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11.6: Força e torque em um circuito de corrente

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Avalie a força líquida em um circuito de corrente em um campo magnético externo
    • Avalie o torque líquido em um circuito de corrente em um campo magnético externo
    • Defina o momento de dipolo magnético de um circuito de corrente

    Os motores são a aplicação mais comum de força magnética em fios transportadores de corrente. Os motores contêm laços de fio em um campo magnético. Quando a corrente passa pelas alças, o campo magnético exerce torque nas alças, que giram um eixo. A energia elétrica é convertida em trabalho mecânico no processo. Uma vez que a área da superfície do circuito está alinhada com o campo magnético, a direção da corrente é invertida, então há um torque contínuo no circuito (Figura\(\PageIndex{1}\)). Essa reversão da corrente é feita com comutadores e escovas. O comutador está configurado para reverter o fluxo de corrente nos pontos de ajuste para manter o movimento contínuo no motor. Um comutador básico tem três áreas de contato para evitar e pontos mortos onde o circuito teria torque instantâneo zero nesse ponto. As escovas pressionam contra o comutador, criando contato elétrico entre as partes do comutador durante o movimento de rotação.

    Um esquema de um motor d c que consiste em um ímã com uma folga horizontal, uma fonte de alimentação com cabos conectados às escovas e um fio a é dobrado em um laço retangular. As extremidades do fio são conectadas aos contatos que se conectam às escovas da fonte de alimentação quando o laço está na horizontal. Quando o laço é vertical, eles se alinham com o espaço entre os contatos. O pólo norte do ímã está à esquerda, o pólo sul à direita. Figura a: O laço é horizontal e as escovas entram em contato com o laço. Uma corrente no sentido horário (olhando para baixo) flui pelo loop, então a corrente no segmento esquerdo do loop flui para a página e a corrente no segmento direito flui para fora da página. A força magnética no segmento esquerdo está para baixo e no segmento direito está para cima. O loop gira no sentido anti-horário (olhando para a página). Figura b: O laço é vertical. As escovas não estão em contato com o laço. Nenhum fluxo de corrente e nenhuma força é exercida.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Uma versão simplificada de um motor elétrico de corrente contínua. (a) O laço de arame retangular é colocado em um campo magnético. As forças nos fios mais próximos dos pólos magnéticos (N e S) são opostas na direção, conforme determinado pela regra 1 da mão direita-1. Portanto, o circuito tem um torque líquido e gira para a posição mostrada em (b). (b) Os pincéis agora tocam os segmentos do comutador para que nenhuma corrente flua pelo circuito. Nenhum torque atua no loop, mas o loop continua girando a partir da velocidade inicial dada a ele em parte (a). No momento em que o circuito vira, a corrente flui pelos fios novamente, mas agora na direção oposta, e o processo se repete como na parte (a). Isso causa uma rotação contínua do circuito.

    Em um campo magnético uniforme, um circuito de fio transportador de corrente, como um laço em um motor, experimenta forças e torques no circuito. \(\PageIndex{1}\)A figura mostra um laço retangular de fio que carrega uma corrente I e tem lados de comprimentos a e b. O circuito está em um campo magnético uniforme:\(\vec{B} = B\hat{j}\). A força magnética em um fio transportador de corrente reta de comprimento l é dada por\(I\vec{l} \times \vec{B}\). Para encontrar a força líquida no loop, temos que aplicar essa equação a cada um dos quatro lados. A força no lado 1 é

    \[\vec{F}_1 = IaB \sin(90^o - \theta) \hat{i} = IaB \cos\theta \hat{i}\]

    onde a direção foi determinada com o RHR-1. A corrente no lado 3 flui na direção oposta à do lado 1, então

    \[\vec{F}_3 = -IaB \sin(90^o + \theta)\hat{i} = -IaB \cos \theta \hat{i}\]

    As correntes nos lados 2 e 4 são perpendiculares\(\vec{B}\) e as forças nesses lados são

    \[\vec{F}_2 = IbB\hat{k}\]

    \[\vec{F}_4 = -IbB\hat{k}.\]

    Agora podemos encontrar a força líquida no loop:

    \[\sum \vec{F}_{net} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 = 0.\]

    Embora esse resultado\((\sum F = 0)\) tenha sido obtido para um circuito retangular, é muito mais geral e vale para loops transportadores de corrente de formas arbitrárias; ou seja, não há força líquida em um circuito de corrente em um campo magnético uniforme.

    Uma ilustração de um laço retangular carregando uma corrente I. A corrente no loop é no sentido anti-horário quando vista da direção y positiva, olhando para a origem. O loop está em um campo magnético uniforme, B, que está apontando para a direita. A Figura a mostra uma visão tridimensional do loop. Os lados superior e inferior são paralelos ao eixo x e têm comprimento b. O lado superior está em y = 0 e z positivo com a corrente na direção x positiva. O lado inferior está em y positivo e z = 0 e tem corrente na direção negativa x. Os dois lados restantes têm comprimento b. Um está em x=0 e tem corrente subindo, e um está em x positivo e tem corrente subindo. Esses lados são inclinados em um ângulo teta na parte superior em relação ao eixo z. A direção do vetor unitário n que é normal à área do laço retangular é mostrada. As forças em cada um dos lados também são mostradas. F 1 é a força no lado inclinado em x positivo e aponta na direção x positiva. F 2 é a força na parte superior e aponta para cima. F 3 é a força no lado inclinado em x=0 e aponta na direção x negativa. F 4 é a força na parte inferior e aponta para baixo. A Figura b mostra uma vista lateral do laço, de modo que estamos olhando para o plano y z e vemos apenas o lado inclinado, que forma um ângulo de teta com a vertical na parte superior. A corrente está saindo para nós na parte superior do loop, e a corrente vai para a página na parte inferior. A força F 2 na parte superior está para cima, a força F 4 na parte inferior está para baixo. O vetor n hat aponta para cima e para a direita, em um ângulo de teta em relação ao campo B. O ponto de articulação O sobre o qual estamos calculando o torque é mostrado a uma distância x da parte superior do circuito e a-x da parte inferior.
    Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Um circuito de corrente retangular em um campo magnético uniforme está sujeito a um torque líquido, mas não a uma força líquida. (b) Uma vista lateral da bobina.

    Para encontrar o torque líquido no circuito de corrente mostrado na Figura\(\PageIndex{2a}\), primeiro consideramos\(F_1\)\(F_3\) e. Como eles têm a mesma linha de ação e são iguais e opostos, a soma de seus torques sobre qualquer eixo é zero (consulte Rotação de eixo fixo). Portanto, se houver algum torque no circuito, ele deve ser fornecido por\(F_2\)\(F_4\) e. Vamos calcular os torques ao redor do eixo que passa pelo ponto O da Figura\(\PageIndex{2b}\) (uma vista lateral da bobina) e é perpendicular ao plano da página. O ponto O é uma distância x do lado 2 e uma\((a - x)\) distância do lado 4 do loop. Os braços de momento de\(F_2\) e\(F_4\) são\(x \, sin \, \theta\) e\((a - x)\space sin \, \theta\), respectivamente, então o torque líquido no circuito é

    \[\sum \vec{\tau} = \vec{\tau}_1 + \vec{\tau}_2 + \vec{\tau}_3 + \vec{\tau}_4 = F_2 x \, sin \, \theta \hat{i} - F_4 (a - x) \, sin \, (\theta) \hat{i}\]\[- IbBx \, sin \, \theta \hat{i} - IbB(a - x) sin \, \theta \hat{i}.\]

    Isso simplifica para\[\vec{\tau} = - IAB \, sin \, \theta \hat{i}\] onde\(A = ab\) está a área do loop.

    Observe que esse torque é independente de x; portanto, é independente de onde o ponto O está localizado no plano do circuito atual. Consequentemente, o loop experimenta o mesmo torque do campo magnético em qualquer eixo no plano do loop e paralelo ao eixo x.

    Um circuito fechado de corrente é comumente chamado de dipolo magnético e o termo IA é conhecido como momento de dipolo magnético\(\mu\). Na verdade, o momento de dipolo magnético é um vetor definido como

    \[\vec{\mu} = IA \hat{n}\]onde\(\hat{n}\) é um vetor unitário direcionado perpendicularmente ao plano do loop (veja a Figura\(\PageIndex{2}\)). A direção de\(\hat{n}\) é obtida com o RHR-2 — se você enrolar os dedos da mão direita na direção do fluxo de corrente no circuito, seu polegar aponta para o lado\(\hat{n}\). Se o circuito contiver N voltas de fio, seu momento de dipolo magnético é dado por

    \[\vec{\mu} = NIA\hat{n}.\]

    Em termos do momento de dipolo magnético, o torque em um circuito de corrente devido a um campo magnético uniforme pode ser escrito simplesmente como

    \[\vec{\tau} = \vec{\mu} \times \vec{B}.\]

    Essa equação vale para um loop de corrente em um plano bidimensional de forma arbitrária.

    Usando um cálculo análogo ao encontrado em Capacitância para um dipolo elétrico, a energia potencial de um dipolo magnético é

    \[U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B}.\]

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Forces and Torques on Current-Carrying Loops

    Um circuito de corrente circular de raio de 2,0 cm carrega uma corrente de 2,0 mA. (a) Qual é a magnitude de seu momento de dipolo magnético? (b) Se o dipolo estiver orientado a 30 graus para um campo magnético uniforme de magnitude 0,50 T, qual é a magnitude do torque que ele experimenta e qual é sua energia potencial?

    Estratégia

    O momento de dipolo é definido pela corrente vezes a área do loop. A área do loop pode ser calculada a partir da área do círculo. O torque no circuito e a energia potencial são calculados a partir da identificação do momento magnético, do campo magnético e do ângulo orientado no campo.

    Solução

    1. O momento magnético μ é calculado pela corrente vezes a área do circuito ou\(\pi r^2\). \[\mu = IA = (2.0 \times 10^{-3} A)(\pi (0.02 \, m)^2) = 2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2\]
    2. O torque e a energia potencial são calculados identificando o momento magnético, o campo magnético e o ângulo entre esses dois vetores. Os cálculos dessas quantidades são:\[\tau = \vec{\mu} \times \vec{B} = \mu B \, sin \, \theta = (2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2)(0.50 T) sin(30^o) = 6.3 \times 10^{-7}N \cdot m\]\[U = -\vec{\mu} \cdot \vec{B} = - \mu B cos \theta = - (2.5 \times 10^{-6} A \cdot m^2)(0.50 T) cos (30^o) = -1.1 \times 10^{-6}J.\]

    Significância

    O conceito de momento magnético no nível atômico é discutido no próximo capítulo. O conceito de alinhar o momento magnético com o campo magnético é a funcionalidade de dispositivos como motores magnéticos, em que a troca do campo magnético externo resulta em uma rotação constante do circuito enquanto ele tenta se alinhar com o campo para minimizar sua energia potencial.

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Em que orientação um dipolo magnético teria que estar para produzir (a) um torque máximo em um campo magnético? (b) Uma energia máxima do dipolo?

    Solução

    a. alinhado ou antialinhado; b. perpendicular

    Contribuidores e atribuições

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