; m/s \ldotp\]
Significância
Uma velocidade de 145 m/s é de cerca de 522 km/h, ou cerca de 324 mi/h, mas mesmo essa velocidade vertiginosa está aquém do recorde de um quarto de milha. Além disso, observe que uma raiz quadrada tem dois valores; usamos o valor positivo para indicar uma velocidade na mesma direção da aceleração.
Um exame da equação\(v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\) pode produzir informações adicionais sobre as relações gerais entre quantidades físicas:
- A velocidade final depende do tamanho da aceleração e da distância na qual ela atua.
- Para uma aceleração fixa, um carro que está indo duas vezes mais rápido não para simplesmente no dobro da distância. É preciso muito mais longe para parar. (É por isso que reduzimos as zonas de velocidade perto das escolas.)