3.2: Posição, deslocamento e velocidade média

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Objetivos de

Defina a posição, o deslocamento e a distância percorrida.
Calcule o deslocamento total dada a posição em função do tempo.
Determine a distância total percorrida.
Calcule a velocidade média considerando o deslocamento e o tempo decorrido.

Quando você está em movimento, as perguntas básicas a serem feitas são: Onde você está? Onde você está indo? Quão rápido você está chegando lá? As respostas a essas perguntas exigem que você especifique sua posição, seu deslocamento e sua velocidade média — os termos que definimos nesta seção.

Posição

Para descrever o movimento de um objeto, primeiro você deve ser capaz de descrever sua posição (x): onde ele está em um determinado momento. Mais precisamente, precisamos especificar sua posição em relação a um quadro de referência conveniente. Um quadro de referência é um conjunto arbitrário de eixos a partir do qual a posição e o movimento de um objeto são descritos. A Terra é frequentemente usada como um quadro de referência, e frequentemente descrevemos a posição de um objeto no que se refere a objetos estacionários na Terra. Por exemplo, o lançamento de um foguete pode ser descrito em termos da posição do foguete em relação à Terra como um todo, enquanto a posição de um ciclista pode ser descrita em termos de onde ela está em relação aos edifícios pelos quais passa$\PageIndex{1}$. Figura. Em outros casos, usamos quadros de referência que não são estacionários, mas estão em movimento em relação à Terra. Para descrever a posição de uma pessoa em um avião, por exemplo, usamos o avião, não a Terra, como quadro de referência. Para descrever a posição de um objeto em movimento unidimensional, geralmente usamos a variável x. Mais adiante no capítulo, durante a discussão sobre queda livre, usamos a variável y.

A imagem mostra três pessoas andando de bicicleta ao lado de um canal. — Figura$\PageIndex{1}$: Esses ciclistas no Vietnã podem ser descritos por sua posição em relação a edifícios ou a um canal. Seu movimento pode ser descrito por sua mudança de posição, ou deslocamento, em um quadro de referência. (crédito: Suzan Black)

Deslocamento

Se um objeto se move em relação a um quadro de referência — por exemplo, se um professor se move para a direita em relação a um quadro branco Figura$\PageIndex{2}$ — a posição do objeto muda. Essa mudança de posição é chamada de deslocamento. A palavra deslocamento implica que um objeto se moveu ou foi deslocado. Embora a posição seja o valor numérico de x ao longo de uma linha reta onde um objeto possa estar localizado, o deslocamento fornece a mudança na posição ao longo dessa linha. Como o deslocamento indica direção, ele é um vetor e pode ser positivo ou negativo, dependendo da escolha da direção positiva. Além disso, uma análise do movimento pode ter muitos deslocamentos embutidos nela. Se a direita for positiva e um objeto se mover 2 m para a direita, então 4 m para a esquerda, os deslocamentos individuais são 2 m e −4 m, respectivamente.

A ilustração mostra o professor em dois locais diferentes. A primeira localização é marcada como 1,5 metros no eixo x; a segunda localização é marcada como 3,5 metros no eixo x. O deslocamento entre os dois locais é de 2 metros. — Figura$\PageIndex{2}$: Um professor caminha para a esquerda e para a direita enquanto leciona. Sua posição em relação à Terra é dada por x. O deslocamento de +2,0 m do professor em relação à Terra é representado por uma seta apontando para a direita.

Deslocamento

O deslocamento$\Delta$ x é a mudança na posição de um objeto:

\[\Delta x = x_{f} - x_{0}, \label{3.1}\]

onde$\Delta$ x é deslocamento, x _f é a posição final e x ₀ é a posição inicial.

Usamos a letra grega maiúscula delta ($\Delta$) para significar “mudança” em qualquer quantidade seguinte; assim,$\Delta$ x significa mudança na posição (posição final menos posição inicial). Sempre resolvemos o deslocamento subtraindo a posição inicial x ₀ da posição final x _f. Observe que a unidade SI para deslocamento é o medidor, mas às vezes usamos quilômetros ou outras unidades de comprimento. Lembre-se de que quando unidades diferentes de metros são usadas em um problema, talvez seja necessário convertê-las em metros para concluir o cálculo (consulte o Apêndice B).

Objetos em movimento também podem ter uma série de deslocamentos. No exemplo anterior do professor de estimulação, os deslocamentos individuais são 2 m e −4 m, dando um deslocamento total de −2 m. Definimos deslocamento total$\Delta$ x _Total, como a soma dos deslocamentos individuais, e expressamos isso matematicamente com o equação

\[\Delta x_{Total} = \sum \Delta x_{i}, \label{3.2}\]

onde$\delta$ x _i são os deslocamentos individuais. No exemplo anterior,

\[\Delta x_{1} = x_{1} - x_{0} = 2 - 0 = 2\; m \ldotp\]

Da mesma forma,

\[\Delta x_{2} = x_{2} - x_{1} = -2 - (2) = -4 \; m \ldotp\]

Assim,

\[\Delta x_{total} = x_{1} + x_{2} = 2 - 4 = -2\; m \ldotp\]

O deslocamento total é de 2 − 4 = −2 m para a esquerda ou na direção negativa. Também é útil calcular a magnitude do deslocamento ou seu tamanho. A magnitude do deslocamento é sempre positiva. Esse é o valor absoluto do deslocamento, porque o deslocamento é um vetor e não pode ter um valor negativo de magnitude. Em nosso exemplo, a magnitude do deslocamento total é de 2 m, enquanto as magnitudes dos deslocamentos individuais são de 2 m e 4 m.

A magnitude do deslocamento total não deve ser confundida com a distância percorrida. Distância percorrida x _Total, é o comprimento total do caminho percorrido entre duas posições. No problema anterior, a distância percorrida é a soma das magnitudes dos deslocamentos individuais:

\[x_{total} = |x_{1}| + |x_{2}| = 2 + 4 = 6\; m \ldotp\]

Velocidade média

Para calcular as outras grandezas físicas em cinemática, devemos introduzir a variável de tempo. A variável de tempo nos permite não apenas indicar onde o objeto está (sua posição) durante seu movimento, mas também a rapidez com que ele está se movendo. A rapidez com que um objeto está se movendo é dada pela taxa na qual a posição muda com o tempo.

Para cada posição x _i, atribuímos um tempo específico t _i. Se os detalhes do movimento em cada instante não forem importantes, a taxa geralmente é expressa como a velocidade média$\bar{v}$. Essa quantidade vetorial é simplesmente o deslocamento total entre dois pontos dividido pelo tempo necessário para viajar entre eles. O tempo necessário para viajar entre dois pontos é chamado de tempo decorrido$\Delta$ t.

Velocidade média

Se x ₁ e x ₂ são as posições de um objeto às vezes t ₁ e t ₂, respectivamente, então

\[\begin{split} Average\; velocity =\; & \bar{v} = \frac{Displacement\; between\; two\; points}{Elapsed\; time\; between\; two\; points} \\ & \bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}} \ldotp \end{split} \label{3.3}\]

É importante observar que a velocidade média é um vetor e pode ser negativa, dependendo das posições x ₁ e x ₂.

Exemplo 3.1: Entrega de folhetos

Jill sai de sua casa para entregar panfletos para a venda de garagem, viajando para o leste ao longo de sua rua repleta de casas. A 0,5 km e 9 minutos depois, ela fica sem panfletos e precisa voltar para casa para conseguir mais. Isso leva mais 9 minutos. Depois de pegar mais panfletos, ela parte novamente no mesmo caminho, continuando de onde parou, e acaba a 1,0 km de sua casa. Essa terceira etapa de sua viagem leva 15 minutos. Nesse ponto, ela volta para sua casa, indo para o oeste. Depois de 1,75 km e 25 minutos, ela para para descansar.

Qual é o deslocamento total de Jill até o ponto em que ela para para descansar?
Qual é a magnitude do deslocamento final?
Qual é a velocidade média durante toda a viagem?
Qual é a distância total percorrida?
Faça um gráfico da posição versus tempo. Um esboço dos movimentos de Jill é mostrado na Figura$\PageIndex{3}$.

A figura mostra uma linha do tempo do movimento de uma pessoa. O primeiro deslocamento é da casa para a direita em 0,5 quilômetros. O segundo deslocamento está de volta ao ponto de partida. O terceiro deslocamento é para a direita em 1,0 quilômetro. O quarto deslocamento é do ponto final para a esquerda em 1,75 quilômetros. — Figura$\PageIndex{3}$: Cronologia dos movimentos de Jill.

Estratégia

O problema contém dados sobre as várias etapas da viagem de Jill, então seria útil fazer uma tabela das quantidades físicas. Recebemos posição e tempo na formulação do problema para que possamos calcular os deslocamentos e o tempo decorrido. Seguimos para o leste para ser a direção positiva. A partir dessas informações, podemos encontrar o deslocamento total e a velocidade média. A casa de Jill é o ponto de partida x ₀. A tabela a seguir mostra o tempo e a posição de Jill nas duas primeiras colunas, e os deslocamentos são calculados na terceira coluna.

Tempo para _isso (min)	Posição x _i (km)	Deslocamento$\Delta$ x _i (km)
t ₀ = 0	x ₀ = 0	$\Delta$x ₀ = 0
t ₁ = 9	x ₁ = 0,5	$\Delta$x ₁ = x ₁ − x ₀ = 0,5
t ₂ = 18	x ₂ = 0	$\Delta$x2= x ₂ − x ₁ = -0,5
t ₃ = 33	x ₃ = 1,0	$\Delta$x ₃ = x ₃ − x ₂ = 1,0
t ₄ = 58	x ₄ = -0,75	$\Delta$x ₄ = x ₄ − x ₃ = -1,75

Solução

Na tabela acima, o deslocamento total é $$\ sum\ Delta x_ {i} = 0,5 - 0,5 + 1,0 - 1,75\; km = -0,75\; km\ ldotp$$
A magnitude do deslocamento total é |−0,75| km = 0,75 km.
$$Média\; velocidade =\ frac {Total\; deslocamento} {Decorrido\; tempo} =\ bar {v} =\ frac {-0,75\; km} {58\; min} = -0,013\; km/min$$
A distância total percorrida (soma das magnitudes dos deslocamentos individuais) é $$x_ {Total} =\ sum |\ Delta x_ {i} | = 0,5 + 0,5 + 1,75\; km = 3,75\; km\ ldotp$$
Podemos representar graficamente a posição de Jill em relação ao tempo como uma ajuda útil para ver o movimento; o gráfico é mostrado na Figura$\PageIndex{4}$.

O gráfico mostra a posição em quilômetros traçada em função do tempo em minutos. — Figura$\PageIndex{4}$: Este gráfico mostra a posição de Jill em relação ao tempo. A velocidade média é a inclinação de uma linha conectando os pontos inicial e final.

Significância

O deslocamento total de Jill é de −0,75 km, o que significa que no final de sua viagem ela acaba 0,75 km a oeste de sua casa. A velocidade média significa que se alguém caminhasse para oeste a 0,013 km/min começando no mesmo momento em que Jill saiu de casa, os dois chegariam ao ponto final de parada ao mesmo tempo. Observe que, se Jill terminasse sua viagem em sua casa, seu deslocamento total seria zero, assim como sua velocidade média. A distância total percorrida durante os 58 minutos de tempo decorrido em sua viagem é de 3,75 km.

Exercício 3.1

Um ciclista anda 3 km a oeste e depois dá meia volta e pedala 2 km para o leste. (a) Qual é o deslocamento dele? (b) Qual é a distância percorrida? (c) Qual é a magnitude de seu deslocamento?

A figura mostra a linha do tempo do movimento do ciclista. O primeiro deslocamento é para a esquerda em 3,0 quilômetros. O segundo deslocamento é do ponto final para a direita em 2,0 quilômetros.

Tempo para _isso (min)	Posição x _i (km)	Deslocamento\(\Delta\) x _i (km)
t ₀ = 0	x ₀ = 0	\(\Delta\)x ₀ = 0
t ₁ = 9	x ₁ = 0,5	\(\Delta\)x ₁ = x ₁ − x ₀ = 0,5
t ₂ = 18	x ₂ = 0	\(\Delta\)x2= x ₂ − x ₁ = -0,5
t ₃ = 33	x ₃ = 1,0	\(\Delta\)x ₃ = x ₃ − x ₂ = 1,0
t ₄ = 58	x ₄ = -0,75	\(\Delta\)x ₄ = x ₄ − x ₃ = -1,75