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12.E: Fontes de campos magnéticos (exercício)

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    Perguntas conceituais

    12.2 A Lei Biot-Savart

    1. Para calcular campos magnéticos, quais são as vantagens e desvantagens da lei Biot-Savart?

    2. Descreva o campo magnético devido à corrente em dois fios conectados aos dois terminais de uma fonte de emf e torcidos firmemente um ao redor do outro.

    3. Como você pode decidir se um fio é infinito?

    4. Correntes idênticas são transportadas em dois laços circulares; no entanto, um loop tem o dobro do diâmetro do outro. Compare os campos magnéticos criados pelos loops no centro de cada loop.

    12.3 Campo magnético devido a um fio reto fino

    5. Como você orientaria dois fios longos, retos e transportadores de corrente para que não haja força magnética líquida entre eles? (Dica: Qual orientação faria com que um fio não experimentasse um campo magnético do outro?)

    12.4 Força magnética entre duas correntes paralelas

    6. Compare e contraste o campo elétrico de uma linha infinita de carga e o campo magnético de uma linha infinita de corrente.

    7. É\(\displaystyle \vec{B}\) constante em magnitude para pontos que estão em uma linha de campo magnético?

    12.5 Campo magnético de um circuito de corrente

    8. O campo magnético de um circuito de corrente é uniforme?

    9. O que acontece com o comprimento de uma mola suspensa quando uma corrente passa por ela?

    10. Dois fios circulares concêntricos com diâmetros diferentes transportam correntes na mesma direção. Descreva a força no fio interno.

    12.6 Lei de Ampère

    11. A lei de Ampère é válida para todos os caminhos fechados? Por que normalmente não é útil para calcular um campo magnético?

    12.7 Solenóides e toroides

    12. O campo magnético dentro de um toróide é completamente uniforme? Quase uniforme?

    13. Explique por que\(\displaystyle \vec{B}=0\) dentro de um tubo de cobre longo e oco que carrega uma corrente elétrica paralela ao eixo. Está\(\displaystyle \vec{B}=0\) do lado de fora do cano?

    12.8 Magnetismo na matéria

    14. Um material diamagnético é aproximado de um ímã permanente. O que acontece com o material?

    15. Se você cortar uma barra magnética em duas partes, você acabará com um ímã com um pólo norte isolado e outro ímã com um pólo sul isolado? Explique sua resposta.

    Problemas

    12.2 A Lei Biot-Savart

    16. Uma corrente de 10 A flui através do fio mostrado. Qual é a magnitude do campo magnético devido a um segmento de fio de 0,5 mm medido no ponto (a) A e (b) no ponto B?

    Esta figura mostra um pedaço de arame. O ponto A está localizado 3 centímetros acima do segmento de 0,5 mm do fio. O ponto B está localizado 4 centímetros à direita do ponto A.

    17. Dez amperes fluem através de um circuito quadrado em que cada lado tem 20 cm de comprimento. Em cada canto do laço há um segmento de 0,01 cm que conecta os fios mais longos, conforme mostrado. Calcule a magnitude do campo magnético no centro do circuito.

    Um laço quadrado é mostrado com cantos arredondados. Não há marcas.

    18. Qual é o campo magnético em P devido à corrente I no fio mostrado?

    Esta figura mostra um circuito de corrente que consiste em dois arcos circulares concêntricos e duas linhas radiais paralelas. O arco externo está localizado na distância b do centro; o arco interno está localizado na distância a do centro.

    19. A figura a seguir mostra um circuito de corrente que consiste em dois arcos circulares concêntricos e duas linhas radiais perpendiculares. Determine o campo magnético no ponto P.

    Esta figura mostra um circuito de corrente que consiste em dois arcos circulares concêntricos e duas linhas radiais perpendiculares. O arco externo está localizado na distância b do centro; o arco interno está localizado na distância a do centro.

    20. Encontre o campo magnético no centro C do laço retangular de fio mostrado na figura a seguir.

    Esta figura mostra um circuito de corrente retangular. O comprimento do lado curto é b; o comprimento do lado longo é a. O ponto C é o centro do laço.

    21. Dois fios longos, um dos quais tem uma curva semicircular do raio R, são posicionados conforme mostrado na figura a seguir. Se ambos os fios carregam uma corrente I, a que distância devem estar suas seções paralelas para que o campo magnético líquido em P seja zero? A corrente no fio reto flui para cima ou para baixo?

    Esta figura mostra dois fios longos paralelos localizados a uma distância um do outro. Um dos fios tem uma curva semicircular do raio R.

    12.3 Campo magnético devido a um fio reto fino

    22. Uma corrente típica em um raio é\(\displaystyle 10^4\) A. Estime o campo magnético a 1 m do parafuso.

    23. A magnitude do campo magnético de 50 cm de um fio longo, fino e reto é 8,0μT. Qual é a corrente através do fio longo?

    24. Uma linha de transmissão amarrada a 7,0 m acima do solo carrega uma corrente de 500 A. Qual é o campo magnético no solo diretamente abaixo do fio? Compare sua resposta com o campo magnético da Terra.

    25. Um fio longo, reto e horizontal carrega uma corrente da esquerda para a direita de 20 A. Se o fio for colocado em um campo magnético uniforme de magnitude\(\displaystyle 4.0×10^{−5}T\) direcionado verticalmente para baixo, qual é a magnitude resultante do campo magnético 20 cm acima do fio? 20 cm abaixo do fio?

    26. Os dois fios longos e paralelos mostrados na figura a seguir transportam correntes na mesma direção. Se\(\displaystyle I_1=10 A\) e\(\displaystyle I_2=20A\), qual é o campo magnético no ponto P?

    27. A figura a seguir mostra dois fios longos, retos e horizontais que são paralelos e a uma distância de 2a. Se os dois fios transportam a corrente I na mesma direção, (a) em que está o campo magnético\(\displaystyle P_1\)? (b)\(\displaystyle P_2\)?

    A figura mostra dois longos fios paralelos separados por uma distância de 2a. A corrente flui pelos fios na mesma direção. O ponto P1 está localizado entre os fios a uma distância a de cada um. O ponto P2 está localizado a uma distância de 2 a fora dos fios.

    28. Repita os cálculos do problema anterior com a direção da corrente no fio inferior invertida.

    29. Considere a área entre os fios do problema anterior. A que distância do fio superior o campo magnético líquido é mínimo? Suponha que as correntes sejam iguais e fluam em direções opostas.

    12.4 Força magnética entre duas correntes paralelas

    30. Dois fios longos e retos são paralelos e separados por 25 cm.

    (a) Se cada fio carrega uma corrente de 50 A na mesma direção, qual é a força magnética por metro exercida em cada fio?

    (b) A força une os fios ou os separa?

    (c) O que acontece se as correntes fluírem em direções opostas?

    31. Dois fios longos e retos são paralelos e separados por 10 cm. Um carrega uma corrente de 2,0 A, o outro uma corrente de 5,0 A.

    (a) Se as duas correntes fluem em direções opostas, qual é a magnitude e a direção da força por unidade de comprimento de um fio no outro?

    (b) Qual é a magnitude e a direção da força por unidade de comprimento se as correntes fluem na mesma direção?

    32. Dois fios longos e paralelos são pendurados por cabos de 5,0 cm de comprimento, conforme mostrado na figura a seguir. Cada fio tem uma massa por unidade de comprimento de 30 g/m e eles transportam a mesma corrente em direções opostas. Qual é a corrente se os cabos ficarem a 6,0° em relação à vertical?

    A figura mostra dois fios paralelos com corrente fluindo em direções opostas que são pendurados por cabos suspensos nos ganchos.

    33. Um circuito com corrente I tem duas longas seções de fios paralelos que transportam corrente em direções opostas. Encontre o campo magnético em um ponto P próximo a esses fios que está a uma distância a de um fio e b do outro fio, conforme mostrado na figura.

    A figura mostra dois fios transportadores de corrente. Um carrega a corrente para fora da página; outro carrega a corrente para a página. Os fios formam vértices de um triângulo reto. O ponto P é o terceiro vértice e está localizado a uma distância b de um fio e a distância a de outro fio. A distância b é uma perna; a distância a é uma hipotenusa.

    34. O fio infinito e reto mostrado na figura a seguir carrega uma corrente\(\displaystyle I_1\). O laço retangular, cujos lados longos são paralelos ao fio, carrega uma corrente\(\displaystyle I_2\). Quais são a magnitude e a direção da força no circuito retangular devido ao campo magnético do fio?

    A figura mostra um fio que carrega a corrente I1 e um laço retangular com lados longos que são paralelos ao fio e transportam uma corrente I2. A distância entre o fio e o laço é b. O comprimento do lado do lado longo do laço é a, a distância do lado curto do laço é b.

    12.5 Campo magnético de um circuito de corrente

    35. Quando a corrente através de um circuito circular é 6,0 A, o campo magnético em seu centro é\(\displaystyle 2.0×10^{−4}T\). Qual é o raio do loop?

    36. Quantas voltas devem ser enroladas em uma bobina plana e circular de raio de 20 cm para produzir um campo magnético de magnitude\(\displaystyle 4.0×10^{−5}T\) no centro da bobina quando a corrente através dela é de 0,85 A?

    37. Um laço plano e circular tem 20 voltas. O raio do circuito é 10,0 cm e a corrente através do fio é 0,50 A. Determine a magnitude do campo magnético no centro do circuito.

    38. Um circuito circular de raio R carrega uma corrente I. A que distância ao longo do eixo do circuito está o campo magnético metade do seu valor no centro do circuito?

    39. Duas bobinas circulares planas, cada uma com um raio R e enroladas com N voltas, são montadas ao longo do mesmo eixo para que fiquem paralelas a uma distância d de distância. Qual é o campo magnético no ponto médio do eixo comum se uma corrente I flui na mesma direção através de cada bobina?

    40. Para as bobinas do problema anterior, qual é o campo magnético no centro de qualquer bobina?

    12.6 Lei de Ampère

    41. Uma corrente I flui ao redor do laço retangular mostrado na figura a seguir. Avalie\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) os caminhos A, B, C e D.

    A figura mostra um laço retangular transportando a corrente I. Os caminhos A e C se cruzam com os lados curtos do laço. O caminho B se cruza com os dois lados longos do loop. O caminho D se cruza com os lados curto e longo do loop.

    42. Avalie\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) cada um dos casos mostrados na figura a seguir.

    A Figura A mostra um fio dentro do circuito que transporta corrente de dois amperes para cima através do circuito. A Figura B mostra três fios dentro do circuito que transportam corrente de cinco Amperes, dois Amperes e seis Amperes. O primeiro e o terceiro fios transportam a corrente para cima através do circuito. O segundo fio transporta a corrente para baixo através do circuito. A Figura C mostra dois fios fora do circuito que transportam corrente de três Amperes e dois Amperes para cima através do circuito. A Figura D mostra três fios transportando corrente de três Amperes, dois Amperes e quatro Amperes. O primeiro fio está fora do circuito, o segundo e o terceiro fios estão dentro do circuito. O primeiro e o terceiro fios transportam a corrente para baixo através do circuito. O segundo fio carrega a corrente para cima através do circuito. A Figura D mostra quatro fios transportando correntes de quatro Amperes, três Amperes, dois Amperes e dois Amperes. O primeiro e o quarto fios estão fora do circuito. O segundo e o terceiro fios estão dentro do circuito. O primeiro, o segundo e o terceiro fios transportam a corrente para cima através do circuito. O quarto fio carrega a corrente para baixo através do circuito.

    43. A bobina cuja seção transversal longitudinal é mostrada na figura a seguir carrega uma corrente I e tem N voltas uniformemente espaçadas distribuídas ao longo do comprimento l. Avalie\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\) os caminhos indicados.

    A figura mostra a seção transversal longitudinal de uma bobina. O caminho A cruza três bobinas que transportam corrente do plano do papel. O caminho B cruza quatro bobinas com duas correntes transportadoras do plano do papel e duas correntes transportadoras para o plano do papel. O caminho C cruza sete bobinas que transportam corrente para o plano do papel. O caminho D cruza duas bobinas que transportam corrente para o plano do papel.

    44. Um fio supercondutor de 0,25 cm de diâmetro carrega uma corrente de 1000 A. Qual é o campo magnético fora do fio?

    45. Um fio longo e reto de raio R carrega uma corrente I que é distribuída uniformemente pela seção transversal do fio. A que distância do eixo do fio a magnitude do campo magnético é máxima?

    46. A figura a seguir mostra uma seção transversal de um condutor cilíndrico longo, oco e de raio interno\(\displaystyle r_1=3.0 cm\) e externo\(\displaystyle r_2=5.0 cm\). Uma corrente de 50 A distribuída uniformemente sobre a seção transversal flui para a página. Calcule o campo magnético em\(\displaystyle r=2.0 cm,r=4.0cm,\)\(\displaystyle r=6.0 cm\) e.

    A figura mostra uma seção transversal de um condutor cilíndrico longo, oco, com um raio interno de três centímetros e um raio externo de cinco centímetros.

    47. Um condutor longo, sólido e cilíndrico de raio de 3,0 cm carrega uma corrente de 50 A distribuída uniformemente em sua seção transversal. Faça um gráfico do campo magnético em função da distância radial r do centro do condutor.

    48. Uma parte de um cabo coaxial longo e cilíndrico é mostrada na figura a seguir. Uma corrente I flui pelo condutor central e essa corrente é retornada no condutor externo. Determine o campo magnético nas regiões (a)\(\displaystyle r≤r_1\), (b)\(\displaystyle r_2≥r≥r_1\), (c)\(\displaystyle r_3≥r≥r_2\) e (d)\(\displaystyle r≥r_3\). Suponha que a corrente seja distribuída uniformemente pelas seções transversais das duas partes do cabo.

    A figura mostra um cabo coaxial longo e cilíndrico. O raio do condutor central interno é r1. A distância do centro ao lado interno do escudo é r2. A distância do centro ao lado externo do escudo é r3.

    12.7 Solenóides e toroides

    49. Um solenóide é enrolado com 2000 voltas por metro. Quando a corrente é de 5,2 A, qual é o campo magnético dentro do solenóide?

    50. Um solenóide tem 12 voltas por centímetro. Qual corrente produzirá um campo magnético\(\displaystyle 2.0×10^{−2}T\) dentro do solenóide?

    51. Se uma corrente for 2,0 A, quantas voltas por centímetro devem ser enroladas em um solenóide para produzir um campo magnético\(\displaystyle 2.0×10^{−3}T\) dentro dele?

    52. Um solenóide tem 40 cm de comprimento, tem um diâmetro de 3,0 cm e é enrolado com 500 voltas. Se a corrente através dos enrolamentos for 4,0 A, qual é o campo magnético em um ponto no eixo do solenóide que é

    (a) no centro do solenóide,

    (b) 10,0 cm de uma extremidade do solenóide e

    (c) 5,0 cm de uma extremidade do solenóide?

    (d) Compare essas respostas com o caso de solenóide infinito.

    A Figura A é uma seção transversal de um solenóide que mostra três enrolamentos. A distância do centro até o enrolamento é de 1,5 centímetros. A distância entre os enrolamentos é de 20 centímetros. O ponto está localizado no eixo central do solenóide, oposto ao segundo enrolamento. A Figura B é uma seção transversal de um solenóide que mostra três enrolamentos. A distância do centro até o enrolamento é de 1,5 centímetros. A distância entre os enrolamentos é de 20 centímetros. O ponto está localizado no eixo central do solenóide, entre o primeiro e o segundo enrolamento. A Figura C é uma seção transversal de um solenóide que mostra três enrolamentos. A distância do centro até o enrolamento é de 1,5 centímetros. A distância entre os enrolamentos é de 20 centímetros. O ponto está localizado no eixo central do solenóide, cinco centímetros abaixo do primeiro enrolamento.

    53. Determine o campo magnético no eixo central na abertura de um solenóide semi-infinito. (Ou seja, pegue a abertura em x = 0 e a outra extremidade em\(\displaystyle x=∞\))

    54. Em quanto custa a aproximação errada\(\displaystyle B=μ_0nI\) no centro de um solenóide que tem 15,0 cm de comprimento, tem um diâmetro de 4,0 cm, é enrolado com n voltas por metro e carrega uma corrente I?

    55. Um solenóide com 25 voltas por centímetro carrega uma corrente I. Um elétron se move dentro do solenóide em um círculo que tem um raio de 2,0 cm e é perpendicular ao eixo do solenóide. Se a velocidade do elétron for\(\displaystyle 2.0×10^5m/s\), o que eu sou?

    56. Um toróide tem 250 voltas de fio e carrega uma corrente de 20 A. Seus raios interno e externo são 8,0 e 9,0 cm. Quais são os valores de seu campo magnético em r = 8,1, 8,5 e 8,9 cm?

    57. Um toróide com seção transversal quadrada de 3,0 cm × 3,0 cm tem um raio interno de 25,0 cm. É enrolado com 500 voltas de fio e carrega uma corrente de 2,0 A. Qual é a força do campo magnético no centro da seção transversal quadrada?

    12.8 Magnetismo na matéria

    58. O campo magnético no núcleo de um solenóide cheio de ar é de 1,50 T. Em quanto esse campo magnético diminuirá se o ar for bombeado para fora do núcleo enquanto a corrente é mantida constante?

    59. Um solenóide tem um núcleo ferromagnético, n = 1000 voltas por metro e I = 5,0 A. Se B dentro do solenóide é 2,0 T, o que é µ para o material do núcleo?

    60. Uma corrente de 20 A flui através de um solenóide com 2000 voltas por metro. Qual é o campo magnético dentro do solenóide se seu núcleo é (a) um vácuo e (b) cheio de oxigênio líquido a 90 K?

    61. O momento de dipolo magnético do átomo de ferro é de aproximadamente\(\displaystyle 2.1×10^{−23}A⋅m^2\).

    (a) Calcule o momento máximo de dipolo magnético de um domínio que consiste em átomos de\(\displaystyle 10^{19}\) ferro.

    (b) Que corrente teria que fluir através de um único laço circular de fio de diâmetro de 1,0 cm para produzir esse momento de dipolo magnético?

    62. Suponha que você deseje produzir um campo magnético de 1,2 T em um toróide com um núcleo de ferro para o qual\(\displaystyle χ=4.0×10^3\). O toróide tem um raio médio de 15 cm e é enrolado com 500 voltas. Qual corrente é necessária?

    63. Uma corrente de 1,5 A flui pelos enrolamentos de um toróide grande e fino com 200 voltas por metro e um raio de 1 metro. Se o toróide estiver cheio de ferro para isso\(\displaystyle χ=3.0×10^3\), qual é o campo magnético dentro dele?

    64. Um solenóide com núcleo de ferro tem 25 cm de comprimento e é enrolado com 100 voltas de fio. Quando a corrente através do solenóide é de 10 A, o campo magnético dentro dela é de 2,0 T. Para essa corrente, qual é a permeabilidade do ferro? Se a corrente for desligada e depois restaurada para 10 A, o campo magnético retornará necessariamente a 2,0 T?

    Problemas adicionais

    65. Três fios longos, retos e paralelos, todos carregando 20 A, são posicionados conforme mostrado na figura a seguir. Qual é a magnitude do campo magnético no ponto P?

    Esta figura mostra três fios longos, retos e paralelos. Cada fio forma um vértice de um triângulo equilátero com lados de 10 centímetros. O ponto P é o centro de um triângulo.

    66. Uma corrente I flui em torno de um fio dobrado na forma de um quadrado do lado a. Qual é o campo magnético no ponto P que está a uma distância z acima do centro do quadrado (veja a figura a seguir)?

    Esta figura mostra um fio dobrado na forma de um losango do lado a. Ponto P que está a uma distância z acima do centro do losango.

    67. A figura a seguir mostra um fio longo e reto carregando uma corrente de 10 A. Qual é a força magnética em um elétron no instante em que ele está a 20 cm do fio, viajando paralelamente ao fio com uma velocidade de\(\displaystyle 2.0×10^5m/s\)? Descreva qualitativamente o movimento subsequente do elétron.

    A figura mostra um fio longo e reto transportando uma corrente. Um elétron está localizado a 20 cm do fio e viaja paralelamente a ele.

    68. A corrente flui ao longo de uma folha fina e infinita, conforme mostrado na figura a seguir. A corrente por unidade de comprimento ao longo da folha é J em amperes por metro.

    (a) Use a lei Biot-Savart para mostrar isso\(\displaystyle B=μ_0J/2\) em ambos os lados da folha. Qual é a direção de cada\(\displaystyle \vec{B}\) lado?

    (b) Agora use a lei de Ampère para calcular o campo.

    A figura mostra a corrente fluindo ao longo de uma folha fina e infinita.

    69. (a) Use o resultado do problema anterior para calcular o campo magnético entre, acima e abaixo do par de folhas infinitas mostrado na figura a seguir.

    (b) Repita seus cálculos se a direção da corrente na folha inferior for invertida.

    A figura mostra correntes fluindo ao longo de duas folhas finas e infinitas. As folhas estão localizadas nos planos paralelos e a corrente flui na mesma direção.

    70. Muitas vezes assumimos que o campo magnético é uniforme em uma região e zero em qualquer outro lugar. Mostre que, na realidade, é impossível que um campo magnético caia abruptamente para zero, conforme ilustrado na figura a seguir. (Dica: aplique a lei de Ampère no caminho mostrado.)

    A figura mostra o campo magnético que é perpendicular ao caminho retangular da corrente e o cruza.

    71. Como a mudança fracionária na intensidade do campo magnético na face do toróide está relacionada à mudança fracionária na distância radial do eixo do toróide?

    72. Mostre que a expressão para o campo magnético de um toróide se reduz à do campo de um solenóide infinito no limite em que o raio central vai para o infinito.

    73. Um toróide com raio interno de 20 cm e raio externo de 22 cm é enrolado firmemente com uma camada de fio com diâmetro de 0,25 mm.

    (a) Quantas curvas existem no toróide?

    (b) Se a corrente através dos enrolamentos toroidais for 2,0 A, qual é a força do campo magnético no centro do toróide?

    74. Um elemento de arame tem\(\displaystyle vec{dl} ,I\vec{dl} =JAdl=Jdv\), onde A e dv são a área da seção transversal e o volume do elemento, respectivamente. Use isso, a lei de Biot-Savart, e\(\displaystyle J=nev\) para mostrar que o campo magnético de uma carga de ponto móvel q é dado por:

    \(\displaystyle \vec{B} =\frac{μ_0}{4π}\frac{qv×\hat{r}}{r^2}\).

    75. Um campo magnético razoavelmente uniforme em uma região limitada do espaço pode ser produzido com a bobina Helmholtz, que consiste em duas bobinas paralelas centradas no mesmo eixo. As bobinas são conectadas de forma que carreguem a mesma corrente I. Cada bobina tem N voltas e raio R, que também é a distância entre as bobinas.

    (a) Encontre o campo magnético em qualquer ponto do eixo z mostrado na figura a seguir.

    (b) Mostre que dB/dZ e ambos\(\displaystyle d^2B\_{dz2}\) são zero em z = 0. (Esses derivados que desaparecem demonstram que o campo magnético varia apenas ligeiramente perto de z = 0.)

    Esta imagem mostra duas bobinas paralelas centradas no mesmo eixo que transportam a mesma corrente I. Cada bobina tem raio R, que também é a distância entre as bobinas.

    76. Uma carga de 4,0μC é distribuída uniformemente em torno de um anel fino de material isolante. O anel tem um raio de 0,20 m e gira em\(\displaystyle 2.0×10^4rev/min\) torno do eixo que passa por seu centro e é perpendicular ao plano do anel. Qual é o campo magnético no centro do anel?

    77. Um disco fino e não condutor de raio R é livre para girar em torno do eixo que passa por seu centro e é perpendicular à face do disco. O disco é carregado uniformemente com uma carga total q. Se o disco gira a uma velocidade angular constante ω, qual é o campo magnético em seu centro?

    78. Considere o disco no problema anterior. Calcule o campo magnético em um ponto em seu eixo central que esteja a uma distância y acima do disco.

    79. Considere o campo magnético axial\(\displaystyle B_y=μ_0IR^2/2(y^2+R^2)^{3/2}\) do circuito de corrente circular mostrado abaixo.

    (a) Avalie\(\displaystyle ∫^a_{−a}B_ydy.\) também, então mostre que\(\displaystyle \lim_{a→∞}∫^a_{−a}B_ydy=μ_0I\).

    (b) Você pode deduzir esse limite sem avaliar a integral? (Dica: veja a figura a seguir.)

    Esta imagem mostra o circuito de corrente circular I com o campo magnético B perpendicular ao plano do circuito.

    80. A densidade de corrente no fio longo e cilíndrico mostrado na figura a seguir varia com a distância r do centro do fio, de acordo com o\(\displaystyle J=cr,\) ponto em que c é uma constante. (a) Qual é a corrente através do fio? (b) Para que serve o campo magnético produzido por essa corrente\(\displaystyle r≤R\)? Para\(\displaystyle r≥R\)?

    Esta figura mostra um fio longo, reto e cilíndrico com um raio R que tem a corrente I fluindo através dele.

    81. Um condutor cilíndrico longo, reto e contém uma cavidade cilíndrica cujo eixo é deslocado por a do eixo do condutor, conforme mostrado na figura a seguir. A densidade da corrente no condutor é dada por\(\displaystyle \hat{J} =J_0\hat{k},\) onde\(\displaystyle J_0\) é uma constante e\(\displaystyle \hat{k}\) está ao longo do eixo do condutor. Calcule o campo magnético em um ponto arbitrário P na cavidade sobrepondo o campo de um condutor cilíndrico sólido com raio\(\displaystyle R_1\) e densidade de corrente\(\displaystyle \vec{J}\) ao campo de um condutor cilíndrico sólido com raio\(\displaystyle R_2\) e densidade de corrente\(\displaystyle −\vec{J}\). Em seguida, use o fato de que os vetores unitários azimutais apropriados podem ser expressos como\(\displaystyle \hat{θ_1}=\hat{k}×\hat{r_1}\) e\(\displaystyle \hat{θ_2}=\hat{k}×\hat{r_2}\) para mostrar que em todos os lugares dentro da cavidade o campo magnético é dado pela constante\(\displaystyle \vec{B}=\frac{1}{2}μ_0J_0k×a\), onde\(\displaystyle a=r_1−r_2\) e\(\displaystyle r_1=r_1\hat{r_1}\) é a posição de P em relação ao centro do condutor e \(\displaystyle 2_=r_2\vec{r_2}\)é a posição de P em relação ao centro da cavidade.

    Esta figura mostra um círculo grande com um raio R1 que tem um orifício circular de raio R2 a uma distância a do centro. O ponto P está localizado em um orifício à distância r2 do centro de um furo e a uma distância r1 do centro de um círculo grande.

    82. Entre as duas extremidades de um ímã em ferradura, o campo é uniforme, conforme mostrado no diagrama. Conforme você se move para as bordas externas, o campo se curva. Mostre pela lei de Ampère que o campo deve se curvar e, portanto, o campo enfraquece devido a essas curvas.

    Esta figura mostra um ímã de ferradura com as linhas magnéticas indo do extremo norte ao extremo sul.

    83. Mostre que o campo magnético de um fio fino e o de um circuito de corrente são zero se você estiver infinitamente distante.

    84. Um loop de Ampère é escolhido conforme mostrado por linhas tracejadas para um campo magnético constante paralelo, conforme mostrado por setas sólidas. Calcule\(\displaystyle \vec{B} ⋅\vec{dl}\) para cada lado do loop e encontre o inteiro\(\displaystyle ∮\vec{B} ⋅\vec{dl}\). Você consegue pensar em um loop de Ampère que facilitaria o problema? Esses resultados correspondem a esses?

    Esta figura mostra um loop Ampere localizado no campo magnético constante. Um dos lados do laço forma um ângulo teta com a linha magnética.

    85. Um fio cilíndrico muito longo e espesso de raio R carrega uma densidade de corrente J que varia em sua seção transversal. A magnitude da densidade da corrente em um ponto a uma distância r do centro do fio é dada por\(\displaystyle J=J_0\frac{r}{R},\) onde\(\displaystyle J_0\) é uma constante. Encontre o campo magnético

    (a) em um ponto fora do fio e

    (b) em um ponto dentro do fio. Escreva sua resposta em termos da corrente líquida I através do fio.

    86. Um fio cilíndrico muito longo de raio a tem um orifício circular de raio b nele a uma distância d do centro. O fio carrega uma corrente uniforme de magnitude I através dele. A direção da corrente na figura está fora do papel. Encontre o campo magnético

    (a) em um ponto na borda do furo mais próximo do centro do fio grosso,

    (b) em um ponto arbitrário dentro do furo, e

    (c) em um ponto arbitrário fora do fio. (Dica: pense no orifício como a soma de dois fios transportando corrente nas direções opostas.)

    Esta figura mostra um círculo com um raio a que tem um orifício circular de raio b a uma distância d do centro.

    87. Campo magnético dentro de um toróide. Considere um toróide de seção transversal retangular com raio interno a e raio externo b. N voltas de um fio fino isolado são enroladas uniformemente no toróide firmemente ao redor do toróide e conectadas a uma bateria produzindo uma corrente constante I no fio. Suponha que a corrente nas superfícies superior e inferior da figura seja radial e que a corrente nas superfícies dos raios interno e externo seja vertical. Encontre o campo magnético dentro do toróide em função da distância radial r do eixo.

    88. Dois longos tubos coaxiais de cobre, cada um de comprimento L, são conectados a uma bateria de voltagem V. O tubo interno tem raio interno a e raio externo b, e o tubo externo tem raio interno c e raio externo d. Os tubos são então desconectados da bateria e girados na mesma direção a uma velocidade angular de ω radianos por segundo em torno de seu eixo comum. Encontre o campo magnético (a) em um ponto dentro do espaço fechado pelo tubo interno r<a e (b) em um ponto entre os tubos b<r<c e (c) em um ponto fora dos tubos r>d. (Dica: pense nos tubos de cobre como um capacitor e encontre a densidade de carga com base na tensão aplicada, Q=VC,\ (\ displaystyle C=\ frac {2π ε_0L} {ln (c/b)}.)

    Problemas de desafio

    89. A figura a seguir mostra uma folha plana e infinitamente longa de largura a que carrega uma corrente I distribuída uniformemente por ela. Encontre o campo magnético no ponto P, que está no plano da folha e a uma distância x de uma borda. Teste seu resultado para o limite a→0.

    Esta imagem mostra uma folha plana e infinitamente longa de largura a que carrega uma corrente I distribuída uniformemente por ela. O ponto P está no plano da folha e a uma distância x de uma borda.

    90. Uma corrente hipotética fluindo na direção z cria o campo\(\displaystyle vec{B} =C[(x/y^2)\hat{i}+(1/y)\hat{j}]\) na região retangular do plano xy mostrado na figura a seguir. Use a lei de Ampère para encontrar a corrente através do retângulo.

    Esta figura mostra a região retangular do plano xy; o eixo z é perpendicular ao plano. Os pontos a1 e a2 estão localizados no eixo x. Os pontos b1 e b2 estão localizados no eixo y. Há uma distância igual entre todos os pontos.

    91. Um disco circular de borracha dura não condutor de raio R é pintado com uma densidade de carga superficial uniforme σ. Ele é girado em torno de seu eixo com velocidade angular ω. (a) Encontre o campo magnético produzido em um ponto do eixo a uma distância h metros do centro do disco. (b) Encontre o valor numérico da magnitude do campo magnético quando\(\displaystyle σ=1C/m^2, R=20 cm, h=2 cm\) e\(\displaystyle ω=400rad/sec,\) compare-o com a magnitude do campo magnético da Terra, que é cerca de 1/2 Gauss.

    Contribuidores e atribuições

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