3.4: Aceleração média e instantânea

objetivos de aprendizagem

• Calcule a aceleração média entre dois pontos no tempo.
• Calcule a aceleração instantânea dada a forma funcional da velocidade.
• Explique a natureza vetorial da aceleração e velocidade instantâneas.
• Explique a diferença entre aceleração média e aceleração instantânea.
• Encontre a aceleração instantânea em um tempo especificado em um gráfico de velocidade versus tempo.

A importância de entender a aceleração abrange nossa experiência diária, bem como os vastos confins do espaço sideral e o pequeno mundo da física subatômica. Na conversa cotidiana, acelerar significa acelerar; aplicar o pedal do freio faz com que o veículo diminua a velocidade. Estamos familiarizados com a aceleração do nosso carro, por exemplo. Quanto maior a aceleração, maior a mudança na velocidade em um determinado período. A aceleração é amplamente vista na física experimental. Em experimentos de aceleradores de partículas lineares, por exemplo, partículas subatômicas são aceleradas a velocidades muito altas em experimentos de colisão, que nos fornecem informações sobre a estrutura do mundo subatômico e a origem do universo. No espaço, os raios cósmicos são partículas subatômicas que foram aceleradas para energias muito altas em supernovas (estrelas massivas explodindo) e núcleos galácticos ativos. É importante entender os processos que aceleram os raios cósmicos porque esses raios contêm radiação altamente penetrante que pode danificar os eletrônicos voados em naves espaciais, por exemplo.

Aceleração média

A definição formal de aceleração é consistente com essas noções que acabamos de descrever, mas é mais inclusiva.

Aceleração média

A aceleração média é a taxa na qual a velocidade muda:

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}, \label{3.8}\]

onde\(\bar{a}\) é a aceleração média, v é a velocidade e t é o tempo. (A barra acima do a significa aceleração média.)

Como aceleração é a velocidade em metros dividida pelo tempo em segundos, as unidades SI para aceleração geralmente são abreviadas por m/s ², ou seja, metros por segundo quadrado ou metros por segundo por segundo por segundo. Isso significa literalmente por quantos metros por segundo a velocidade muda a cada segundo. Lembre-se de que a velocidade é um vetor — ela tem magnitude e direção — o que significa que uma mudança na velocidade pode ser uma mudança na magnitude (ou velocidade), mas também pode ser uma mudança na direção. Por exemplo, se uma corredora viajando a 10 km/h para o leste desacelera até parar, inverter a direção e continuar sua corrida a 10 km/h para oeste, sua velocidade mudará como resultado da mudança de direção, embora a magnitude da velocidade seja a mesma em ambas as direções. Assim, a aceleração ocorre quando a velocidade muda de magnitude (um aumento ou diminuição na velocidade) ou na direção, ou ambas.

Aceleração como vetor

A aceleração é um vetor na mesma direção da mudança na velocidade,\(\Delta\) v. Como a velocidade é um vetor, ela pode mudar em magnitude ou direção, ou ambas. A aceleração é, portanto, uma mudança de velocidade ou direção, ou ambas.

Lembre-se de que, embora a aceleração esteja na direção da mudança na velocidade, ela nem sempre está na direção do movimento. Quando um objeto fica mais lento, sua aceleração é oposta à direção de seu movimento. Embora isso seja comumente chamado de Figura de desaceleração\(\PageIndex{1}\), dizemos que o trem está acelerando em uma direção oposta à sua direção de movimento.

Figura\(\PageIndex{1}\): Um trem do metrô em São Paulo, Brasil, desacelera ao entrar em uma estação. Ele está acelerando em uma direção oposta à direção de seu movimento. (crédito: Yusuke Kawasaki)

O termo desaceleração pode causar confusão em nossa análise porque não é um vetor e não aponta para uma direção específica em relação a um sistema de coordenadas, então não o usamos. A aceleração é um vetor, então devemos escolher o sinal apropriado para ela em nosso sistema de coordenadas escolhido. No caso do trem na Figura\(\PageIndex{1}\), a aceleração está na direção negativa no sistema de coordenadas escolhido, então dizemos que o trem está passando por uma aceleração negativa.

Se um objeto em movimento tem uma velocidade na direção positiva em relação a uma origem escolhida e adquire uma aceleração negativa constante, o objeto eventualmente repousa e inverte a direção. Se esperarmos o suficiente, o objeto passa pela origem indo na direção oposta. Isso é ilustrado na Figura\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Um objeto em movimento com um vetor de velocidade em direção ao leste sob aceleração negativa entra em repouso e inverte a direção. Ele passa pela origem indo na direção oposta depois de um tempo suficiente.

Exemplo 3.5: Calculando a aceleração média: um cavalo de corrida deixa o portão

Um cavalo de corrida saindo do portão acelera do repouso até uma velocidade de 15,0 m/s para oeste em 1,80 s. Qual é sua aceleração média?

Figura\(\PageIndex{3}\): Cavalos de corrida acelerando para fora do portão. (crédito: Jon Sullivan)

Estratégia

Primeiro, desenhamos um esboço e atribuímos um sistema de coordenadas ao problema Figura\(\PageIndex{4}\). Esse é um problema simples, mas sempre ajuda visualizá-lo. Observe que atribuímos leste como positivo e oeste como negativo. Assim, nesse caso, temos velocidade negativa.

Figura\(\PageIndex{4}\): Identifique o sistema de coordenadas, as informações fornecidas e o que você deseja determinar.

Podemos resolver esse problema identificando\(\Delta\) v e\(\Delta\) t a partir das informações fornecidas e, em seguida, calculando a aceleração média diretamente da equação\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\).

Solução

Primeiro, identifique os conhecidos: v ₀ = 0, v _f = −15,0 m/s (o sinal negativo indica direção para o oeste),\(\Delta\) t = 1,80 s. Segundo, encontre a mudança na velocidade. Como o cavalo está indo de zero a —15,0 m/s, sua mudança na velocidade é igual à velocidade final:

\[\Delta v = v_{f} - v_{0} = v_{f} = -15.0\; m/s \ldotp\]

Por último, substitua os valores conhecidos (\(\Delta\)v e\(\Delta\) t) e resolva o desconhecido\(\bar{a}\):

\[\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{-15.0\; m/s}{1.80\; s} = -8.33\; m/s^{2} \ldotp\]

Significância

O sinal negativo de aceleração indica que a aceleração está voltada para o oeste. Uma aceleração de 8,33 m/s ² para oeste significa que o cavalo aumenta sua velocidade em 8,33 m/s para oeste a cada segundo; ou seja, 8,33 metros por segundo por segundo, que escrevemos como 8,33 m/s ². Esta é realmente uma aceleração média, porque a viagem não é suave. Vemos mais tarde que uma aceleração dessa magnitude exigiria que o piloto aguentasse com uma força quase igual ao seu peso.

Exercício 3.3

Os prótons em um acelerador linear são acelerados do repouso para 2,0 × 10 ⁷ m/s em 10 a ⁴ s. Qual é a aceleração média dos prótons?

Aceleração instantânea

A aceleração instantânea a, ou aceleração em um instante específico no tempo, é obtida usando o mesmo processo discutido para velocidade instantânea. Ou seja, calculamos a velocidade média entre dois pontos no tempo separados por\(\Delta\) t e deixamos\(\Delta\) t se aproximar de zero. O resultado é a derivada da função de velocidade v (t), que é a aceleração instantânea e é expressa matematicamente como

\[a(t) = \frac{d}{dt} v(t) \ldotp \label{3.9}\]

Assim, assim como a velocidade é a derivada da função de posição, a aceleração instantânea é a derivada da função de velocidade. Podemos mostrar isso graficamente da mesma forma que a velocidade instantânea. Na Figura\(\PageIndex{5}\), a aceleração instantânea no tempo t ₀ é a inclinação da reta tangente ao gráfico de velocidade versus tempo no tempo t ₀. Vemos que a aceleração média\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t}\) se aproxima da aceleração instantânea quando Δt se aproxima de zero. Também na parte (a) da figura, vemos que a velocidade tem um máximo quando sua inclinação é zero. Esse tempo corresponde ao zero da função de aceleração. Na parte (b), a aceleração instantânea na velocidade mínima é mostrada, que também é zero, já que a inclinação da curva também é zero. Assim, para uma determinada função de velocidade, os zeros da função de aceleração fornecem a velocidade mínima ou máxima

Figura\(\PageIndex{5}\): Em um gráfico de velocidade versus tempo, a aceleração instantânea é a inclinação da reta tangente. (a) É mostrada a aceleração média\(\bar{a} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{f} - v_{0}}{t_{f} - t_{0}}\) entre os tempos\(\Delta\) t = t ₆ −\(\Delta\) t ₁, t = t ₅ − t ₂ e\(\Delta\) t = t ₄ − t ₃. Quando\(\Delta\) t → 0, a aceleração média se aproxima da aceleração instantânea no tempo t ₀. Na vista (a), a aceleração instantânea é mostrada para o ponto na curva de velocidade na velocidade máxima. Nesse ponto, a aceleração instantânea é a inclinação da reta tangente, que é zero. Em qualquer outro momento, a inclinação da reta tangente — e, portanto, a aceleração instantânea — não seria zero. (b) O mesmo que (a), mas mostrado para aceleração instantânea na velocidade mínima.

Para ilustrar esse conceito, vamos dar uma olhada em dois exemplos. Primeiro, um exemplo simples é mostrado usando a Figura 3.3.4 (b), o gráfico de velocidade versus tempo do Exemplo 3.3, para encontrar a aceleração graficamente. Esse gráfico é representado na Figura\(\PageIndex{6}\) (a), que é uma linha reta. O gráfico correspondente de aceleração versus tempo é encontrado a partir da inclinação da velocidade e é mostrado na Figura\(\PageIndex{6}\) (b). Neste exemplo, a função de velocidade é uma linha reta com uma inclinação constante, portanto, a aceleração é uma constante. No próximo exemplo, a função de velocidade é tem uma dependência funcional mais complicada do tempo.

Figura\(\PageIndex{6}\): (a, b) O gráfico de velocidade versus tempo é linear e tem uma inclinação constante negativa (a) igual à aceleração, mostrada em (b).

Se soubermos a forma funcional da velocidade, v (t), podemos calcular a aceleração instantânea a (t) em qualquer momento do movimento usando a Equação\ ref {3.9}.

Exemplo 3.6: Calculando a aceleração instantânea

Uma partícula está em movimento e está acelerando. A forma funcional da velocidade é v (t) = 20t − 5t ² m/s.

1. Encontre a forma funcional da aceleração.
2. Determine a velocidade instantânea em t = 1, 2, 3 e 5 s.
3. Encontre a aceleração instantânea em t = 1, 2, 3 e 5 s.
4. Interprete os resultados de (c) em termos das direções dos vetores de aceleração e velocidade.

Estratégia

Encontramos a forma funcional da aceleração tomando a derivada da função de velocidade. Em seguida, calculamos os valores de velocidade e aceleração instantâneas a partir das funções fornecidas para cada uma. Para a parte (d), precisamos comparar as direções de velocidade e aceleração em cada momento.

Solução

1. a (t) =\(\frac{dv(t)}{dt}\) dv (t) dt = 20 − 10t m/s ₂
2. v (1 s) = 15 m/s, v (2 s) = 20 m/s, v (3 s) = 15 m/s, v (5 s) = −25 m/s
3. a (1 s) = 10m/s ², a (2 s) = 0m/s ², a (3 s) = −10m/s ², a (5 s) = −30m/s ²
4. Em t = 1 s, a velocidade v (1 s) = 15 m/s é positiva e a aceleração é positiva, então tanto a velocidade quanto a aceleração estão na mesma direção. A partícula está se movendo mais rápido.

Em t = 2 s, a velocidade aumentou para v (2 s) = 20 m/s, onde é máxima, o que corresponde ao momento em que a aceleração é zero. Vemos que a velocidade máxima ocorre quando a inclinação da função de velocidade é zero, que é apenas o zero da função de aceleração.

Em t = 3 s, a velocidade é v (3 s) = 15 m/s e a aceleração é negativa. A partícula reduziu sua velocidade e o vetor de aceleração é negativo. A partícula está diminuindo.

Em t = 5 s, a velocidade é v (5 s) = −25 m/s e a aceleração é cada vez mais negativa. Entre os tempos t = 3 s e t = 5 s, a partícula diminuiu sua velocidade para zero e depois se tornou negativa, invertendo sua direção. A partícula agora está acelerando novamente, mas na direção oposta.

Podemos ver esses resultados graficamente na Figura\(\PageIndex{7}\).

Figura\(\PageIndex{7}\): (a) Velocidade versus tempo. As linhas tangentes são indicadas nos tempos 1, 2 e 3 s. As inclinações das retas tangentes são as acelerações. Em t = 3 s, a velocidade é positiva. Em t = 5 s, a velocidade é negativa, indicando que a partícula tem direção invertida. (b) Aceleração versus tempo. Comparando os valores das acelerações dadas pelos pontos pretos com as inclinações correspondentes das retas tangentes (inclinações das linhas através de pontos pretos) em (a), vemos que elas são idênticas.

Significância

Ao fazer uma análise numérica e gráfica da velocidade e aceleração da partícula, podemos aprender muito sobre seu movimento. A análise numérica complementa a análise gráfica, fornecendo uma visão total do movimento. O zero da função de aceleração corresponde ao máximo da velocidade neste exemplo. Também neste exemplo, quando a aceleração é positiva e na mesma direção da velocidade, a velocidade aumenta. À medida que a aceleração tende para zero, eventualmente se tornando negativa, a velocidade atinge um máximo, após o qual começa a diminuir. Se esperarmos o suficiente, a velocidade também se torna negativa, indicando uma inversão de direção. Um exemplo real desse tipo de movimento é um carro com uma velocidade que está aumentando até o máximo, após o qual ele começa a desacelerar, para e depois inverte a direção.

Exercício 3.4

Um avião pousa em uma pista viajando para o leste. Descreva sua aceleração.

Tendo uma ideia da aceleração

Você provavelmente está acostumado a experimentar aceleração ao entrar em um elevador ou pisar no acelerador do seu carro. No entanto, a aceleração está acontecendo com muitos outros objetos em nosso universo com os quais não temos contato direto. A Tabela 3.2 apresenta a aceleração de vários objetos. Podemos ver que as magnitudes das acelerações se estendem por várias ordens de magnitude.

Tabela 3.2 - Valores típicos de aceleração

(crédito: Wikipedia: Orders of Magnitude (aceleração))

Aceleração	Valor (m/s ^2)
trem de alta velocidade	0,25
Elevador	2
Chita	5
Objeto em queda livre sem resistência do ar perto da superfície da Terra	9.8
Máximo do ônibus espacial durante o lançamento	29
Pico do paraquedista durante a abertura normal do paraquedas	59
Aeronave F16 saindo de um mergulho	79
Ejeção explosiva de assento da aeronave	147
Míssil Sprint	982
Aceleração máxima de trenó com foguete	1540
Pulga saltadora	3200
Beisebol atingido por um bastão	30.000
Mandíbulas fechadas de uma formiga com mandíbula	1.000.000
Próton no grande colisor de hádrons	1,9 x 10 ^9

Nesta tabela, vemos que as acelerações típicas variam muito com objetos diferentes e não têm nada a ver com o tamanho do objeto ou com o tamanho do objeto. A aceleração também pode variar muito com o tempo durante o movimento de um objeto. Um piloto de arrancada tem uma grande aceleração logo após sua partida, mas depois diminui quando o veículo atinge uma velocidade constante. Sua aceleração média pode ser bem diferente da aceleração instantânea em um determinado momento durante seu movimento. A figura\(\PageIndex{8}\) compara graficamente a aceleração média com a aceleração instantânea para dois movimentos muito diferentes.

Figura\(\PageIndex{8}\): Gráficos de aceleração instantânea versus tempo para dois movimentos unidimensionais diferentes. (a) A aceleração varia apenas ligeiramente e está sempre na mesma direção, pois é positiva. A média ao longo do intervalo é quase a mesma da aceleração em um determinado momento. (b) A aceleração varia muito, talvez representando um pacote em uma correia transportadora dos correios que é acelerado para frente e para trás à medida que esbarra. É necessário considerar pequenos intervalos de tempo (como de 0 a 1,0 s) com aceleração constante ou quase constante em tal situação.

Simulação

Saiba mais sobre gráficos de posição, velocidade e aceleração. Mova o homenzinho para frente e para trás com um mouse e desenhe seu movimento. Defina a posição, a velocidade ou a aceleração e deixe a simulação mover o homem para você. Visite este link para usar a simulação do homem em movimento.