12.4: Força magnética entre duas correntes paralelas
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Ao final desta seção, você poderá:
- Explique como fios paralelos que transportam correntes podem se atrair ou se repelir
- Defina o ampere e descreva como ele está relacionado aos fios transportadores de corrente
- Calcule a força de atração ou repulsão entre dois fios transportadores de corrente
Você pode esperar que dois fios transportadores de corrente gerem forças significativas entre eles, já que correntes comuns produzem campos magnéticos e esses campos exercem forças significativas sobre correntes comuns. Mas você pode não esperar que a força entre os fios seja usada para definir o ampere. Também pode surpreendê-lo saber que essa força tem algo a ver com o motivo pelo qual disjuntores grandes queimam quando tentam interromper grandes correntes.
A força entre dois condutores longos, retos e paralelos separados por uma distância r pode ser encontrada aplicando o que desenvolvemos nas seções anteriores. A figura\(\PageIndex{1}\) mostra os fios, suas correntes, o campo criado por um fio e a conseqüente força que o outro fio experimenta no campo criado. Vamos considerar o campo produzido pelo fio 1 e a força que ele exerce no fio 2 (chame a força\(F_2\)). O campo devido\(I_1\) a uma distância r é
\[B_1 = \frac{\mu_0I_1}{2\pi r}\]
Esse campo é uniforme em relação ao fio 1 e perpendicular a ele, então a força\(F_2\) que ele exerce em um comprimento l do fio 2 é dada por\(F = IlB \, sin \, \theta\) com\(sin \, \theta = 1\):
\[F_2 = I_2lB_1. \label{12.10}\]
As forças nos fios são iguais em magnitude, então escrevemos F para a magnitude de\(F_2\) (Observe isso)\(\vec{F}_1 = -\vec{F}_2\). Como os fios são muito longos, é conveniente pensar em termos de F/l, a força por unidade de comprimento. Substituir a expressão por\(B_1\) na Equação\ ref {12.10} e reorganizar os termos dá
\[\frac{F}{l} = \frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi r}. \label{12.11}\]
A razão f/L é a força por unidade de comprimento entre duas correntes paralelas\(I_1\) e\(I_2\) separadas por uma distância r. A força é atraente se as correntes estiverem na mesma direção e repulsiva se estiverem em direções opostas.
Essa força é responsável pelo efeito de compressão em arcos elétricos e outros plasmas. A força existe independentemente de as correntes estarem nos fios ou não. Só é evidente se a densidade geral da carga for zero; caso contrário, a repulsão de Coulomb sobrecarrega a atração magnética. Em um arco elétrico, onde as cargas se movem paralelamente umas às outras, uma força atrativa comprime as correntes em um tubo menor. Em disjuntores grandes, como os usados em sistemas de distribuição de energia da vizinhança, o efeito de compressão pode concentrar um arco entre as placas de um interruptor tentando quebrar uma grande corrente, fazer furos e até mesmo acender o equipamento. Outro exemplo do efeito de compressão é encontrado no plasma solar, onde jatos de material ionizado, como explosões solares, são moldados por forças magnéticas.
A definição do ampere é baseada na força entre os fios transportadores de corrente. Observe que, para fios longos e paralelos separados por 1 metro, cada um carregando 1 ampere, a força por metro é
\[\frac{F}{l} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}T \cdot m/A)(1 \, A)^2}{(2\pi)(1 \, m)} = 2 \times 10^{-7} \, N/m.\]
Uma vez\(\mu_0\) é exatamente\(4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A\) por definição, e porque\(1 \, T = 1 \, N/(A \cdot m)\), a força por metro é exata\(2 \times 10^{-7} \, N/m\). Essa é a base da definição do ampere.
Fios de comprimento infinito são impraticáveis, então, na prática, uma balança de corrente é construída com bobinas de fio separadas por alguns centímetros. A força é medida para determinar a corrente. Isso também nos fornece um método para medir o coulomb. Medimos a carga que flui para uma corrente de um ampere em um segundo. Isso é,\(1 \, C = 1 \, A \cdot s\). Tanto para o ampere quanto para o coulomb, o método de medir a força entre condutores é o mais preciso na prática.
Dois fios, ambos transportando corrente para fora da página, têm uma corrente de magnitude de 5,0 mA. O primeiro fio está localizado em (0,0 cm, 3,0 cm), enquanto o outro fio está localizado em (4,0 cm, 0,0 cm), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). Qual é a força magnética por unidade de comprimento do primeiro fio no segundo e do segundo fio no primeiro?
Estratégia
Cada fio produz um campo magnético sentido pelo outro fio. A distância ao longo da hipotenusa do triângulo entre os fios é a distância radial usada no cálculo para determinar a força por unidade de comprimento. Como os dois fios têm correntes fluindo na mesma direção, a direção da força está voltada uma para a outra.
Solução
A distância entre os fios resulta da descoberta da hipotenusa de um triângulo:
\[r = \sqrt{(3.0 \, cm)^2 + (4.0 \, cm)^2} = 5.0 \, cm.\]
A força por unidade de comprimento pode então ser calculada usando as correntes conhecidas nos fios:
\[\frac{F}{l} = \frac{(4\pi \times 10^{-7}T \cdot m/A)(5 \times 10^{-3}A)^2}{(2\pi)(5 \times 10^{-2}m)} = 1 \times 10^{-10} \, N/m.\]
A força do primeiro fio puxa o segundo fio. O ângulo entre o raio e o eixo x é
\[\theta = tan^{-1} \left(\frac{3 \, cm}{4 \, cm}\right) = 36.9^o.\]
O vetor unitário para isso é calculado por
\[cos(36.9^o)\hat{i} - sin(36.9^o)\hat{j} = 0.8 \hat{i} - 0.6 \hat{j}.\]
Portanto, a força por unidade de comprimento do fio um no fio 2 é
\[\frac{\vec{F}}{l} = (1 \times 10^{-10} \, N/m) \times (0.8\hat{i} - 0.6 \hat{j}) = (8 \times 10^{-11}\hat{i} - 6 \times 10^{-11}\hat{j}) \, N/m.\]
A força por unidade de comprimento do fio 2 no fio 1 é a negativa da resposta anterior:
\[\frac{\vec{F}}{l} = (-8 \times 10^{-11}\hat{i} + 6 \times 10^{-11}\hat{j})N/m.\]
Significância
Esses fios produziram campos magnéticos de igual magnitude, mas em direções opostas nos locais um do outro. Sejam os campos idênticos ou não, as forças que os fios exercem um sobre o outro são sempre iguais em magnitude e opostas em direção (terceira lei de Newton).
Dois fios, ambos transportando corrente para fora da página, têm uma corrente de magnitude de 2,0 mA e 3,0 mA, respectivamente. O primeiro fio está localizado em (0,0 cm, 5,0 cm), enquanto o outro fio está localizado em (12,0 cm, 0,0 cm). Qual é a magnitude da força magnética por unidade de comprimento do primeiro fio no segundo e do segundo fio no primeiro?
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Ambos têm uma força por unidade de comprimento de\(9.23 \times 10^{-12} \, N/m\)