3.3: Velocidade e velocidade instantâneas

Objetivos de

• Explique a diferença entre a velocidade média e a velocidade instantânea.
• Descreva a diferença entre velocidade e velocidade.
• Calcule a velocidade instantânea dada a equação matemática da velocidade.
• Calcule a velocidade dada a velocidade instantânea.

Agora vimos como calcular a velocidade média entre duas posições. No entanto, como os objetos no mundo real se movem continuamente no espaço e no tempo, gostaríamos de encontrar a velocidade de um objeto em qualquer ponto. Podemos encontrar a velocidade do objeto em qualquer lugar ao longo de seu caminho usando alguns princípios fundamentais do cálculo. Esta seção nos dá uma visão melhor da física do movimento e será útil em capítulos posteriores.

Velocidade instantânea

A quantidade que nos diz a rapidez com que um objeto está se movendo em qualquer lugar ao longo de seu caminho é a velocidade instantânea, geralmente chamada simplesmente de velocidade. É a velocidade média entre dois pontos no caminho no limite em que o tempo (e, portanto, o deslocamento) entre os dois pontos se aproxima de zero. Para ilustrar essa ideia matematicamente, precisamos expressar a posição x como uma função contínua de t denotada por x (t). A expressão para a velocidade média entre dois pontos usando essa notação é\(\bar{v} = \frac{x(t_{2}) - x(t_{1})}{t_{2} - t_{1}}\). Para encontrar a velocidade instantânea em qualquer posição, deixamos t ₁ = t e t ₂ =\(\Delta\) t + t. Depois de inserir essas expressões na equação da velocidade média e tomar o limite como\(\Delta\) t → 0, encontramos a expressão para a velocidade instantânea:

\[v(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \frac{dx(t)}{dt} \ldotp\]

Velocidade instantânea

A velocidade instantânea de um objeto é o limite da velocidade média quando o tempo decorrido se aproxima de zero, ou a derivada de x em relação a t:

\[v(t) = \frac{d}{dt} x(t) \ldotp \label{3.4}\]

Como a velocidade média, a velocidade instantânea é um vetor com dimensão de comprimento por tempo. A velocidade instantânea em um ponto de tempo específico t ₀ é a taxa de mudança da função de posição, que é a inclinação da função de posição x (t) em t ₀. A figura\(\PageIndex{1}\) mostra como a velocidade média\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}\) entre duas vezes se aproxima da velocidade instantânea em t ₀. A velocidade instantânea é mostrada no tempo t ₀, que por acaso está no máximo da função de posição. A inclinação do gráfico de posição é zero neste ponto e, portanto, a velocidade instantânea é zero. Em outros momentos, t ₁, t ₂ e assim por diante, a velocidade instantânea não é zero porque a inclinação do gráfico de posição seria positiva ou negativa. Se a função de posição tivesse um mínimo, a inclinação do gráfico de posição também seria zero, fornecendo uma velocidade instantânea de zero lá também. Assim, os zeros da função de velocidade fornecem o mínimo e o máximo da função de posição.

Figura\(\PageIndex{1}\): Em um gráfico de posição versus tempo, a velocidade instantânea é a inclinação da reta tangente em um determinado ponto. As velocidades médias\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{f} - x_{i}}{t_{f} - t_{i}}\) entre os tempos\(\Delta\) t = t ₆ − t ₁,\(\Delta\) t = t ₅ − t ₂ e\(\Delta\) t = t ₄ − t ₃ são mostradas. Quando\(\Delta\) t → 0, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea em t = t ₀.

Exemplo 3.2: Encontrando a velocidade a partir de um gráfico de posição versus tempo

Dado o gráfico de posição versus tempo da Figura\(\PageIndex{2}\), encontre o gráfico de velocidade versus tempo.

Figura\(\PageIndex{2}\): O objeto começa na direção positiva, para por um curto período de tempo e depois inverte a direção, voltando para a origem. Observe que o objeto descansa instantaneamente, o que exigiria uma força infinita. Assim, o gráfico é uma aproximação do movimento no mundo real. (O conceito de força é discutido nas Leis do Movimento de Newton.)

Estratégia

O gráfico contém três linhas retas durante três intervalos de tempo. Encontramos a velocidade durante cada intervalo de tempo tomando a inclinação da linha usando a grade.

Solução

Intervalo de tempo de 0 s a 0,5 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.5\; m − 0.0\; m}{0.5\; s − 0.0\; s} = 1.0\; m/s\)

Intervalo de tempo de 0,5 s a 1,0 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.0\; m}{1.0\; s − 0.5\; s} = 0.0\; m/s\)

Intervalo de tempo 1,0 s a 2,0 s:\(\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0.0\; m − 0.5\; m}{2.0\; s − 1.0\; s} = -0.5\; m/s\)

O gráfico desses valores de velocidade versus tempo é mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): A velocidade é positiva para a primeira parte da viagem, zero quando o objeto está parado e negativa quando o objeto inverte a direção.

Significância

Durante o intervalo de tempo entre 0 s e 0,5 s, a posição do objeto está se afastando da origem e a curva posição versus tempo tem uma inclinação positiva. Em qualquer ponto ao longo da curva durante esse intervalo de tempo, podemos encontrar a velocidade instantânea tomando sua inclinação, que é +1 m/s, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). No intervalo de tempo subsequente, entre 0,5 s e 1,0 s, a posição não muda e vemos que a inclinação é zero. De 1,0 s a 2,0 s, o objeto está se movendo de volta em direção à origem e a inclinação é de −0,5 m/s. O objeto tem direção invertida e tem uma velocidade negativa.

Rapidez

Na linguagem cotidiana, a maioria das pessoas usa os termos velocidade e velocidade de forma intercambiável. Em física, no entanto, eles não têm o mesmo significado e são conceitos distintos. Uma grande diferença é que a velocidade não tem direção; ou seja, a velocidade é um escalar.

Podemos calcular a velocidade média encontrando a distância total percorrida dividida pelo tempo decorrido:

\[Average\; speed = \bar{s} = \frac{Total\; distance}{Elapsed\; time} \ldotp \label{3.5}\]

A velocidade média não é necessariamente a mesma que a magnitude da velocidade média, que é encontrada dividindo a magnitude do deslocamento total pelo tempo decorrido. Por exemplo, se uma viagem começa e termina no mesmo local, o deslocamento total é zero e, portanto, a velocidade média é zero. A velocidade média, no entanto, não é zero, porque a distância total percorrida é maior que zero. Se fizermos uma viagem de 300 km e precisarmos estar em nosso destino em um determinado horário, estaríamos interessados em nossa velocidade média.

No entanto, podemos calcular a velocidade instantânea a partir da magnitude da velocidade instantânea:

\[Instantaneous\; speed = |v(t)| \ldotp \label{3.6}\]

Se uma partícula estiver se movendo ao longo do eixo x a +7,0 m/s e outra partícula estiver se movendo ao longo do mesmo eixo a −7,0 m/s, elas têm velocidades diferentes, mas ambas têm a mesma velocidade de 7,0 m/s. Algumas velocidades típicas são mostradas na tabela a seguir.

Tabela 3.1 - Velocidades de vários objetos

Velocidade	m/s	mi/h
Deriva continental	10 ^-7	2 x 10 ^-7
Caminhada rápida	1.7	3.9
Ciclista	4.4	10
Corredor de sprint	12.2	27
Limite de velocidade rural	24,6	56
Recorde oficial de velocidade em terra	341.1	763
Velocidade do som ao nível do mar	343	768
Ônibus espacial na reentrada	7800	17.500
Velocidade de escape da Terra*	1.200	25.000
Velocidade orbital da Terra ao redor do Sol	29.783	66.623
Velocidade da luz no vácuo	299.792.458	670.616.629
*A velocidade de escape é a velocidade na qual um objeto deve ser lançado para que ele supere a gravidade da Terra e não seja puxado de volta para a Terra.

Calculando a velocidade instantânea

Ao calcular a velocidade instantânea, precisamos especificar a forma explícita da função de posição x (t). Se cada termo na equação x (t) tiver a forma de At ⁿ, onde A é uma constante e n é um número inteiro, isso pode ser diferenciado usando a regra de potência de:

\[\frac{d\left(A t^{n}\right)}{d t}=A n t^{n-1} \ldotp \label{3.7}\]

Observe que, se houver termos adicionais somados, essa regra de poder de diferenciação pode ser feita várias vezes e a solução é a soma desses termos. O exemplo a seguir ilustra o uso da Equação\ ref {3.7}.

Exemplo 3.3: Velocidade instantânea versus velocidade média

A posição de uma partícula é dada por x (t) = 3,0t + 0,5t ³ m.

1. Usando a Equação\ ref {3.4} e a Equação\ ref {3.7}, determine a velocidade instantânea em t = 2,0 s.
2. Calcule a velocidade média entre 1,0 s e 3,0 s.

Estratégia

A equação\ ref {3.4} fornece a velocidade instantânea da partícula como a derivada da função de posição. Observando a forma da função de posição dada, vemos que ela é um polinômio em t. Portanto, podemos usar a Equação\ ref {3.7}, a regra de potência do cálculo, para encontrar a solução. Usamos a Equação\ ref {3.6} para calcular a velocidade média da partícula.

Solução

1. v (t)\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3,0 + 1,5t ² m/s. Substituindo t = 2,0 s nesta equação, obtém-se v (2,0 s) = [3,0 + 1,5 (2,0) ²] m/s = 9,0 m/s.
2. Para determinar a velocidade média da partícula entre 1,0 s e 3,0 s, calculamos os valores de x (1,0 s) e x (3,0 s):

\[x(1.0 s) = \big[(3.0)(1.0) + 0.5(1.0)^{3} \big]m = 3.5\; m\]

\[x(3.0 s) =\big[(3.0)(3.0) + 0.5(3.0)^{3}\big] m = 22.5\; m\]

Então, a velocidade média é

\[\bar{v} = \frac{x(3.0\; s) - x(1.0\; s)}{t(3.0\; s) - t(1.0\; s)} = \frac{22.5 - 3.5\; m}{3.0 - 1.0\; s} = 9.5\; m/s \ldotp\]

Significância

No limite em que o intervalo de tempo usado para calcular\(\bar{v}\) vai para zero, o valor obtido para\(\bar{v}\) converge para o valor de v.

Exemplo 3.4: Velocidade instantânea versus velocidade

Considere o movimento de uma partícula na qual a posição é x (t) = 3,0t − 3t ² m.

1. Qual é a velocidade instantânea em t = 0,25 s, t = 0,50 s e t = 1,0 s?
2. Qual é a velocidade da partícula nesses momentos?

Estratégia

A velocidade instantânea é a derivada da função de posição e a velocidade é a magnitude da velocidade instantânea. Usamos a Equação\ ref {3.4} e a Equação\ ref {3.7} para resolver a velocidade instantânea.

Solução

1. v (t)\(\frac{dx(t)}{dt}\) = 3,0 − 6,0 t m/s
2. v (0,25 s) = 1,50 m/s, v (0,5 s) = 0 m/s, v (1,0 s) = −3,0 m/s
3. Velocidade = |v (t) | = 1,50 m/s, 0,0 m/s e 3,0 m/s

Significância

A velocidade da partícula nos dá informações de direção, indicando que a partícula está se movendo para a esquerda (oeste) ou para a direita (leste). A velocidade fornece a magnitude da velocidade. Ao representar graficamente a posição, velocidade e velocidade como funções do tempo, podemos entender esses conceitos visualmente\(\PageIndex{4}\). Figura. Em (a), o gráfico mostra a partícula se movendo na direção positiva até t = 0,5 s, quando ela inverte a direção. A reversão de direção também pode ser vista em (b) a 0,5 s, onde a velocidade é zero e depois fica negativa. Aos 1,0 s, está de volta à origem onde começou. A velocidade da partícula em 1,0 s em (b) é negativa, porque ela está viajando na direção negativa. Mas em (c), no entanto, sua velocidade é positiva e permanece positiva durante todo o tempo de viagem. Também podemos interpretar a velocidade como a inclinação do gráfico de posição versus tempo. A inclinação de x (t) está diminuindo em direção a zero, tornando-se zero a 0,5 s e cada vez mais negativa a partir daí. Essa análise de comparação dos gráficos de posição, velocidade e velocidade ajuda a detectar erros nos cálculos. Os gráficos devem ser consistentes entre si e ajudar a interpretar os cálculos.

Figura\(\PageIndex{4}\): (a) Posição: x (t) versus tempo. (b) Velocidade: v (t) versus tempo. A inclinação do gráfico de posição é a velocidade. Uma comparação aproximada das inclinações das retas tangentes em (a) em 0,25 s, 0,5 s e 1,0 s com os valores de velocidade nos tempos correspondentes indica que eles são os mesmos valores. (c) Velocidade: |v (t) | versus tempo. A velocidade é sempre um número positivo.

Exercício 3.2

A posição de um objeto em função do tempo é x (t) = −3t ² m. (a) Qual é a velocidade do objeto em função do tempo? (b) A velocidade é sempre positiva? (c) Quais são a velocidade e a velocidade em t = 1,0 s?