3.6: Movimento com aceleração constante (Parte 2)
- Page ID
- 184651
Juntando equações
Nos exemplos a seguir, continuamos explorando o movimento unidimensional, mas em situações que exigem um pouco mais de manipulação algébrica. Os exemplos também fornecem informações sobre técnicas de resolução de problemas. A nota a seguir é fornecida para facilitar a referência às equações necessárias. Esteja ciente de que essas equações não são independentes. Em muitas situações, temos duas incógnitas e precisamos de duas equações do conjunto para resolver as incógnitas. Precisamos de tantas equações quanto incógnitas para resolver uma determinada situação.
\[x = x_{0} + \bar{v}t\]
\[\bar{v} = \frac{v_{0} + v}{2}\]
\[v = v_{0} + at\]
\[x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2}\]
\[v^{2} = v_{0}^{2} + 2a(x - x_{0})\]
Antes de entrarmos nos exemplos, vamos examinar algumas das equações mais de perto para ver o comportamento da aceleração em valores extremos. Reorganizando\(v = v_0 + at\), temos
\[a = \frac{v - v_{0}}{t} \ldotp\]
A partir disso, vemos que, por um tempo finito, se a diferença entre as velocidades inicial e final for pequena, a aceleração é pequena, aproximando-se de zero no limite em que as velocidades inicial e final são iguais. Pelo contrário, no limite t → 0 para uma diferença finita entre as velocidades inicial e final, a aceleração se torna infinita.
Da mesma forma, reorganizando\(v^2 = v^2_0 + 2a(x-x_0) \), podemos expressar aceleração em termos de velocidades e deslocamento:
\[a = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2(x - x_{0})} \ldotp\]
Assim, para uma diferença finita entre as velocidades inicial e final, a aceleração se torna infinita no limite, o deslocamento se aproxima de zero. A aceleração se aproxima de zero no limite, a diferença nas velocidades inicial e final se aproxima de zero para um deslocamento finito.
Em concreto seco, um carro pode desacelerar a uma taxa de 7,00 m/s 2, enquanto no concreto úmido ele pode desacelerar a apenas 5,00 m/s 2. Encontre as distâncias necessárias para impedir que um carro se mova a 30,0 m/s (cerca de 110 km/h) em (a) concreto seco e (b) concreto úmido. (c) Repita os dois cálculos e encontre o deslocamento a partir do ponto em que o motorista vê um semáforo ficar vermelho, levando em consideração seu tempo de reação de 0,500 s para colocar o pé no freio.
Estratégia
Primeiro, precisamos desenhar uma figura de esboço\(\PageIndex{1}\). Para determinar quais equações são melhores para usar, precisamos listar todos os valores conhecidos e identificar exatamente o que precisamos resolver.
Solução
- Primeiro, precisamos identificar os conhecidos e o que queremos resolver. Sabemos que v 0 = 30,0 m/s, v = 0 e a = −7,00 m/s 2 (a é negativo porque está em uma direção oposta à velocidade). Consideramos que x0 é zero. Estamos procurando o deslocamento\(\Delta\) x ou x − x 0. Em segundo lugar, identificamos a equação que nos ajudará a resolver o problema. A melhor equação a ser usada é $$v^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (x - x_ {0})\ lDotp$$Essa equação é melhor porque inclui apenas uma incógnita, x. Sabemos os valores de todas as outras variáveis nessa equação. (Outras equações nos permitiriam resolver x, mas exigem que saibamos o tempo de parada, t, que não sabemos. Poderíamos usá-los, mas isso implicaria cálculos adicionais.) Terceiro, reorganizamos a equação para resolver x: $$x - x_ {0} =\ frac {v^ {2} - v_ {0} ^ {2}} {2a} $ e substituímos os valores conhecidos: $$x - 0 =\ frac {0^ {2} - (30,0\; m/s) ^ {2}} {2 (-7,00\; m/s^ {2})}\ lDotp$$Assim, $$x = 64,3\; m\; em\; seco\; concreto\ ldotp$$
- Essa parte pode ser resolvida exatamente da mesma maneira que (a). A única diferença é que a aceleração é −5,00 m/s 2. O resultado é $$x_ {wet} = 90,0\; m\; em\; molhado\; concreto\ ldotp$$
- Quando o motorista reage, a distância de parada é a mesma de (a) e (b) para concreto seco e úmido. Então, para responder a essa pergunta, precisamos calcular a distância que o carro percorre durante o tempo de reação e, em seguida, adicionar isso ao tempo de parada. É razoável supor que a velocidade permaneça constante durante o tempo de reação do motorista. Para fazer isso, nós, novamente, identificamos os conhecidos e o que queremos resolver. Sabemos que\(\bar{v}\) = 30,0 m/s, reação t = 0,500 s e uma reação = 0. Consideramos que a reação x 0 é zero. Estamos procurando a reação x. Em segundo lugar, como antes, identificamos a melhor equação a ser usada. Nesse caso, x = x 0 +\(\bar{v}\) t funciona bem porque o único valor desconhecido é x, que é o que queremos resolver. Terceiro, substituímos os conhecidos para resolver a equação: $$x = 0 + (30,0\; m/s) (0,500\; s) = 15,0\; m\ lDotp$$Isso significa que o carro viaja 15,0 m enquanto o motorista reage, fazendo com que o total de deslocamentos nos dois casos de concreto seco e úmido seja 15,0 m maior do que se ele reagisse instantaneamente. Por último, adicionamos o deslocamento durante o tempo de reação ao deslocamento durante a frenagem (Figura\(\PageIndex{2}\)), $ $ x _ {frenagem} + x_ {reação} = x_ {total}, $ e descobrimos que (a) é 64,3 m + 15,0 m = 79,3 m quando seco e (b) 90,0 m + 15,0 m = 105 m quando molhado.
Significância
Os deslocamentos encontrados neste exemplo parecem razoáveis para parar um carro em movimento rápido. Deve levar mais tempo para parar um carro na calçada molhada do que para secar. É interessante que o tempo de reação aumente significativamente os deslocamentos, mas o mais importante é a abordagem geral para resolver problemas. Identificamos os conhecidos e as quantidades a serem determinadas e, em seguida, encontramos uma equação apropriada. Se houver mais de uma incógnita, precisamos de tantas equações independentes quanto incógnitas para resolver. Muitas vezes, há mais de uma maneira de resolver um problema. As várias partes desse exemplo podem, de fato, ser resolvidas por outros métodos, mas as soluções apresentadas aqui são as mais curtas.
Suponha que um carro entre no tráfego da rodovia em uma rampa de 200 m de comprimento. Se sua velocidade inicial é de 10,0 m/s e acelera a 2,00 m/s 2, quanto tempo o carro leva para percorrer os 200 m até a rampa? (Essas informações podem ser úteis para um engenheiro de tráfego.)
Estratégia
Primeiro, desenhamos um esboço da Figura\(\PageIndex{3}\). Somos solicitados a resolver o tempo t. Como antes, identificamos as quantidades conhecidas para escolher uma relação física conveniente (ou seja, uma equação com uma incógnita, t.)
Solução
Novamente, identificamos os conhecidos e o que queremos resolver. Sabemos que x 0 = 0, v 0 = 10 m/s, a = 2,00 m/s 2 e x = 200 m.
Precisamos resolver para t. A equação x = x 0 + v 0 t +\(\frac{1}{2}\) em 2 funciona melhor porque a única incógnita na equação é a variável t, para a qual precisamos resolver. A partir dessa visão, vemos que quando inserimos os conhecidos na equação, acabamos com uma equação quadrática.
Precisamos reorganizar a equação para resolver t e, em seguida, substituir os conhecidos na equação:
\[200\; m = 0\; m + (10.0\; m/s)t + \frac{1}{2}(2.00\; m/s^{2})t^{2} \ldotp\]
Em seguida, simplificamos a equação. As unidades de metros são canceladas porque estão em cada período. Podemos fazer com que as unidades de segundos sejam canceladas tomando t = t s, onde t é a magnitude do tempo e s é a unidade. Fazer isso deixa
\[200 = 10t + t^{2} \ldotp\]
Em seguida, usamos a fórmula quadrática para resolver t,
\[t^{2} + 10t - 200 = 0\]
\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a},\]
que produz duas soluções: t = 10,0 e t = −20,0. Um valor negativo para o tempo não é razoável, pois isso significaria que o evento aconteceu 20 s antes do início da moção. Podemos descartar essa solução. Assim,
\[ t = 10.0\; s \ldotp\]
Significância
Sempre que uma equação contém um quadrado desconhecido, há duas soluções. Em alguns problemas, ambas as soluções são significativas; em outros, apenas uma solução é razoável. A resposta 10.0-s parece razoável para uma rampa de acesso típica de uma rodovia.
Um foguete tripulado acelera a uma taxa de 20 m/s 2 durante o lançamento. Quanto tempo o foguete leva para atingir a velocidade de 400 m/s?
Uma nave espacial deixou a órbita da Terra e está a caminho da Lua. Ele acelera a 20 m/s 2 por 2 min e cobre uma distância de 1000 km. Quais são as velocidades inicial e final da nave espacial?
Estratégia
Somos solicitados a encontrar as velocidades inicial e final da nave espacial. Observando as equações cinemáticas, vemos que uma equação não dará a resposta. Devemos usar uma equação cinemática para resolver uma das velocidades e substituí-la por outra equação cinemática para obter a segunda velocidade. Assim, resolvemos duas das equações cinemáticas simultaneamente.
Solução
Primeiro resolvemos para v 0 usando\(x = x_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\):
\[x - x_{0} = v_{0}t + \frac{1}{2} at^{2} = \frac{1}{2}t^{2}\]
\[1.0 \times 10^{6}\; m = v_{0} (120.0\; s) + \frac{1}{2} (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s)^{2}\]
\[v_{0} = 7133.3\; m/s \ldotp\]
Em seguida, substituímos v 0 em v = v 0 + em para resolver a velocidade final:
\[v = v_{0} + at = 7133.3\; m/s + (20.0\; m/s^{2})(120.0\; s) = 9533.3\; m/s \ldotp\]
Significância
Existem seis variáveis em deslocamento, tempo, velocidade e aceleração que descrevem o movimento em uma dimensão. As condições iniciais de um determinado problema podem ser muitas combinações dessas variáveis. Por causa dessa diversidade, as soluções podem não ser fáceis como simples substituições em uma das equações. Este exemplo ilustra que soluções para cinemática podem exigir a resolução de duas equações cinemáticas simultâneas.
Com o básico da cinemática estabelecido, podemos continuar com muitos outros exemplos e aplicações interessantes. No processo de desenvolvimento da cinemática, também vislumbramos uma abordagem geral para a resolução de problemas que produz respostas corretas e insights sobre relacionamentos físicos. O próximo nível de complexidade em nossos problemas cinemáticos envolve o movimento de dois corpos inter-relacionados, chamados problemas de perseguição de dois corpos.
Problemas de perseguição de dois corpos
Até agora, analisamos exemplos de movimento envolvendo um único corpo. Mesmo com o problema com dois carros e as distâncias de parada em estradas molhadas e secas, dividimos esse problema em dois problemas separados para encontrar as respostas. Em um problema de perseguição de dois corpos, os movimentos dos objetos são acoplados — ou seja, o desconhecido que buscamos depende do movimento de ambos os objetos. Para resolver esses problemas, escrevemos as equações de movimento para cada objeto e as resolvemos simultaneamente para encontrar o desconhecido. Isso é ilustrado na Figura\(\PageIndex{4}\).
O tempo e a distância necessários para o carro 1 pegar o carro 2 dependem da distância inicial que o carro 1 está do carro 2, bem como das velocidades de ambos os carros e da aceleração do carro 1. As equações cinemáticas que descrevem o movimento de ambos os carros devem ser resolvidas para encontrar essas incógnitas.
Considere o exemplo a seguir.
Uma chita espera se escondendo atrás de um arbusto. A chita vê uma gazela passando a 10 m/s. No instante em que a gazela passa pela chita, a chita acelera do repouso a 4 m/s 2 para capturar a gazela. (a) Quanto tempo a chita leva para pegar a gazela? (b) Qual é o deslocamento da gazela e da chita?
Estratégia
Usamos o conjunto de equações para aceleração constante para resolver esse problema. Como há dois objetos em movimento, temos equações de movimento separadas descrevendo cada animal. Mas o que liga as equações é um parâmetro comum que tem o mesmo valor para cada animal. Se observarmos o problema de perto, fica claro que o parâmetro comum a cada animal é sua posição x em um momento posterior t. Como ambos começam em x 0 = 0, seus deslocamentos são os mesmos em um momento posterior t, quando a chita alcança a gazela. Se escolhermos a equação de movimento que resolve o deslocamento de cada animal, podemos então definir as equações iguais entre si e resolver o desconhecido, que é o tempo.
Solução
- Equação para a gazela: A gazela tem uma velocidade constante, que é sua velocidade média, pois não está acelerando. Portanto, usamos a Equação 3.5.7 com x 0 = 0: $$x = x_ {0} +\ bar {v} t =\ bar {v} t\ lDotp$$Equação para a chita: A chita está acelerando do repouso, então usamos a Equação 3.5.17 com x 0 = 0 e v 0 = 0: $$x = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2} em ^ {2} =\ frac {1} {2} at^ {2}\ ldotp$$Agora temos uma equação de movimento para cada animal com um parâmetro comum, que pode ser eliminado para encontrar a solução. Nesse caso, resolvemos para t: $$x =\ bar {v} t =\ frac {1} {2} at^ {2} $$ $t =\ frac {2\ bar {v}} {a}\ ldotp$$A gazela tem uma velocidade constante de 10 m/s, que é sua velocidade média. A aceleração da chita é de 4 m/s 2. Avaliando t, o tempo para a chita chegar à gazela, temos $$t =\ frac {2\ bar {v}} {a} =\ frac {2 (10)} {4} = 5\; s\ ldotp$$
- Para obter o deslocamento, usamos a equação do movimento para a chita ou a gazela, pois ambas devem dar a mesma resposta. Deslocamento da chita: $$x =\ frac {1} {2} at^ {2} =\ frac {1} {2} (4) (5) ^ {2} - 50\; m\ lDotp$$Deslocamento da gazela: $$x =\ bar {v} t = 10 (5) = 50\; m\ ldotp$$$vemos que ambos as colocações são iguais, conforme esperado.
Significância
É importante analisar o movimento de cada objeto e usar as equações cinemáticas apropriadas para descrever o movimento individual. Também é importante ter uma boa perspectiva visual do problema de perseguição de dois corpos para ver o parâmetro comum que liga o movimento de ambos os objetos.
Uma bicicleta tem uma velocidade constante de 10 m/s. Uma pessoa começa do repouso e começa a correr para alcançá-la em 30 s quando a bicicleta está na mesma posição que a pessoa. Qual é a aceleração da pessoa?