12.6: Lei de Ampère
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Ao final desta seção, você poderá:
- Explique como a lei de Ampère relaciona o campo magnético produzido por uma corrente com o valor da corrente
- Calcule o campo magnético a partir de um fio longo e reto, fino ou grosso, pela lei de Ampère
Uma propriedade fundamental de um campo magnético estático é que, diferentemente de um campo eletrostático, ele não é conservador. Um campo conservador é aquele que faz a mesma quantidade de trabalho em uma partícula que se move entre dois pontos diferentes, independentemente do caminho escolhido. Os campos magnéticos não têm essa propriedade. Em vez disso, existe uma relação entre o campo magnético e sua fonte, a corrente elétrica. É expresso em termos da linha integral de\(\vec{B}\) e é conhecido como lei de Ampère. Essa lei também pode ser derivada diretamente da lei Biot-Savart. Agora consideramos essa derivação para o caso especial de um fio reto infinito.
\(\PageIndex{1}\)A figura mostra um plano arbitrário perpendicular a um fio infinito e reto cuja corrente I é direcionada para fora da página. As linhas do campo magnético são círculos direcionados no sentido anti-horário e centrados no fio. Para começar, vamos considerar\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) os caminhos fechados M e N. Observe que um caminho (M) envolve o fio, enquanto o outro (N) não. Como as linhas de campo são circulares,\(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) é o produto de B e a projeção de dl no círculo que passa\(d\vec{l}\). Se o raio desse círculo específico for r, a projeção é\(rd\theta\), e
\[\vec{B} \cdot d\vec{l} = Br \, d\theta.\]
Com\(\vec{B}\) dado pela Equação 12.4.1,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint \left(\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\right) \, r \, d\theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi} \oint d\theta.\]
Para o caminho M, que circula ao redor do fio,\(\oint_M d\theta = 2\pi\) e
\[\oint_M \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I.\]
O caminho N, por outro lado, circula tanto pelo positivo (sentido anti-horário) quanto pelo negativo (no sentido horário)\(d\theta\) (veja a Figura\(\PageIndex{1}\)) e, como está fechado,\(\oint_N d\theta = 0\). Assim, para o caminho N,
\[\oint_N \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0.\]
A extensão desse resultado ao caso geral é a lei de Ampère.
Em um caminho fechado arbitrário,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I\]
onde I é a corrente total passando por qualquer superfície aberta S cujo perímetro é o caminho da integração. Somente as correntes dentro do caminho da integração precisam ser consideradas.
Para determinar se uma corrente I específica é positiva ou negativa, enrole os dedos da mão direita na direção do caminho da integração, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). Se eu passar por S na mesma direção que seu polegar estendido, I é positivo; se eu passar por S na direção oposta ao seu polegar estendido, é negativo.
Para calcular o campo magnético criado a partir da corrente no (s) fio (s), use as seguintes etapas:
- Identifique a simetria da corrente no (s) fio (s). Se não houver simetria, use a lei de Biot-Savart para determinar o campo magnético.
- Determine a direção do campo magnético criado pelo (s) fio (s) pela regra 2 do lado direito.
- Escolha um loop de caminho em que o campo magnético seja constante ou zero.
- Calcule a corrente dentro do circuito.
- Calcule a integral da linha\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) ao redor do circuito fechado.
- Compare\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\)\(\mu_0 I_{enc}\) com\(\mu_0 I_{enc}\) e resolva para\(\vec{B}\).
Use a lei de Ampère para calcular o campo magnético devido a uma corrente constante I em um fio infinitamente longo, fino e reto, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\).
Estratégia
Considere um plano arbitrário perpendicular ao fio, com a corrente direcionada para fora da página. Os possíveis componentes do campo magnético neste plano,\(B_r\) e\(B_{\theta}\) são mostrados em pontos arbitrários em um círculo de raio r centrado no fio. Como o campo é cilíndricamente simétrico,\(B_r\) nem\(B_{\theta}\) varia com a posição nesse círculo. Também por simetria, as linhas radiais, se existirem, devem ser direcionadas todas para dentro ou para fora do fio. Isso significa, no entanto, que deve haver um fluxo magnético líquido através de um cilindro arbitrário concêntrico com o fio. O componente radial do campo magnético deve ser zero porque\(\vec{B}_r \cdot d\vec{l} = 0\). Portanto, podemos aplicar a lei de Ampère ao caminho circular, conforme mostrado.
Solução
Sobre esse caminho\(\vec{B}\) é constante e paralelo a\(d\vec{l}\), então
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B_{\theta} \oint dl = B_{\theta}(2\pi r).\]
Assim, a lei de Ampère se reduz a
\[B_{\theta}(2\pi r) = \mu_0 I.\]
Finalmente, como\(B_{\theta}\) é o único componente do\(\vec{B}\), podemos descartar o subscrito e escrever
\[B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.\]
Isso está de acordo com o cálculo do Biot-Savart acima.
Significância
A lei de Ampère funciona bem se você tem um caminho de integração que\(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) tenha resultados fáceis de simplificar. Para o fio infinito, isso funciona facilmente com um caminho circular ao redor do fio, de forma que o campo magnético saia da integração. Se a dependência do caminho parecer complicada, você sempre pode voltar à lei de Biot-Savart e usá-la para encontrar o campo magnético.
O raio do fio longo e reto da Figura\(\PageIndex{3}\) é a, e o fio carrega uma corrente\(I_0\) que é distribuída uniformemente por sua seção transversal. Encontre o campo magnético dentro e fora do fio.
Estratégia
Esse problema tem a mesma geometria de Example\(\PageIndex{1}\), mas a corrente fechada muda à medida que movemos o caminho de integração de fora do fio para dentro do fio, onde ele não captura toda a corrente fechada (veja a Figura\(\PageIndex{3}\)).
Solução
Para qualquer caminho circular de raio r centrado no fio,
\[\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint Bdl = B\oint dl = B(2\pi r).\]
Pela lei de Ampère, isso é igual à corrente total que passa por qualquer superfície delimitada pelo caminho da integração.
Considere primeiro um caminho circular que esteja dentro do fio\((r \leq a)\), como o mostrado na parte (a) da Figura\(\PageIndex{3}\). Precisamos da corrente I passando pela área delimitada pelo caminho. É igual à densidade atual J vezes a área fechada. Como a corrente é uniforme, a densidade da corrente dentro do caminho é igual à densidade da corrente em todo o fio, que é\(I_0 / \pi a^2\). Portanto, a corrente I que passa pela área delimitada pelo caminho é
\[I = \frac{\pi r^2}{\pi a^2} I_0 = \frac{r^2}{a^2}I_0.\]
Podemos considerar essa relação porque a densidade de corrente J é constante na área do fio. Portanto, a densidade atual de uma parte do fio é igual à densidade atual em toda a área. Usando a lei de Ampère, obtemos
\[B(2\pi r) = \mu_0 \left(\frac{r^2}{a^2}\right) I_0,\]
e o campo magnético dentro do fio é
\[B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi} \frac{r}{a^2} (r \leq a).\]
Fora do fio, a situação é idêntica à do fio fino infinito do exemplo anterior; ou seja,
\[B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r} (r \geq a).\]
A variação de B com r é mostrada na Figura\(\PageIndex{4}\).
Significância
Os resultados mostram que, à medida que a distância radial aumenta dentro do fio grosso, o campo magnético aumenta de zero para um valor familiar do campo magnético de um fio fino. Fora do fio, o campo cai independentemente de ser um fio grosso ou fino.
Esse resultado é semelhante à forma como a lei de Gauss para cargas elétricas se comporta dentro de uma distribuição uniforme de carga, exceto que a lei de Gauss para cargas elétricas tem uma distribuição uniforme de volume de carga, enquanto a lei de Ampère aqui tem uma área uniforme de distribuição de corrente. Além disso, a queda fora do fio grosso é semelhante à forma como um campo elétrico cai fora de uma distribuição linear de carga, uma vez que os dois casos têm a mesma geometria e nenhum deles depende da configuração de cargas ou correntes, uma vez que o circuito está fora da distribuição.
Use a lei de Ampère\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\) para avaliar as configurações e caminhos atuais na Figura\(\PageIndex{5}\).
Estratégia
A lei de Ampère afirma que\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I\) onde I é a corrente total que passa pelo circuito fechado. A maneira mais rápida de avaliar a integral é calcular\(\mu_0 I\) encontrando a corrente líquida através do loop. Correntes positivas fluem com o polegar direito se seus dedos se enrolarem na direção do laço. Isso nos dirá o sinal da resposta.
Solução
(a) A corrente descendente pelo loop é igual à corrente que sai do loop, então a corrente líquida é zero. Assim,\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0.\)
(b) A única corrente a ser considerada neste problema é 2A porque é a única corrente dentro do circuito. A regra da direita nos mostra que a corrente descendo pelo loop está na direção positiva. Portanto, a resposta é\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (2 \, A) = 2.51 \times 10^{-6} T \cdot m.\)
(c) A regra da direita nos mostra que a corrente descendo pelo loop está na direção positiva. Há\(7A + 5A = 12 A\) uma corrente descendo e —3 A subindo. Portanto, a corrente total é de 9 A\(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (9 \, A) = 5.65 \times 10^{-6} T \cdot m\) e.
Significância
Se todas as correntes se enrolassem de forma que a mesma corrente entrasse no circuito e saísse do circuito, a corrente líquida seria zero e nenhum campo magnético estaria presente. É por isso que os fios estão muito próximos uns dos outros em um cabo elétrico. As correntes que fluem em direção a um dispositivo e se afastam de um dispositivo em um fio equivalem a zero fluxo total de corrente através de um circuito de Ampère ao redor desses fios. Portanto, nenhum campo magnético disperso pode estar presente nos cabos que transportam corrente.
Considere usar a lei de Ampère para calcular os campos magnéticos de um fio reto finito e de um laço circular de fio. Por que não é útil para esses cálculos?
- Resposta
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Nesses casos, as integrais ao redor do loop ampèriano são muito difíceis porque não há simetria, então esse método não seria útil.