11.5: Força magnética em um condutor transportador de corrente
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Ao final desta seção, você poderá:
- Determine a direção na qual um fio transportador de corrente experimenta uma força em um campo magnético externo
- Calcule a força em um fio transportador de corrente em um campo magnético externo
Cargas móveis experimentam uma força em um campo magnético. Se essas cargas móveis estiverem em um fio, ou seja, se o fio estiver carregando uma corrente, o fio também deverá sofrer uma força. No entanto, antes de discutirmos a força exercida sobre uma corrente por um campo magnético, primeiro examinamos o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. Estamos estudando dois efeitos separados aqui que interagem estreitamente: um fio transportador de corrente gera um campo magnético e o campo magnético exerce uma força sobre o fio transportador de corrente.
Campos magnéticos produzidos por correntes elétricas
Ao discutir descobertas históricas em magnetismo, mencionamos a descoberta de Oersted de que um fio transportando uma corrente elétrica fazia com que uma bússola próxima se desviasse. Foi estabelecida uma conexão de que correntes elétricas produzem campos magnéticos. (Essa conexão entre eletricidade e magnetismo é discutida com mais detalhes em Fontes de campos magnéticos.)
A agulha da bússola perto do fio experimenta uma força que alinha a agulha tangente a um círculo ao redor do fio. Portanto, um fio transportador de corrente produz laços circulares de campo magnético. Para determinar a direção do campo magnético gerado por um fio, usamos uma segunda regra à direita. No RHR-2, seu polegar aponta na direção da corrente enquanto seus dedos envolvem o fio, apontando na direção do campo magnético produzido (Figura\(\PageIndex{1}\)). Se o campo magnético estivesse chegando até você ou saindo da página, nós o representamos com um ponto. Se o campo magnético estivesse entrando na página, representamos isso com um ×.
Esses símbolos vêm da consideração de uma seta vetorial: uma seta apontada para você, do seu ponto de vista, pareceria um ponto ou a ponta de uma flecha. Uma flecha apontada para longe de você, do seu ponto de vista, pareceria uma cruz ou um ×. Um esboço composto dos círculos magnéticos é mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\), onde a intensidade do campo diminui à medida que você se afasta do fio por laços mais separados.
Calculando a força magnética
A corrente elétrica é um movimento ordenado de carga. Um fio transportador de corrente em um campo magnético deve, portanto, sofrer uma força devido ao campo. Para investigar essa força, vamos considerar a seção infinitesimal do fio, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\). O comprimento e a área da seção transversal da seção são dl e A, respectivamente, então seu volume é\(V = A \cdot dl\). O fio é formado a partir de um material que contém n portadores de carga por unidade de volume, portanto, o número de portadores de carga na seção é\(nA \cdot dl\). Se os portadores de carga se moverem com\(\vec{v}_d\) a velocidade de deriva, a corrente I no fio é (de Corrente e Resistência)
\[I = neAv_d.\]
A força magnética em qualquer portador de carga é\(e\vec{v}_d \times \vec{B}\), então a força magnética total\(d\vec{F}\) nos portadores de\(nA\cdot dl\) carga na seção do fio é
\[d\vec{F} = (nA \cdot dl)e\vec{v}_d \times \vec{B}.\]
Podemos definir dl como um vetor de comprimento dl apontando ao longo\(\vec{v}_d\), o que nos permite reescrever essa equação como
\[d\vec{F} = neAv_dd\vec{l} \times \vec{B},\]ou
\[d\vec{F} = Id\vec{l} \times \vec{B}. \label{11.12}\]
Essa é a força magnética na seção do fio. Observe que, na verdade, é a força líquida exercida pelo campo sobre os próprios portadores de carga. A direção dessa força é dada pela RHR-1, onde você aponta os dedos na direção da corrente e os enrola em direção ao campo. Seu polegar então aponta na direção da força.
Para determinar a força magnética\(\vec{F}\) em um fio de comprimento e forma arbitrários, devemos integrar a Equação\ ref {11.12} em todo o fio. Se a seção do fio for reta e B for uniforme, os diferenciais da equação se tornarão quantidades absolutas, nos dando
\[\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}.\]
Essa é a força em um fio reto que transporta corrente em um campo magnético uniforme.
Um fio de 50 cm de comprimento e 10 g de massa é suspenso em um plano horizontal por um par de cabos flexíveis (Figura\(\PageIndex{3}\)). O fio é então submetido a um campo magnético constante de magnitude 0,50 T, que é direcionado conforme mostrado. Quais são a magnitude e a direção da corrente no fio necessárias para remover a tensão nos cabos de suporte?
Estratégia
A partir do diagrama de corpo livre na figura, as tensões nos cabos de suporte chegam a zero quando as forças gravitacionais e magnéticas se equilibram. Usando o RHR-1, descobrimos que a força magnética aponta para cima. Podemos então determinar a corrente I igualando as duas forças.
Solução
Equacione as duas forças de peso e força magnética no fio:
\[mg = IlB.\]Assim,
\[I = \frac{mg}{lB} = \frac{(0.010 \, kg}{9.8 \, m/s^2)}{(0.50 \, m)(0.50 \, T)} = 0.39 \, A.\]
Significância
Esse grande campo magnético cria uma força significativa em um pedaço de fio para neutralizar o peso do fio.
Um fio longo e rígido ao longo do eixo y carrega uma corrente de 5,0 A fluindo na direção y positiva. (a) Se um campo magnético constante de magnitude 0,30 T for direcionado ao longo do eixo x positivo, qual é a força magnética por unidade de comprimento no fio? (b) Se um campo magnético constante de 0,30 T for direcionado 30 graus do eixo + x em direção ao eixo + y, qual é a força magnética por unidade de comprimento no fio?
Estratégia
A força magnética em um fio transportador de corrente em um campo magnético é dada por\(\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B}\). Para a parte a, como a corrente e o campo magnético são perpendiculares nesse problema, podemos simplificar a fórmula para nos dar a magnitude e encontrar a direção através do RHR-1. O ângulo θ é 90 graus, o que significa\(sin \, \theta = 1.\) Além disso, o comprimento pode ser dividido no lado esquerdo para encontrar a força por unidade de comprimento. Para a parte b, a duração atual dos tempos é escrita em notação vetorial unitária, bem como no campo magnético. Depois que o produto cruzado é obtido, a direcionalidade é evidente pelo vetor unitário resultante.
Solução
- Começamos com a fórmula geral da força magnética em um fio. Estamos procurando a força por unidade de comprimento, então dividimos pelo comprimento para trazê-la para o lado esquerdo. Também definimos\(sin \, \theta\). A solução, portanto, é a\[F = IlB \, sin \, \theta\]\[\frac{F}{l} = (5.0 \, A)(0.30 \, T)\]\[\frac{F}{l} = 1.5 \, N/m.\] direcionalidade: aponte os dedos na direção y positiva e enrole os dedos na direção x positiva. Seu polegar apontará na\(-\vec{k}\) direção. Portanto, com a direcionalidade, a solução é\[\frac{\vec{F}}{l} = -1.5 \vec{k} \, N/m.\]
- A duração atual dos tempos e o campo magnético são escritos em notação vetorial unitária. Em seguida, pegamos o produto cruzado para encontrar a força:\[\vec{F} = I\vec{l} \times \vec{B} = (5.0 A) l\hat{j} \times (0.30 T \, cos(30^o)\hat{i}\]\[\vec{F}/l = -1.30 \hat{k} \, N/m.\]
Significância
Esse grande campo magnético cria uma força significativa em um pequeno comprimento de fio. À medida que o ângulo do campo magnético se torna mais alinhado com a corrente no fio, há menos força sobre ele, como visto na comparação das partes a e b.
Um comprimento reto e flexível de fio de cobre é imerso em um campo magnético que é direcionado para a página. (a) Se a corrente do fio correr na direção + x, para que lado o fio se dobrará? (b) Para que lado o fio se curvará se a corrente correr na direção — x?
Solução
a. se inclina para cima; b. se inclina para baixo
Um circuito de corrente circular de raio R carregando uma corrente I é colocado no plano xy. Um campo magnético uniforme constante corta o circuito paralelo ao eixo y (Figura\(\PageIndex{4}\)). Encontre a força magnética na metade superior do loop, na metade inferior do loop e a força total no loop.
Estratégia
A força magnética no circuito superior deve ser escrita em termos da força diferencial atuando em cada segmento do circuito. Se nos integrarmos em cada peça diferencial, resolveremos a força geral nessa seção do circuito. A força no circuito inferior é encontrada de maneira semelhante, e a força total é a adição dessas duas forças.
Solução
Uma força diferencial em um pedaço arbitrário de arame localizado no anel superior é:
\[dF = I B \, sin \, \theta \, dl,\]onde\(\theta\) é o ângulo entre a direção do campo magnético (+ y) e o segmento do fio. Um segmento diferencial está localizado no mesmo raio, então, usando uma fórmula de comprimento de arco, temos:
\[dl = Rd\theta\]
\[dF = IBR \, sin \, \theta \, d\theta.\]
Para encontrar a força em um segmento, nós nos integramos na metade superior do círculo, de 0\(\pi\) a. Isso resulta em:
\[F = IBR \int_0^{\pi} sin \, \theta \, d\theta = IBR(-cos \pi + cos 0) = 2 IBR.\]
A metade inferior do loop é integrada de 0\(\pi\) a zero, fornecendo:
\[F = IBR \int_{\pi}^0 sin \, \theta \, d\theta = IBR(-cos 0 + cos \pi) = -2 IBR.\]
A força líquida é a soma dessas forças, que é zero.
Significância
A força total em qualquer circuito fechado em um campo magnético uniforme é zero. Mesmo que cada peça do circuito tenha uma força atuando sobre ela, a força líquida no sistema é zero. (Observe que há um torque líquido no circuito, que consideramos na próxima seção.)