12.3: Campo magnético devido a um fio reto fino
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Ao final desta seção, você poderá:
- Explique como a lei de Biot-Savart é usada para determinar o campo magnético devido a um fio fino e reto.
- Determine a dependência do campo magnético de um fio fino e reto com base na distância dele e na corrente que flui no fio.
- Desenhe o campo magnético criado a partir de um fio fino e reto usando a segunda regra da mão direita.
Quanta corrente é necessária para produzir um campo magnético significativo, talvez tão forte quanto o campo da Terra? Os topógrafos dirão que as linhas aéreas de energia elétrica criam campos magnéticos que interferem nas leituras da bússola. De fato, quando Oersted descobriu em 1820 que uma corrente em um fio afetava a agulha de uma bússola, ele não estava lidando com correntes extremamente grandes. Como a forma dos fios que transportam corrente afeta a forma do campo magnético criado? Observamos no Capítulo 28 que um circuito de corrente criou um campo magnético semelhante ao de uma barra magnética, mas o que dizer de um fio reto? Podemos usar a lei Biot-Savart para responder a todas essas perguntas, incluindo determinar o campo magnético de um fio longo e reto.
A figura\(\PageIndex{1}\) mostra uma seção de um fio reto infinitamente longo que carrega uma corrente I. Qual é o campo magnético em um ponto P, localizado a uma distância R do fio?
Vamos começar considerando o campo magnético devido ao elemento atual\(I \, d\vec{x}\) localizado na posição x. Usando a regra 1 do lado direito do capítulo anterior,\(d\vec{x} \times \hat{r}\) aponta para fora da página para qualquer elemento ao longo do fio. Nesse ponto\(P\), portanto, os campos magnéticos devidos a todos os elementos atuais têm a mesma direção. Isso significa que podemos calcular o campo líquido lá avaliando a soma escalar das contribuições dos elementos. Com
\[|d\vec{x} \times \hat{r}| = (dx)(1) \, \sin \, \theta \]
temos da lei Biot-Savart
\[B = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{I \, \sin \, \theta \, dx}{r^2}. \label{BSLaw}\]
O fio é simétrico em relação ao ponto\(O\), então podemos definir os limites da integração de zero a infinito e dobrar a resposta, em vez de integrar do infinito negativo ao infinito positivo. Com base na imagem e na trigonometria, podemos escrever expressões para\(r\) e\(\sin \, \theta\) em termos de x e R, a saber:
\[r = \sqrt{x^2 + R^2}\]
\[\sin \, \theta = \dfrac{R}{\sqrt{x^2 + R^2}}.\]
Substituindo essas expressões na Equação\ ref {BSlaw}, a integração do campo magnético se torna
\[B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi} \int_0^{\infty} \dfrac{R \, dx}{(x^2 + R^2)^{3/2}}.\]
Avaliando os rendimentos integrais
\[B = \dfrac{\mu_0I}{2\pi R} \left[\dfrac{x}{(x^2 + R^2)^{1/2}}\right]_0^{\infty}.\]
Substituir os limites nos dá a solução
\[\boxed{B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R}.}\]
As linhas do campo magnético do fio infinito são circulares e centradas no fio (Figura\(\PageIndex{2}\)) e são idênticas em todos os planos perpendiculares ao fio. Como o campo diminui com a distância do fio, o espaçamento das linhas do campo deve aumentar de forma correspondente com a distância. A direção desse campo magnético pode ser encontrada com uma segunda forma da regra da mão direita (Figura\(\PageIndex{2}\)). Se você segurar o fio com a mão direita de forma que o polegar aponte ao longo da corrente, seus dedos envolvem o fio no mesmo sentido que\(\vec{B}\).
A direção das linhas de campo pode ser observada experimentalmente colocando várias pequenas agulhas de bússola em um círculo próximo ao fio, conforme ilustrado na Figura\(\PageIndex{3a}\). Quando não há corrente no fio, as agulhas se alinham com o campo magnético da Terra. No entanto, quando uma grande corrente é enviada através do fio, a bússola agulha todos os pontos tangentes ao círculo. Limalhas de ferro polvilhadas em uma superfície horizontal também delineiam as linhas de campo, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3b}\).
Três fios ficam nos cantos de um quadrado, todos transportando correntes de 2 amperes para a página, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\). Calcule a magnitude do campo magnético no outro canto do quadrado, ponto P, se o comprimento de cada lado do quadrado for de 1 cm.
Estratégia
O campo magnético devido a cada fio no ponto desejado é calculado. A distância diagonal é calculada usando o teorema de Pitágoras. Em seguida, a direção da contribuição de cada campo magnético é determinada desenhando um círculo centrado na ponta do fio e saindo em direção ao ponto desejado. A direção da contribuição do campo magnético desse fio é tangencial à curva. Por fim, trabalhando com esses vetores, o resultado é calculado.
Solução
Os fios 1 e 3 têm a mesma magnitude de contribuição do campo magnético no ponto P:
\[B_1 = B_3 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R} = \dfrac{(4\pi \times 10^{-7} T \cdot m/A)(2 \, A)}{2\pi (0.01 \, m)} = 4 \times 10^{-5}T.\]
O fio 2 tem uma distância maior e uma contribuição do campo magnético no ponto P de:
\[B_2 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi R} = \dfrac{(4\pi \times 10^{-7}T \cdot m/A)(2 \, A)}{2 \pi (0.01414 \, m)} = 3 \times 10^{-5}T.\]
Os vetores para cada uma dessas contribuições do campo magnético são mostrados.
O campo magnético na direção x tem contribuições do fio 3 e do componente x do fio 2: