11.7: O efeito Hall
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Ao final desta seção, você poderá:
- Explique um cenário em que os campos magnético e elétrico são cruzados e suas forças se equilibram conforme uma partícula carregada se move através de um seletor de velocidade
- Compare como os transportadores de carga se movem em um material condutor e explique como isso se relaciona com o efeito Hall
Em 1879, E.H. Hall desenvolveu um experimento que pode ser usado para identificar o sinal dos portadores de carga predominantes em um material condutor. De uma perspectiva histórica, esse experimento foi o primeiro a demonstrar que os portadores de carga na maioria dos metais são negativos.
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Investigamos o efeito Hall estudando o movimento dos elétrons livres ao longo de uma faixa metálica de largura l em um campo magnético constante (Figura\(\PageIndex{1}\)). Os elétrons estão se movendo da esquerda para a direita, então a força magnética que eles experimentam os empurra para a borda inferior da faixa. Isso deixa um excesso de carga positiva na borda superior da faixa, resultando em um campo elétrico E direcionado de cima para baixo. A concentração de carga em ambas as bordas aumenta até que a força elétrica nos elétrons em uma direção seja equilibrada pela força magnética sobre eles na direção oposta. O equilíbrio é alcançado quando:
\[eE = ev_d B \label{11.24}\]
onde e é a magnitude da carga eletrônica,\(v_d\) é a velocidade de deriva dos elétrons e E é a magnitude do campo elétrico criado pela carga separada. Resolver isso para a velocidade de deriva resulta em
\[v_d = \frac{E}{B}. \label{11.25}\]
Um cenário em que os campos elétrico e magnético são perpendiculares um ao outro é chamado de situação de campo cruzado. Se esses campos produzem forças iguais e opostas em uma partícula carregada com a velocidade que iguala as forças, essas partículas são capazes de passar por um aparelho, chamado seletor de velocidade, sem deflexão. Essa velocidade é representada na Equação\ ref {11.26}. Qualquer outra velocidade de uma partícula carregada enviada para os mesmos campos seria desviada pela força magnética ou força elétrica.
Voltando ao efeito Hall, se a corrente na faixa for I, então de Corrente e Resistência, sabemos que
\[I = nev_dA \label{11.26}\]
onde n é o número de portadores de carga por volume e A é a área da seção transversal da faixa. A combinação das equações para\(v_d\) e I resulta em
\[I = ne\left(\frac{E}{B}\right)A. \label{11.27}\]
O campo E está relacionado à diferença de potencial V entre as bordas da faixa por
\[E = \frac{V}{l}. \label{11.28}\]
A quantidade\(V\) é chamada de potencial Hall e pode ser medida com um voltímetro. Finalmente, combinar as equações para I e E nos dá
\[V = \dfrac{IBl}{neA} \label{hallV}\]
onde a borda superior da faixa na Figura\(\PageIndex{1}\) é positiva em relação à borda inferior.
Também podemos combinar a Equação\ ref {11.24} e a Equação\ ref {11.28} para obter uma expressão para a tensão Hall em termos do campo magnético:
\[V = Blv_d.\]
E se os portadores de carga forem positivos, como na Figura\(\PageIndex{1}\)? Para a mesma corrente I, a magnitude de V ainda é dada pela Equação\ ref {hallV}. No entanto, a borda superior agora é negativa em relação à borda inferior. Portanto, simplesmente medindo o sinal de V, podemos determinar o sinal da maioria dos portadores de carga em um metal.
As medições do potencial Hall mostram que os elétrons são os portadores de carga dominantes na maioria dos metais. No entanto, os potenciais Hall indicam que, para alguns metais, como tungstênio, berílio e muitos semicondutores, a maioria dos portadores de carga é positiva. Acontece que a condução por carga positiva é causada pela migração de sítios eletrônicos ausentes (chamados orifícios) nos íons. A condução por furos é estudada posteriormente em Física da Matéria Condensada.
O efeito Hall pode ser usado para medir campos magnéticos. Se um material com uma densidade conhecida de portadores de carga n é colocado em um campo magnético e V é medido, então o campo pode ser determinado a partir da Equação\ ref {11.29}. Em laboratórios de pesquisa onde os campos de eletroímãs usados para medições precisas precisam ser extremamente estáveis, uma “sonda Hall” é comumente usada como parte de um circuito eletrônico que regula o campo.
Um feixe de elétrons entra em um seletor de velocidade de campo cruzado com campos magnéticos e elétricos de 2,0 mT e\(6.0 \times 10^3 \, N/C\), respectivamente. (a) Qual deve ser a velocidade do feixe de elétrons para atravessar os campos cruzados sem desviar? Se o campo elétrico estiver desligado, (b) qual é a aceleração do feixe de elétrons e (c) qual é o raio do movimento circular resultante?
Estratégia
O feixe de elétrons não é desviado por nenhum dos campos magnético ou elétrico se essas forças estiverem equilibradas. Com base nessas forças balanceadas, calculamos a velocidade do feixe. Sem o campo elétrico, somente a força magnética é usada na segunda lei de Newton para encontrar a aceleração. Por fim, o raio do caminho é baseado no movimento circular resultante da força magnética.
Solução
- A velocidade do feixe não perturbado de elétrons com campos cruzados é calculada pela Equação\ ref {11.25}:\[v_d = \frac{E}{B} = \frac{6 \times 10^3 N/C}{2 \times 10^{-3} T} = 3 \times 10^6 m/s.\]
- A aceleração é calculada a partir da força líquida do campo magnético, igual à massa vezes aceleração. A magnitude da aceleração é:\[ma = qvB\]\[a = \frac{qvB}{m} = \frac{(1.6 \times 10^{-19}C)(3 \times 10^6 m/s)(2 \times 10^{-3}T)}{0.1 \times 10^{-31}kg} = 1.1 \times 10^{15} m/s^2.\]
- O raio do caminho vem de um equilíbrio das forças circulares e magnéticas, ou Equação\ ref {11.25}:\[r = \frac{mv}{qB} = \frac{(9.1 \times 10^{-31}kg)(3 \times 10^6 m/s)}{(1.6 \times 10^{-19}C)(2 \times 10^{-3}T)} = 8.5 \times 10^{-3} m.\]
Significância
Se os elétrons no feixe tivessem velocidades acima ou abaixo da resposta na parte (a), esses elétrons teriam uma força líquida mais forte exercida pelo campo magnético ou elétrico. Portanto, somente os elétrons nessa velocidade específica conseguiriam passar.
A figura\(\PageIndex{2}\) mostra uma fita prateada cuja seção transversal é de 1,0 cm por 0,20 cm. A fita carrega uma corrente de 100 A da esquerda para a direita e está em um campo magnético uniforme de magnitude 1,5 T. Usando um valor de densidade de\(n = 5.9 \times 10^{28}\) elétrons por metro cúbico para prata, encontre o potencial Hall entre as bordas da fita.
Estratégia
Como a maioria dos portadores de carga são elétrons, a polaridade da tensão Hall é a indicada na figura. O valor da tensão Hall é calculado usando a Equação\ ref {hallV}.
Solução
Ao calcular a tensão Hall, precisamos conhecer a corrente através do material, do campo magnético, do comprimento, do número de portadores de carga e da área. Como todos eles são fornecidos, a tensão Hall é calculada como:
\[\begin{align*} v &= \frac{IBl}{neA} \\[4pt] &= \frac{(100 \, A)(1.5 \, T)(1.0 \times 10^{-2}m)}{(5.9 \times 10^{28} /m^3)(1.6 \times 10^{-19}C)(2.0 \times 10^{-5}m^2)} \\[4pt] &= 7.9 \times 10^{-6}V. \end{align*} \]
Significância
Como neste exemplo, o potencial Hall geralmente é muito pequeno e é necessária uma experimentação cuidadosa com equipamentos sensíveis para sua medição.
Uma sonda Hall consiste em uma tira de cobre,\(n = 8.5 \times 10^{28}\) elétrons por metro cúbico, que tem 2,0 cm de largura e 0,10 cm de espessura. Qual é o campo magnético quando I = 50 A e o potencial Hall é
- \(4.0 \, \mu V\)e
- \(6.0 \, \mu V\)?
- Responda a
-
1,1 T
- Resposta b
-
1,6 T