10.3: Resistores em série e paralelos

objetivos de aprendizagem

Ao final da seção, você poderá:

• Defina o termo resistência equivalente
• Calcule a resistência equivalente dos resistores conectados em série
• Calcule a resistência equivalente dos resistores conectados em paralelo

Em Corrente e Resistência, descrevemos o termo “resistência” e explicamos o design básico de um resistor. Basicamente, um resistor limita o fluxo de carga em um circuito e é um dispositivo ôhmico onde\(V = IR\). A maioria dos circuitos tem mais de um resistor. Se vários resistores estiverem conectados juntos e conectados a uma bateria, a corrente fornecida pela bateria dependerá da resistência equivalente do circuito.

A resistência equivalente de uma combinação de resistores depende de seus valores individuais e de como eles estão conectados. As combinações mais simples de resistores são conexões em série e paralelas (Figura\(\PageIndex{1}\)). Em um circuito em série, a corrente de saída do primeiro resistor flui para a entrada do segundo resistor; portanto, a corrente é a mesma em cada resistor. Em um circuito paralelo, todos os fios do resistor em um lado dos resistores são conectados juntos e todos os fios do outro lado estão conectados juntos. No caso de uma configuração paralela, cada resistor tem a mesma queda de potencial, e as correntes em cada resistor podem ser diferentes, dependendo do resistor. A soma das correntes individuais é igual à corrente que flui para as conexões paralelas.

Figura\(\PageIndex{1}\): (a) Para uma conexão em série de resistores, a corrente é a mesma em cada resistor. (b) Para uma conexão paralela de resistores, a tensão é a mesma em cada resistor.

Resistores em série

Diz-se que os resistores estão em série sempre que a corrente flui pelos resistores sequencialmente. Considere a Figura\(\PageIndex{2}\), que mostra três resistores em série com uma tensão aplicada igual\(V_{ab}\) a. Como há apenas um caminho para as cargas fluírem, a corrente é a mesma em cada resistor. A resistência equivalente de um conjunto de resistores em uma conexão em série é igual à soma algébrica das resistências individuais.

Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Três resistores conectados em série a uma fonte de tensão. (b) O circuito original é reduzido a uma resistência equivalente e a uma fonte de tensão.

Na Figura\(\PageIndex{2}\), a corrente proveniente da fonte de tensão flui através de cada resistor, então a corrente através de cada resistor é a mesma. A corrente através do circuito depende da tensão fornecida pela fonte de tensão e da resistência dos resistores. Para cada resistor, ocorre uma queda potencial igual à perda de energia potencial elétrica à medida que uma corrente viaja por cada resistor. De acordo com a lei de Ohm, a queda de potencial\(V\) em um resistor quando uma corrente passa por ele é calculada usando a equação\(V = IR\), onde\(I\) está a corrente em amperes (\(A\)) e\(R\) é a resistência em ohms\((\Omega)\). Como a energia é conservada e a tensão é igual à energia potencial por carga, a soma da tensão aplicada ao circuito pela fonte e das quedas potenciais nos resistores individuais ao redor de um circuito deve ser igual a zero:

\[\sum_{i = 1}^N V_i = 0.\]

Essa equação é frequentemente chamada de lei de loop de Kirchhoff, que examinaremos mais detalhadamente mais adiante neste capítulo. Para a Figura\(\PageIndex{2}\), a soma da queda potencial de cada resistor e da tensão fornecida pela fonte de tensão deve ser igual a zero:

\[\begin{align*} V - V_1 - V_2 - V_3 &= 0, \\[4pt] V &= V_1 + V_2 + V_3, \\[4pt] &= IR_1 + IR_2 + IR_3, \end{align*}\]

Resolvendo para\(I\)

\[\begin{align*} I &= \frac{V}{R_1 + R_2 + R_3} \\[4pt] &= \frac{V}{R_{S}}. \end{align*}\]

Como a corrente em cada componente é a mesma, a igualdade pode ser simplificada para uma resistência equivalente (\(R_{S}\)), que é apenas a soma das resistências dos resistores individuais.

Resistência equivalente em circuitos em série

Qualquer número de resistores pode ser conectado em série. Se\(N\) os resistores estiverem conectados em série, a resistência equivalente será

\[R_{S} = R_1 + R_2 + R_3 + . . . + R_{N-1} + R_N = \sum_{i=1}^N R_i. \label{equivalent resistance series}\]

Um resultado dos componentes conectados em um circuito em série é que, se algo acontecer com um componente, isso afeta todos os outros componentes. Por exemplo, se várias lâmpadas estiverem conectadas em série e uma lâmpada queimar, todas as outras lâmpadas ficarão escuras.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Equivalent Resistance, Current, and Power in a Series Circuit

Uma bateria com uma tensão terminal de 9 V é conectada a um circuito composto por quatro\(20 \, \Omega\) e um\(10 \, \Omega\) resistores, todos em série (Figura\(\PageIndex{3}\)). Suponha que a bateria tenha uma resistência interna insignificante.

1. Calcule a resistência equivalente do circuito.
2. Calcule a corrente através de cada resistor.
3. Calcule a queda potencial em cada resistor.
4. Determine a potência total dissipada pelos resistores e a energia fornecida pela bateria.

Figura\(\PageIndex{3}\): Um circuito em série simples com cinco resistores.

Estratégia

Em um circuito em série, a resistência equivalente é a soma algébrica das resistências. A corrente através do circuito pode ser encontrada na lei de Ohm e é igual à tensão dividida pela resistência equivalente. A queda potencial em cada resistor pode ser encontrada usando a lei de Ohm. A potência dissipada por cada resistor pode ser encontrada usando\(P = I^2R\), e a potência total dissipada pelos resistores é igual à soma da potência dissipada por cada resistor. A energia fornecida pela bateria pode ser encontrada usando\(P = I\epsilon\).

Solução

1. A resistência equivalente é a soma algébrica das resistências (Equação\ ref {série de resistência equivalente}):\[\begin{align*} R_{S} &= R_1 + R_2 + R_3 + R_4 + R_5 \\[4pt] &= 20 \, \Omega + 20 \, \Omega + 20 \, \Omega + 20 \, \Omega + 10 \, \Omega = 90 \, \Omega. \end{align*}\]
2. A corrente através do circuito é a mesma para cada resistor em um circuito em série e é igual à tensão aplicada dividida pela resistência equivalente:\[I = \frac{V}{R_{S}} = \frac{9 \, V}{90 \, \Omega} = 0.1 \, A. \nonumber\] Observe que a soma das quedas potenciais em cada resistor é igual à tensão fornecida pela bateria.
3. A potência dissipada por um resistor é igual a\(P = I^2R\), e a energia fornecida pela bateria é igual\(P = I\epsilon\) a. \[P_1 = P_2 = P_3 = P_4 = (0.1 \, A)^2 (20 \, \Omega) = 0.2 \, W,\nonumber\]\[P_5 = (0.1 \, A)^2 (10 \, \Omega) = 0.1 \, W,\nonumber\]\[P_{dissipated} = 0.2 \, W + 0.2 \, W + 0.2 \, W + 0.2 \, W + 0.1 \, W = 0.9 \, W,\nonumber\]\[P_{source} = I\epsilon = (0.1 \, A)(9 \, V) = 0.9 \, W. \nonumber\]

Significância

Existem vários motivos pelos quais usaríamos vários resistores em vez de apenas um resistor com uma resistência igual à resistência equivalente do circuito. Talvez um resistor do tamanho necessário não esteja disponível, precisemos dissipar o calor gerado ou queiramos minimizar o custo dos resistores. Cada resistor pode custar de alguns centavos a alguns dólares, mas quando multiplicado por milhares de unidades, a economia de custos pode ser apreciável.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Algumas cordas de luzes natalinas em miniatura são feitas para encurtar quando uma lâmpada se queima. O dispositivo que causa o curto-circuito é chamado de derivação, o que permite que a corrente flua pelo circuito aberto. Um “curto” é como colocar um pedaço de arame sobre o componente. As lâmpadas geralmente são agrupadas em séries de nove lâmpadas. Se muitas lâmpadas queimarem, os shunts eventualmente se abrirão. O que causa isso?

Resposta

A resistência equivalente de nove lâmpadas conectadas em série é 9 R. A corrente é\(I = V/9 \, R\). Se uma lâmpada queimar, a resistência equivalente é de 8 R e a tensão não muda, mas a corrente aumenta\((I = V/8 \, R\). À medida que mais lâmpadas se queimam, a corrente se torna ainda maior. Eventualmente, a corrente fica muito alta, queimando a derivação.

Vamos resumir brevemente as principais características dos resistores em série:

1. As resistências em série se somam para obter a resistência equivalente (Equação\ ref {série de resistência equivalente}):\[R_{S} = R_1 + R_2 + R_3 + . . . + R_{N-1} + R_N = \sum_{i=1}^N R_i.\]
2. A mesma corrente flui através de cada resistor em série.
3. Resistores individuais em série não obtêm a tensão total da fonte, mas a dividem. A queda total de potencial em uma configuração em série de resistores é igual à soma das quedas potenciais em cada resistor.

Resistores em paralelo

A figura\(\PageIndex{4}\) mostra resistores em paralelo, conectados a uma fonte de tensão. Os resistores estão em paralelo quando uma extremidade de todos os resistores é conectada por um fio contínuo de resistência insignificante e a outra extremidade de todos os resistores também é conectada uma à outra por meio de um fio contínuo de resistência insignificante. A queda potencial em cada resistor é a mesma. A corrente através de cada resistor pode ser encontrada usando a lei de Ohm\(I = V/R\), onde a tensão é constante em cada resistor. Por exemplo, os faróis, o rádio e outros sistemas de um automóvel são conectados em paralelo, de forma que cada subsistema utilize a voltagem total da fonte e possa operar de forma totalmente independente. O mesmo se aplica à fiação em sua casa ou em qualquer prédio.

Figura\(\PageIndex{4}\): Dois resistores conectados em paralelo a uma fonte de tensão. (b) O circuito original é reduzido a uma resistência equivalente e a uma fonte de tensão.

A corrente que flui da fonte de tensão na Figura\(\PageIndex{4}\) depende da tensão fornecida pela fonte de tensão e da resistência equivalente do circuito. Nesse caso, a corrente flui da fonte de tensão e entra em uma junção, ou nó, onde o circuito se divide fluindo através de resistores\(R_1\)\(R_2\) e. Conforme as cargas fluem da bateria, algumas passam pelo resistor\(R_1\) e outras passam pelo resistor\(R_2\). A soma das correntes que fluem para uma junção deve ser igual à soma das correntes que saem da junção:

\[\sum I_{in} = \sum I_{out}. \nonumber\]

Essa equação é chamada de regra de junção de Kirchhoff e será discutida em detalhes na próxima seção. Na Figura\(\PageIndex{4}\), a regra de junção fornece\(I = I_1 + I_2\). Existem dois loops neste circuito, o que leva às equações\(V = I_1R_1\)\(I_1R_1 = I_2R_2\) e. Observe que a tensão nos resistores em paralelo é a mesma (\(V = V_1 = V_2\)) e a corrente é aditiva:

\[ \begin{align*}  I &= I_1 + I_2 \\[4pt] &= \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_2} \\[4pt] &= \frac{V}{R_1} + \frac{V}{R_2} \\[4pt] &= V \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{V}{R_{P}}\end{align*}\]

Resolvendo para o\(R_{P}\)

\[R_{P} = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)^{-1}. \]

Resistência equivalente em circuitos paralelos

Generalizando para qualquer número de\(N\) resistores, a resistência equivalente\(R_{P}\) de uma conexão paralela está relacionada às resistências individuais por

\[R_{P} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + . . . + \frac{1}{R_{N-1}} + \frac{1}{R_N} \right)^{-1} = \left(\sum_{i=1}^N \frac{1}{R_i} \right)^{-1}. \label{10.3}\]

Essa relação resulta em uma resistência equivalente menor\(R_{P}\) que a menor das resistências individuais. Quando os resistores são conectados em paralelo, mais corrente flui da fonte do que fluiria para qualquer um deles individualmente, então a resistência total é menor.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Analysis of a parallel circuit

Três resistores\(R_1 = 1.00 \, \Omega\),\(R_2 = 2.00 \, \Omega\), e\(R_3 = 2.00 \, \Omega\), estão conectados em paralelo. A conexão paralela é conectada a uma fonte\(V = 3.00 \, V\) de tensão.

1. Qual é a resistência equivalente?
2. Encontre a corrente fornecida pela fonte ao circuito paralelo.
3. Calcule as correntes em cada resistor e mostre que elas se somam para igualar a saída de corrente da fonte.
4. Calcule a potência dissipada por cada resistor.
5. Encontre a potência de saída da fonte e mostre que ela é igual à potência total dissipada pelos resistores.

Estratégia

(a) A resistência total para uma combinação paralela de resistores é encontrada usando a Equação\ ref {10.3}. (Observe que nesses cálculos, cada resposta intermediária é mostrada com um dígito extra.)

(b) A corrente fornecida pela fonte pode ser encontrada na lei de Ohm, substituindo\(R_{P}\) a resistência total\(I = \frac{V}{R_{P}}\).

(c) As correntes individuais são facilmente calculadas a partir da lei de Ohm\(\left(I_i = \frac{V_i}{R_i}\right)\), pois cada resistor recebe a tensão total. A corrente total é a soma das correntes individuais:\[I = \sum_i I_i. \nonumber\]

(d) A potência dissipada por cada resistor pode ser encontrada usando qualquer uma das equações que relacionam potência à corrente, tensão e resistência, uma vez que todas as três são conhecidas. Vamos usar\(P_i = V^2 /R_i\), já que cada resistor recebe tensão total.

(e) A potência total também pode ser calculada de várias maneiras, use\(P = IV\).

Solução

1. A resistência total para uma combinação paralela de resistores é encontrada usando a Equação\ ref {10.3}. A inserção de valores conhecidos fornece\[R_{P} = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)^{-1} = \left(\frac{1}{1.00 \, \Omega} + \frac{1}{2.00 \, \Omega} + \frac{1}{2.00 \, \Omega} \right)^{-1} = 0.50 \, \Omega.\nonumber\] A resistência total com o número correto de dígitos significativos é\(R_{eq} = 0.50 \, \Omega\). Como previsto,\(R_{P}\) é menor do que a menor resistência individual.
2. A corrente total pode ser encontrada na lei de Ohm, substituindo\(R_{P}\) a resistência total. Isso faz com que a\[I = \frac{V}{R_{P}} = \frac{3.00 \, V}{0.50 \, \Omega} = 6.00 \, A.\nonumber\] corrente I para cada dispositivo seja muito maior do que para os mesmos dispositivos conectados em série (veja o exemplo anterior). Um circuito com conexões paralelas tem uma resistência total menor do que os resistores conectados em série.
3. As correntes individuais são facilmente calculadas a partir da lei de Ohm, pois cada resistor recebe a tensão total. Assim,\[I_1 = \frac{V}{R_1} = \frac{3.00 \, V}{1.00 \, \Omega} = 3.00 \, A.\nonumber\] similarmente,\[I_2 = \frac{V}{R_2} = \frac{3.00 \, V}{2.00 \, \Omega} = 1.50 \, A\nonumber\] e\[I_3 = \frac{V}{R_3} = \frac{3.00 \, V}{2.00 \, \Omega} = 1.50 \, A.\nonumber\] A corrente total é a soma das correntes individuais:\[I_1 + I_2 + I_3 = 6.00 \, A.\nonumber\]
4. A potência dissipada por cada resistor pode ser encontrada usando qualquer uma das equações que relacionam potência à corrente, tensão e resistência, já que todas as três são conhecidas. Vamos usar\(P = V^2 /R\), já que cada resistor recebe tensão total. Assim, da\[P_1 = \frac{V^2}{R_1} = \frac{(3.00 \, V)^2}{1.00 \, \Omega} = 9.00 \, W.\nonumber\] mesma forma,\[P_2 = \frac{V^2}{R_2} = \frac{(3.00 \, V)^2}{2.00 \, \Omega} = 4.50 \, W.\nonumber\] e\[P_3 = \frac{V^2}{R_3} = \frac{(3.00 \, V)^2}{2.00 \, \Omega} = 4.50 \, W.\nonumber\]
5. A potência total também pode ser calculada de várias maneiras. Escolhendo\(P = IV\) e inserindo os rendimentos atuais totais\[P = IV = (6.00 \, A)(3.00 \, V) = 18.00 \, W.\nonumber\]

Significância

A potência total dissipada pelos resistores também é de 18,00 W:

\[P_1 + P_2 + P_3 = 9.00 \, W + 4.50 \, W + 4.50 \, W = 18.00 \, W.\nonumber\]

Observe que a potência total dissipada pelos resistores é igual à energia fornecida pela fonte.

Exercício\(\PageIndex{2A}\)

Considere a mesma diferença de potencial\((V = 3.00 \, V)\) aplicada aos mesmos três resistores conectados em série. A resistência equivalente do circuito em série seria maior, menor ou igual aos três resistores em paralelo? A corrente através do circuito em série seria maior, menor ou igual à corrente fornecida pela mesma tensão aplicada ao circuito paralelo? Como a potência dissipada pelo resistor em série se compararia à potência dissipada pelos resistores em paralelo?

Solução

O equivalente do circuito em série seria\(R_{eq} = 1.00 \, \Omega + 2.00 \, \Omega + 2.00 \, \Omega = 5.00 \, \Omega\), que é maior do que a resistência equivalente do circuito paralelo\(R_{eq} = 0.50 \, \Omega\). O resistor equivalente de qualquer número de resistores é sempre maior do que a resistência equivalente dos mesmos resistores conectados em paralelo. A passagem de corrente para o circuito em série seria\(I = \frac{3.00 \, V}{5.00 \, \Omega} = 0.60 \, A\), que é menor do que a soma das correntes através de cada resistor no circuito paralelo,\(I = 6.00 \, A\). Isso não é surpreendente, pois a resistência equivalente do circuito em série é maior. A corrente através de uma conexão em série de qualquer número de resistores sempre será menor do que a corrente em uma conexão paralela dos mesmos resistores, pois a resistência equivalente do circuito em série será maior que a do circuito paralelo. A potência dissipada pelos resistores em série seria\(P = 1.800 \, W\), que é menor do que a potência dissipada no circuito paralelo\(P = 18.00 \, W\).

Exercício\(\PageIndex{2B}\)

Como você usaria um rio e duas cachoeiras para modelar uma configuração paralela de dois resistores? Como essa analogia se desfaz?

Solução

Um rio, fluindo horizontalmente a uma taxa constante, se divide em dois e flui sobre duas cachoeiras. As moléculas de água são análogas aos elétrons nos circuitos paralelos. O número de moléculas de água que fluem no rio e caem deve ser igual ao número de moléculas que fluem sobre cada cachoeira, assim como a soma da corrente através de cada resistor deve ser igual à corrente que flui para o circuito paralelo. As moléculas de água no rio têm energia devido ao seu movimento e altura. A energia potencial das moléculas de água no rio é constante devido às suas alturas iguais. Isso é análogo à constante mudança de tensão em um circuito paralelo. A tensão é a energia potencial em cada resistor.

A analogia rapidamente se rompe quando se considera a energia. Na cachoeira, a energia potencial é convertida em energia cinética das moléculas de água. No caso de elétrons fluindo através de um resistor, a queda potencial é convertida em calor e luz, não na energia cinética dos elétrons.

Vamos resumir as principais características dos resistores em paralelo:

1. A resistência equivalente é encontrada na Equação\ ref {10.3} e é menor do que qualquer resistência individual na combinação.
2. A queda potencial em cada resistor em paralelo é a mesma.
3. Nem todos os resistores paralelos obtêm a corrente total; eles a dividem. A corrente que entra em uma combinação paralela de resistores é igual à soma da corrente através de cada resistor em paralelo.

Neste capítulo, apresentamos a resistência equivalente dos resistores conectados em série e dos resistores conectados em paralelo. Você deve se lembrar que, na Seção de Capacitância, introduzimos a capacitância equivalente de capacitores conectados em série e em paralelo. Os circuitos geralmente contêm capacitores e resistores. A tabela\(\PageIndex{1}\) resume as equações usadas para a resistência equivalente e a capacitância equivalente para conexões em série e paralelas.

Tabela\(\PageIndex{1}\): Resumo da resistência e capacitância equivalentes em combinações em série e paralelas

	combinação de séries	combinação paralela
Capacitância equivalente	\[\frac{1}{C_{S} }= \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + . . . \nonumber\]	\[C_{P} = C_1 + C_2 + C_3 + . . . \nonumber\]
Resistência equivalente	\[R_{S} = R_1 + R_2 + R_3 + . . . = \sum_{i=1}^N R_i \nonumber\]	\[\frac{1}{R_{P}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + . . . \nonumber\]

Combinações de séries e paralelas

Conexões mais complexas de resistores geralmente são apenas combinações de conexões em série e paralelas. Essas combinações são comuns, especialmente quando a resistência do fio é considerada. Nesse caso, a resistência do fio está em série com outras resistências que estão em paralelo.

Combinações de série e paralelo podem ser reduzidas a uma única resistência equivalente usando a técnica ilustrada na Figura\(\PageIndex{5}\). Várias peças podem ser identificadas como conexões em série ou paralelas, reduzidas às suas resistências equivalentes e, em seguida, reduzidas ainda mais até que reste uma única resistência equivalente. O processo é mais demorado do que difícil. Aqui, notamos a resistência equivalente\(R_{eq}\) a.

Figura\(\PageIndex{5}\): (a) O circuito original de quatro resistores. (b) Etapa 1: Os resistores\(R_3\)\(R_4\) estão em série e a resistência equivalente é\(R_{34} = 10 \, \Omega\) (c) Etapa 2: O circuito reduzido mostra resistores\(R_2\) e\(R_{34}\) está em paralelo, com uma resistência equivalente de\(R_{234} = 5 \, \Omega\). (d) Etapa 3: O circuito reduzido mostra que\(R_1\) e\(R_{234}\) está em série com uma resistência equivalente da\(R_{1234} = 12 \, \Omega\) qual é a resistência equivalente\(R_{eq}\). (e) O circuito reduzido com uma fonte de tensão de\(V = 24 \, V\) com uma resistência equivalente de\(R_{eq} = 12 \, \Omega\). Isso resulta em uma corrente\(I = 2 \, A\) da fonte de tensão.

Observe que os\(R_3\) resistores\(R_4\) estão em série. Eles podem ser combinados em uma única resistência equivalente. Um método para acompanhar o processo é incluir os resistores como subscritos. Aqui, a resistência equivalente de\(R_3\) e\(R_4\) é

\[R_{34} = R_3 + R_4 = 6 \, \Omega + 4 \, \Omega = 10 \, \Omega. \nonumber\]

O circuito agora é reduzido para três resistores, mostrados na Figura\(\PageIndex{5c}\). Redesenhando, agora vemos esses resistores\(R_2\) e\(R_{34}\) constituem um circuito paralelo. Esses dois resistores podem ser reduzidos a uma resistência equivalente:

\[R_{234} = \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_{34}}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{10 \, \Omega} + \frac{1}{10 \, \Omega} \right)^{-1} = 5 \, \Omega. \nonumber\]

Essa etapa do processo reduz o circuito a dois resistores, mostrados na Figura\(\PageIndex{5d}\). Aqui, o circuito é reduzido para dois resistores, que neste caso estão em série. Esses dois resistores podem ser reduzidos a uma resistência equivalente, que é a resistência equivalente do circuito:

\[R_{eq} = R_{1234} = R_1 + R_{234} = 7 \, \Omega + 5 \Omega = 12 \, \Omega. \nonumber\]

O objetivo principal dessa análise de circuito é alcançado e o circuito agora é reduzido a um único resistor e uma única fonte de tensão.

Agora podemos analisar o circuito. A corrente fornecida pela fonte de tensão é\(I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{24 \, V}{12 \, \Omega} = 2 \, A\). Essa corrente passa por um resistor\(R_1\) e é designada como\(I_1\). A potencial queda\(R_1\) pode ser encontrada usando a lei de Ohm:

\[V_1 = I_1R_1 = (2 \, A)(7 \, \Omega) = 14 \, V. \nonumber\]

Olhando\(24 \, V - 14 \, V = 10 \, V\) para a Figura\(\PageIndex{5c}\), isso deixa de ser descartado na combinação paralela de\(R_2\)\(R_{34}\) e. A corrente através\(R_2\) pode ser encontrada usando a lei de Ohm:

\[I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \frac{10 \, V}{10 \, \Omega} = 1 \, A. \nonumber\]

Os resistores\(R_3\) e\(R_4\) estão em série, então\(I_3\) as correntes\(I_4\) são iguais a

\[I_3 = I_4 = I - I_2 = 2 \, A - 1 \, A = 1 \, A. \nonumber\]

Usando a lei de Ohm, podemos encontrar a queda potencial nos dois últimos resistores. As possíveis quedas são\(V_3 = I_3R_3 = 6 \, V\)\(V_4 = I_4R_4 = 4 \, V\) e. A análise final é observar a energia fornecida pela fonte de tensão e a energia dissipada pelos resistores. A potência dissipada pelos resistores é

\[\begin{align*}P_1 &= I_1^2R_1 = (2 \, A)^2 (7 \, \Omega) = 28 \, W, \\[4pt] P_2 &= I_2^2R_2 = (1 \, A)^2 (10 \, \Omega) = 10 \, W, \\[4pt] P_3 &= I_3^2R_3 = (1 \, A)^2 (6 \, \Omega) = 6 \, W, \\[4pt] P_4 &= I_4^2R_4 = (1 \, A)^2 (4 \, \Omega) = 4 \, W, \\[4pt] P_{dissipated} &= P_1 + P_2 + P_3 + P_4 = 48 \, W. \end{align*}\]

A energia total é constante em qualquer processo. Portanto, a energia fornecida pela fonte de tensão é

\[\begin{align*} P_s &= IV \\[4pt] &= (2 \, A)(24 \, V) = 48 \, W \end{align*}\]

Analisar a potência fornecida ao circuito e a potência dissipada pelos resistores é uma boa verificação da validade da análise; eles devem ser iguais.

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Combining Series and parallel circuits

A figura\(\PageIndex{6}\) mostra resistores conectados em uma combinação de série e paralelo. Podemos considerar\(R_1\) a resistência dos fios que levam a\(R_2\)\(R_3\) e.

1. Encontre a resistência equivalente do circuito.
2. Qual é a queda potencial\(V_1\) no resistor\(R_1\)?
3. Encontre a corrente\(I_2\) através do resistor\(R_2\).
4. Por qual energia é dissipada\(R_2\)?

Figura\(\PageIndex{6}\): Esses três resistores são conectados a uma fonte de tensão de forma que,\(R_2\) e\(R_3\) estão em paralelo um com o outro, e essa combinação está em série com\(R_1\).

Estratégia

(a) Para encontrar a resistência equivalente, primeiro encontre a resistência equivalente da conexão paralela de\(R_2\)\(R_3\) e. Em seguida, use esse resultado para encontrar a resistência equivalente da conexão em série com\(R_1\).

(b) A corrente de passagem\(R_1\) pode ser encontrada usando a lei de Ohm e a tensão aplicada. A passagem de corrente\(R_1\) é igual à corrente da bateria. A queda\(V_1\) potencial no resistor\(R_1\) (que representa a resistência nos fios de conexão) pode ser encontrada usando a lei de Ohm.

(c) A passagem de corrente\(R_2\) pode ser encontrada usando a lei de Ohm\(I_2 = \frac{V_2}{R_2}\). A tensão transversal\(R_2\) pode ser encontrada usando\(V_2 = V - V_1\).

(d) Usando a lei de Ohm\((V_2 = I_2R_2)\), a potência dissipada pelo resistor também pode ser encontrada usando\(P_2 = I_2^2 R_2 = \frac{V_2^2}{R_2}\).

Solução

1. Para encontrar a resistência equivalente do circuito, observe que a conexão paralela de\(R_2\) e\(R_3\) está em série com\(R_1\), então a resistência equivalente é\[R_{eq} = R_1 + \left(\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)^{-1} = 1.00 \, \Omega + \left(\frac{1}{6.00 \, \Omega} + \frac{1}{13.00 \, \Omega}\right)^{-1} = 5.10 \, \Omega.\nonumber\] A resistência total dessa combinação é intermediária entre a série pura e os valores paralelos puros (\(20.0 \, \Omega\)e \(0.804 \, \Omega\), respectivamente).
2. A passagem de corrente\(R_1\) é igual à corrente fornecida pela bateria:\[I_1 = I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{12.0 \, V}{5.10 \, \Omega} = 2.35 \, A.\nonumber\] A tensão cruzada\(R_1\) é\[V_1 = I_1R_1 = (2.35 \, A)(1 \, \Omega) = 2.35 \, V.\nonumber\] A tensão aplicada\(R_2\) e\(R_3\) é menor que a tensão fornecida pela bateria em uma quantidade\(V_1\). Quando a resistência do fio é grande, ela pode afetar significativamente a operação dos dispositivos representados por\(R_2\)\(R_3\) e.
3. Para encontrar a corrente\(R_2\), precisamos primeiro encontrar a tensão aplicada a ela. A tensão nos dois resistores em paralelo é a mesma:\[V_2 = V_3 = V - V_1 = 12.0 \, V - 2.35 \, V = 9.65 \, V.\nonumber\] agora podemos encontrar a corrente\(I_2\) por meio da resistência\(R_2\) usando a lei de Ohm:\[I_2 = \frac{V_2}{R_2} = \frac{9.65 \, V}{6.00 \, \Omega} = 1.61 \, A.\nonumber\] a corrente é menor que os 2,00 A que fluíam\(R_2\) quando estava conectada em paralelo à bateria no anterior exemplo de circuito paralelo.
4. A potência dissipada por\(R_2\) é dada por\[P_2 = I_2^2R_2 = (1.61 \, A)^2 (6.00 \, \Omega) = 15.5 \, W. \nonumber\]

Significância

A análise de circuitos complexos geralmente pode ser simplificada reduzindo o circuito a uma fonte de tensão e uma resistência equivalente. Mesmo que o circuito inteiro não possa ser reduzido a uma única fonte de tensão e uma única resistência equivalente, partes do circuito podem ser reduzidas, simplificando consideravelmente a análise.

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Considere os circuitos elétricos da sua casa. Dê pelo menos dois exemplos de circuitos que devem usar uma combinação de circuitos em série e paralelos para operar com eficiência.

Solução

Todos os circuitos de iluminação suspensa estão paralelos e conectados à linha de alimentação principal, portanto, quando uma lâmpada queima, toda a iluminação do teto não escurece. Cada luz do teto terá pelo menos um interruptor em série com a luz, para que você possa ligá-la e desligá-la.

Uma geladeira tem um compressor e uma luz que acende quando a porta se abre. Normalmente, há apenas um cabo para o refrigerador conectar na parede. O circuito que contém o compressor e o circuito que contém o circuito de iluminação estão em paralelo, mas há um interruptor em série com a luz. Um termostato controla um interruptor que está em série com o compressor para controlar a temperatura do refrigerador.

Implicações práticas

Uma implicação desse último exemplo é que a resistência nos fios reduz a corrente e a potência fornecidas a um resistor. Se a resistência do fio for relativamente grande, como em um cabo de extensão gasto (ou muito longo), essa perda pode ser significativa. Se uma grande corrente for consumida, a queda de infravermelho nos fios também pode ser significativa e pode se tornar aparente pelo calor gerado no cabo.

Por exemplo, quando você está mexendo na geladeira e o motor liga, a luz da geladeira diminui momentaneamente. Da mesma forma, você pode ver a luz do compartimento de passageiros escurecer ao ligar o motor do seu carro (embora isso possa ser devido à resistência dentro da própria bateria).

O que está acontecendo nessas situações de alta corrente é ilustrado na Figura\(\PageIndex{7}\). O dispositivo representado por\(R_3\) tem uma resistência muito baixa, portanto, quando é ligado, uma grande corrente flui. Esse aumento de corrente causa uma maior queda de infravermelho nos fios representados por\(R_1\), reduzindo a tensão na lâmpada (ou seja\(R_2\)), que então escurece visivelmente.

Figura\(\PageIndex{7}\): Por que as luzes diminuem quando um aparelho grande é ligado? A resposta é que a grande corrente que o motor do aparelho consome causa uma queda significativa de infravermelho nos fios e reduz a tensão na luz.

Estratégia de resolução de problemas: resistores em série e paralelos

1. Desenhe um diagrama de circuito claro, rotulando todos os resistores e fontes de tensão. Essa etapa inclui uma lista dos valores conhecidos para o problema, pois eles estão rotulados em seu diagrama de circuito.
2. Identifique exatamente o que precisa ser determinado no problema (identifique as incógnitas). Uma lista escrita é útil.
3. Determine se os resistores estão em série, paralelos ou uma combinação de séries e paralelos. Examine o diagrama do circuito para fazer essa avaliação. Os resistores estão em série se a mesma corrente precisar passar sequencialmente por eles.
4. Use a lista apropriada dos principais recursos para conexões em série ou paralelas para resolver as incógnitas. Há uma lista para séries e outra para paralelas.
5. Verifique se as respostas são razoáveis e consistentes.

Exemplo\(\PageIndex{4}\): Combining Series and Parallel circuits

Dois resistores conectados em série\((R_1, \, R_2)\) são conectados a dois resistores conectados em paralelo\((R_3, \, R_4)\). A combinação série-paralela é conectada a uma bateria. Cada resistor tem uma resistência de 10,00 Ohms. Os fios que conectam os resistores e a bateria têm uma resistência insignificante. Uma corrente de 2,00 Amperes passa pelo resistor\(R_1\). Qual é a voltagem fornecida pela fonte de tensão?

Estratégia

Use as etapas da estratégia de solução de problemas anterior para encontrar a solução para esse exemplo.

Solução

Figura\(\PageIndex{8}\): Para encontrar a tensão desconhecida, precisamos primeiro encontrar a resistência equivalente do circuito.

1. Desenhe um diagrama de circuito claro (Figura\(\PageIndex{8}\)).
2. A incógnita é a voltagem da bateria. Para encontrar a voltagem fornecida pela bateria, a resistência equivalente deve ser encontrada.
3. Nesse circuito, já sabemos que os resistores\(R_1\)\(R_2\) estão em série e os resistores\(R_3\)\(R_4\) estão em paralelo. A resistência equivalente da configuração paralela dos resistores\(R_3\)\(R_4\) está em série com a configuração em série dos resistores\(R_1\)\(R_2\) e.
4. A tensão fornecida pela bateria pode ser encontrada multiplicando a corrente da bateria e a resistência equivalente do circuito. A corrente da bateria é igual à corrente de passagem\(R_1\) e é igual a 2,00 A. Precisamos encontrar a resistência equivalente reduzindo o circuito. Para reduzir o circuito, primeiro considere os dois resistores em paralelo. A resistência equivalente é\[R_{34} = \left(\frac{1}{10.00 \, \Omega} + \frac{1}{10.00 \, \Omega}\right)^{-1} = 5.00 \, \Omega. \nonumber\] Esta combinação paralela está em série com os outros dois resistores, então a resistência equivalente do circuito é\(R_{eq} = R_1 + R_2 + R_{34} = (25.00 \, \Omega\). Portanto, a voltagem fornecida pela bateria é\(V = IR_{eq} = 2.00 \, A (25.00 \, \Omega) = 50.00 \, V\).
5. Uma forma de verificar a consistência dos resultados é calcular a energia fornecida pela bateria e a energia dissipada pelos resistores. A energia fornecida pela bateria é\(P_{batt} = IV = 100.00 \, W\).

Como eles estão em série, a passagem de corrente\(R_2\) é igual à corrente até\(R_1\). Desde então\(R_3 = R_4\), a corrente através de cada um será de 1,00 Amperes. A potência dissipada pelos resistores é igual à soma da potência dissipada por cada resistor:

\[\begin{align*} P &= I_1^2R_1 + I_2^2R_2 + I_3^2R_3 + I_4^2R_4 \\[4pt] &= 40.00 \, W + 40.00 \, W + 10.00 \, W + 10.00 \, W = 100. \, W. \end{align*}\]

Como a energia dissipada pelos resistores é igual à energia fornecida pela bateria, nossa solução parece consistente.

Significância

Se um problema tiver uma combinação de série e paralelo, como neste exemplo, ele pode ser reduzido em etapas usando a estratégia de resolução de problemas anterior e considerando grupos individuais de séries ou conexões paralelas. Ao encontrar\(R_{eq}\) uma conexão paralela, a recíproca deve ser tomada com cuidado. Além disso, unidades e resultados numéricos devem ser razoáveis. A resistência em série equivalente deve ser maior, enquanto a resistência paralela equivalente deve ser menor, por exemplo. A potência deve ser maior para os mesmos dispositivos em paralelo em comparação com a série, e assim por diante.