6.E: Lei de Gauss (exercícios)

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Perguntas conceituais

6.2 Fluxo elétrico

1. Discuta como orientaria uma superfície plana da área A em um campo elétrico uniforme de magnitude\(\displaystyle E_0\) para obter

(a) o fluxo máximo e

(b) o fluxo mínimo através da área.

2. Quais são os valores máximo e mínimo do fluxo na pergunta anterior?

3. O fluxo elétrico líquido que atravessa uma superfície fechada é sempre zero. Verdadeiro ou falso?

4. O fluxo elétrico líquido que atravessa uma superfície aberta nunca é zero. Verdadeiro ou falso?

6.3 Explicando a Lei de Gauss

5. Duas superfícies esféricas concêntricas envolvem uma carga pontual q. O raio da esfera externa é o dobro da esfera interna. Compare os fluxos elétricos que cruzam as duas superfícies.

6. Compare o fluxo elétrico através da superfície de um cubo de comprimento lateral a que tem uma carga q em seu centro com o fluxo através de uma superfície esférica de raio a com uma carga q no centro.

7. (a) Se o fluxo elétrico através de uma superfície fechada for zero, o campo elétrico é necessariamente zero em todos os pontos da superfície?

(b) Qual é a carga líquida dentro da superfície?

8. Discuta como a lei de Gauss seria afetada se o campo elétrico de uma carga pontual não variasse como\(\displaystyle 1/r^2\).

9. Discuta as semelhanças e diferenças entre o campo gravitacional de uma massa pontual m e o campo elétrico de uma carga pontual q.

10. Discuta se a lei de Gauss pode ser aplicada a outras forças e, em caso afirmativo, quais.

11. O termo\(\displaystyle \vec{E}\) na lei de Gauss é o campo elétrico produzido apenas pela carga dentro da superfície gaussiana?

12. Reformule a lei de Gauss escolhendo a unidade normal da superfície gaussiana para ser aquela direcionada para dentro.

6.4 Aplicando a Lei de Gauss

13. A lei de Gauss seria útil para determinar o campo elétrico de duas cargas iguais, mas opostas, a uma distância fixa?

14. Discuta o papel que a simetria desempenha na aplicação da lei de Gauss. Dê exemplos de distribuições contínuas de carga nas quais a lei de Gauss é útil e não útil para determinar o campo elétrico.

15. Discuta as restrições na superfície gaussiana usadas para discutir a simetria planar. Por exemplo, seu comprimento é importante? A seção transversal precisa ser quadrada? As faces finais devem estar em lados opostos da folha?

6.5 Condutores em equilíbrio eletrostático

16. O campo elétrico dentro de um metal é sempre zero?

17. Sob condições eletrostáticas, o excesso de carga em um condutor reside em sua superfície. Isso significa que todos os elétrons de condução em um condutor estão na superfície?

18. Uma carga q é colocada na cavidade de um condutor, conforme mostrado abaixo. Uma carga fora do condutor experimentará um campo elétrico devido à presença de q?

A figura mostra uma forma de ovo com uma cavidade oval dentro dela. A cavidade é cercada por uma linha pontilhada do lado de fora dela. Isso é rotulado como S. Há uma carga positiva identificada como q dentro da cavidade.

19. O condutor na figura anterior tem uma carga excessiva de\(\displaystyle –5.0µC\). Se uma carga\(\displaystyle 2.0-µC\) pontual for colocada na cavidade, qual é a carga líquida na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor?

Problemas

6.2 Fluxo elétrico

20. Um campo elétrico uniforme de magnitude\(\displaystyle 1.1×10^4N/C\) é perpendicular a uma folha quadrada com lados de 2,0 m de comprimento. Qual é o fluxo elétrico através da folha?

21. Calcule o fluxo através da folha do problema anterior se o plano da folha estiver em um ângulo de 60° em relação ao campo. Encontre o fluxo para ambas as direções da unidade normal para a folha.

22. Encontre o fluxo elétrico através de uma área retangular de 3 cm × 2 cm entre duas placas paralelas onde há um campo elétrico constante de 30 N/C para as seguintes orientações da área: (a) paralelo às placas, (b) perpendicular às placas e (c) o normal à área fazendo um 30° ângulo com a direção do campo elétrico. Observe que esse ângulo também pode ser dado como 180 °+30°.

23. Verifica-se que o fluxo elétrico através de uma área quadrada de 5 cm de lado perto de uma grande folha carregada é\(\displaystyle 3×10^{−5}N⋅m^2/C\)... quando a área é paralela à placa. Encontre a densidade de carga na folha.

24. Duas grandes placas retangulares de alumínio de área\(\displaystyle 150cm^2\) estão voltadas uma para a outra com uma separação de 3 mm entre elas. As placas são carregadas com igual quantidade de cargas opostas, ± 20μC. As cargas nas placas estão voltadas uma para a outra. Encontre o fluxo através de um círculo de raio de 3 cm entre as placas quando o normal ao círculo faz um ângulo de 5° com uma linha perpendicular às placas. Observe que esse ângulo também pode ser dado como 180°+5°.

25. Uma superfície quadrada de área\(\displaystyle 2cm^2\) está em um espaço de campo elétrico uniforme de magnitude\(\displaystyle 10^3N/C\). A quantidade de fluxo que passa por ele depende de como o quadrado é orientado em relação à direção do campo elétrico. Encontre o fluxo elétrico através do quadrado, quando o normal para ele faz os seguintes ângulos com o campo elétrico: (a) 30°, (b) 90° e (c) 0°. Observe que esses ângulos também podem ser dados como 180°+θ.

26. Um campo vetorial é apontado ao longo do eixo z,\ (\ displaystyle\ vec {v} =\ frac {α} {x^2+y^2}\ hat {z}.

(a) Encontre o fluxo do campo vetorial através de um retângulo no plano xy entre a<x<ba<x<b e c<y<dc<y<d.

(b) Faça o mesmo por meio de um retângulo no plano yz entre a<z<ba<z<b e c<y<dc<y<d. (Deixe sua resposta como integral.)

27. Considere o campo elétrico uniforme\(\displaystyle \vec{E} =(4.0\hat{j}+3.0\hat{k})×10^3N/C\). Qual é seu fluxo elétrico através de uma área circular de raio de 2,0 m que fica no plano xy?

28. Repita o problema anterior, dado que a área circular está (a) no plano yz e (b) 45° acima do plano xy.

29. Um fio carregado infinito com carga por unidade de comprimento\(\displaystyle λ\) fica ao longo do eixo central de uma superfície cilíndrica de raio r e comprimento l. Qual é o fluxo através da superfície devido ao campo elétrico do fio carregado?

6.3 Explicando a Lei de Gauss

30. Determine o fluxo elétrico através de cada superfície fechada cuja seção transversal dentro da superfície é mostrada abaixo.

31. Encontre o fluxo elétrico através da superfície fechada cujas seções transversais são mostradas abaixo.

32. Uma carga pontual q está localizada no centro de um cubo cujos lados têm o comprimento a. Se não houver outras cargas nesse sistema, qual é o fluxo elétrico através de uma face do cubo?

33. Uma carga pontual de\(\displaystyle 10μC\) está em um local não especificado dentro de um cubo de 2 cm de lado. Encontre o fluxo elétrico líquido nas superfícies do cubo.

34. Um fluxo líquido de\(\displaystyle 1.0×10^4N⋅^m2/C\) passa para dentro através da superfície de uma esfera de raio de 5 cm.

(a) Quanta carga está dentro da esfera?

(b) Com que precisão podemos determinar a localização da cobrança a partir dessas informações?

35. Uma carga q é colocada em um dos cantos de um cubo do lado a, conforme mostrado abaixo. Encontre a magnitude do fluxo elétrico através da face sombreada devido a q. Suponha\(\displaystyle q>0\).

A figura mostra um cubo com o comprimento de cada lado igual a a. A superfície posterior está sombreada. Um canto frontal tem um pequeno círculo chamado q.

36. O fluxo elétrico através de uma caixa cúbica de 8,0 cm em um lado é\(\displaystyle 1.2×10^3N⋅m^2/C\). Qual é a carga total incluída na caixa?

37. O fluxo elétrico através de uma superfície esférica é\(\displaystyle 4.0×10^4N⋅m^2/C\). Qual é a carga líquida envolvida pela superfície?

38. Um cubo cujos lados são de comprimento d é colocado em um campo elétrico uniforme de magnitude de\(\displaystyle E=4.0×10^3N/C\) forma que o campo fique perpendicular a duas faces opostas do cubo. Qual é o fluxo líquido através do cubo?

39. Repita o problema anterior, supondo que o campo elétrico seja direcionado ao longo da diagonal do corpo do cubo.

40. Uma carga total\(\displaystyle 5.0×10^{−6}C\) é distribuída uniformemente por um volume cúbico cujas bordas têm 8,0 cm de comprimento.

(a) Qual é a densidade de carga no cubo?

(b) Qual é o fluxo elétrico através de um cubo com bordas de 12,0 cm que é concêntrico com a distribuição de carga?

(d) Qual é o fluxo elétrico através de uma superfície esférica de raio 3,0 cm que também é concêntrica com a distribuição de carga?

6.4 Aplicando a Lei de Gauss

41. Lembre-se de que, no exemplo de uma esfera com carga uniforme,\(\displaystyle ρ_0=Q/(\frac{4}{3}πR^3)\). Reescreva as respostas em termos da carga total Q na esfera.

42. Suponha que a densidade de carga da distribuição esférica de carga mostrada na Figura 6.23 seja\(\displaystyle ρ(r)=ρ_0r/R\) para\(\displaystyle r≤R\) e zero para\(\displaystyle r>R\). Obtenha expressões para o campo elétrico dentro e fora da distribuição.

43. Um fio muito longo e fino tem uma densidade de carga linear uniforme de\(\displaystyle 50μC/m\). Qual é o campo elétrico a uma distância de 2,0 cm do fio?

44. Uma carga de\(\displaystyle −30μC\) é distribuída uniformemente por todo um volume esférico de raio 10,0 cm. Determine o campo elétrico devido a essa carga a uma distância de

(a) 2,0 cm,

(b) 5,0 cm e

45. Repita seus cálculos para o problema anterior, já que a carga é distribuída uniformemente sobre a superfície de um condutor esférico de raio 10,0 cm.

46. Uma carga total Q é distribuída uniformemente por uma camada esférica de raios internos e externos\(\displaystyle r_1\) e\(\displaystyle r_2\), respectivamente. Mostre que o campo elétrico devido à carga é

\(\displaystyle \vec{E} =\vec{0}\)\(\displaystyle (r≤r_1)\);

\(\displaystyle \vec{E} =\frac{Q}{4πε_0r^2}(\frac{r^3−r_1^3}{r_2^3−r_1^3})\hat{r}\)\(\displaystyle (r_1≤r≤r_2)\);

\(\displaystyle \vec{E} =\frac{Q}{4πε_0r^2}\hat{r}\)\(\displaystyle (r≥r_2)\).

47. Quando uma carga é colocada em uma esfera de metal, ela acaba em equilíbrio na superfície externa. Use essas informações para determinar o campo elétrico de\(\displaystyle +3.0μC\) carga colocado em uma esfera esférica de alumínio de 5,0 cm nos dois pontos do espaço a seguir:

(a) um ponto a 1,0 cm do centro da bola (um ponto interno) e

(b) um ponto a 10 cm do centro da bola (um ponto externo).

48. Uma grande folha de carga tem uma densidade de carga uniforme de\(\displaystyle 10μC/m^2\). Qual é o campo elétrico devido a essa carga em um ponto logo acima da superfície da chapa?

49. Determine se a simetria cilíndrica aproximada é válida para as seguintes situações. Declare por que ou por que não.

(a) Uma haste de cobre de 300 cm de comprimento de raio de 1 cm é carregada com +500 nC de carga e buscamos campo elétrico em um ponto a 5 cm do centro da haste.

(b) Uma haste de cobre de 10 cm de comprimento de raio de 1 cm é carregada com +500 nC de carga e buscamos campo elétrico em um ponto a 5 cm do centro da haste.

(c) Uma haste de madeira de 150 cm é colada a uma haste de plástico de 150 cm para fazer uma haste de 300 cm de comprimento, que é então pintada com tinta carregada para obter uma densidade de carga uniforme. O raio de cada haste é de 1 cm e buscamos um campo elétrico em um ponto a 4 cm do centro da haste.

(d) A mesma haste de (c), mas buscamos campo elétrico em um ponto que esteja a 500 cm do centro da haste.

50. Uma longa haste prateada de raio de 3 cm tem uma carga de\(\displaystyle −5μC/cm\) em sua superfície.

(a) Encontre o campo elétrico em um ponto a 5 cm do centro da haste (um ponto externo).

(b) Encontre o campo elétrico em um ponto a 2 cm do centro da haste (um ponto interno).

51. O campo elétrico a 2 cm do centro da longa haste de cobre de raio 1 cm tem uma magnitude 3 N/C e direcionado para fora a partir do eixo da haste.

(a) Quanta carga por unidade de comprimento existe na haste de cobre?

(b) Qual seria o fluxo elétrico através de um cubo de 5 cm de lado situado de forma que a haste passe por lados opostos do cubo perpendicularmente?

52. Uma concha cilíndrica longa de cobre de raio interno de 2 cm e raio externo de 3 cm envolve concentricamente uma haste longa de alumínio carregada de raio 1 cm com uma densidade de carga de 4 pC/m. Todas as cargas na haste de alumínio residem em sua superfície. A superfície interna do invólucro de cobre tem carga exatamente oposta à da haste de alumínio, enquanto a superfície externa do invólucro de cobre tem a mesma carga que a haste de alumínio. Encontre a magnitude e a direção do campo elétrico em pontos que estão nas seguintes distâncias do centro da haste de alumínio:

(a) 0,5 cm, (b) 1,5 cm, (c) 2,5 cm, (d) 3,5 cm e (e) 7 cm.

53. A carga é distribuída uniformemente com uma densidade\(\displaystyle ρ\) em todo um volume cilíndrico infinitamente longo de raio R. Mostre que o campo dessa distribuição de carga é direcionado radialmente em relação ao cilindro e que

\(\displaystyle E=\frac{ρr}{2ε_0}\)\(\displaystyle (r≤R)\);

\(\displaystyle E=\frac{ρR^2}{2ε_0r}\)\(\displaystyle (r≥R)\)

54. A carga é distribuída por um volume cilíndrico muito longo de raio R, de modo que a densidade da carga aumente com a distância r do eixo central do cilindro de acordo com\(\displaystyle ρ=αr\), onde\(\displaystyle α\) é uma constante. Mostre que o campo dessa distribuição de carga é direcionado radialmente em relação ao cilindro e que

\(\displaystyle E=\frac{αr^2}{3ε_0}\)\(\displaystyle (r≤R)\);

\(\displaystyle E=\frac{αR^3}{3ε_0r}\)\(\displaystyle (r≥R)\).

55. O campo elétrico a 10,0 cm da superfície de uma bola de cobre de raio 5,0 cm é direcionado para o centro da bola e tem magnitude\(\displaystyle 4.0×10^2N/C\). Quanta carga está na superfície da bola?

56. A carga é distribuída por uma camada esférica de raio interno\(\displaystyle r_1\) e externo\(\displaystyle r_2\) com uma densidade de volume dada por\(\displaystyle ρ=ρ_0r_1/r\), onde\(\displaystyle ρ_0\) é uma constante. Determine o campo elétrico devido a essa carga em função de r, a distância do centro da concha.

57. A carga é distribuída por um volume esférico de raio R com uma densidade\(\displaystyle ρ=αr^2\), onde αα é uma constante. Determine o campo elétrico devido à carga em pontos dentro e fora da esfera.

58. Considere um núcleo de urânio como uma esfera de raio\(\displaystyle R=7.4×10^{−15}m\) com uma carga de 92e distribuída uniformemente por todo o seu volume. (a) Qual é a força elétrica exercida sobre um elétron quando ele\(\displaystyle 3.0×10^{−15}m\) vem do centro do núcleo? (b) Qual é a aceleração do elétron nesse ponto?

59. A densidade de carga volumétrica de uma distribuição de carga esférica é dada por\(\displaystyle ρ(r)=ρ_0e^{−αr}\), onde\(\displaystyle ρ_0\) e\(\displaystyle α\) são constantes. Qual é o campo elétrico produzido por essa distribuição de carga?

6.5 Condutores em equilíbrio eletrostático

60. Um condutor sem carga com uma cavidade interna é mostrado na figura a seguir. Use a superfície fechada S junto com a lei de Gauss para mostrar que quando uma carga q é colocada na cavidade, uma carga total —q é induzida na superfície interna do condutor. Qual é a carga na superfície externa do condutor?

Uma esfera de metal com uma cavidade é mostrada. É rotulado como vetor E igual a zero. Há sinais positivos ao redor dele. Há uma carga positiva rotulada mais q dentro da cavidade. A cavidade é cercada por sinais negativos. — Figura 6.46: Uma carga dentro de uma cavidade de um metal. As cargas na superfície externa não dependem de como as cargas são distribuídas na superfície interna, pois o campo E dentro do corpo do metal é zero.

61. Um condutor esférico S sem carga de raio R tem duas cavidades esféricas A e B de raios a e b, respectivamente, conforme mostrado abaixo. Cargas de dois pontos\(\displaystyle +q_a\) e\(\displaystyle +q_b\) são colocadas no centro das duas cavidades usando suportes não condutores. Além disso, uma carga pontual\(\displaystyle +q_0\) é colocada do lado de fora a uma distância r do centro da esfera.

(a) Desenhe distribuições de carga aproximadas no metal, embora a esfera metálica não tenha carga líquida.

(b) Desenhe linhas de campo elétrico. Desenhe linhas suficientes para representar todos os lugares distintos.

A figura mostra uma esfera com duas cavidades. Uma carga positiva qa está em uma cavidade e uma carga positiva qb está na outra cavidade. Uma carga positiva q0 está fora da esfera a uma distância r de seu centro.

62. Uma carga de ponto positivo é colocada na bissetriz angular de dois condutores planos não carregados que formam um ângulo de 45°. Veja abaixo. Desenhe as linhas do campo elétrico.

Um ângulo agudo é mostrado. Sua bissetriz é uma linha pontilhada. Uma carga positiva q é mostrada na linha pontilhada.

63. Um longo cilindro de cobre de raio 3 cm é carregado de forma que tenha uma carga uniforme por unidade de comprimento em sua superfície de 3 C/m. (a) Encontre o campo elétrico dentro e fora do cilindro. (b) Desenhe linhas de campo elétrico em um plano perpendicular à haste.

64. Uma bola esférica de alumínio de raio 4 cm é carregada com 5μC de carga. Uma concha esférica de cobre de raio interno de 6 cm e raio externo de 8 cm a cerca. Uma carga total de −8μC é colocada na casca de cobre.

(a) Encontre o campo elétrico em todos os pontos do espaço, incluindo pontos dentro do invólucro de alumínio e cobre quando o invólucro de cobre e a esfera de alumínio são concêntricas.

(b) Encontre o campo elétrico em todos os pontos do espaço, incluindo pontos dentro do invólucro de alumínio e cobre quando os centros do invólucro de cobre e da esfera de alumínio estiverem separados por 1 cm.

65. Um longo cilindro de alumínio de raio R metros é carregado para que tenha uma carga uniforme por unidade de comprimento em sua superfície de\(\displaystyle λ\). (a) Encontre o campo elétrico dentro e fora do cilindro. (b) Faça um gráfico do campo elétrico em função da distância do centro da haste.

66. Na superfície de qualquer condutor em equilíbrio eletrostático,\(\displaystyle E=σ/ε_0\). Mostre que essa equação é consistente com o fato de que\(\displaystyle E=kq/r^2\) na superfície de um condutor esférico.

67. Duas placas paralelas de 10 cm em um lado recebem cargas de magnitude iguais e opostas\(\displaystyle 5.0×10^{−9}C\). As placas estão separadas por 1,5 mm. Qual é o campo elétrico no centro da região entre as placas?

68. Duas placas condutoras paralelas, cada uma com área de seção transversal\(\displaystyle 400cm^2\), estão separadas por 2,0 cm e sem carga. Se\(\displaystyle 1.0×10^{12}\) os elétrons forem transferidos de uma placa para a outra, qual é (a) a densidade de carga em cada placa? (b) O campo elétrico entre as placas?

69. A densidade de carga superficial em um tubo metálico longo e reto é\(\displaystyle σ\). Qual é o campo elétrico externo e interno do tubo? Suponha que o tubo tenha um diâmetro de 2a.

A figura mostra um tubo, com uma seção cilíndrica destacada. Uma seta apontando para cima e outra apontando para baixo ao longo do tubo do cilindro são rotuladas como infinitas. Existem sinais positivos dentro das paredes do cilindro.

70. Uma carga pontual\(\displaystyle q=−5.0×10^{−12}C\) é colocada no centro de uma concha condutora esférica de raio interno de 3,5 cm e raio externo de 4,0 cm. O campo elétrico logo acima da superfície do condutor é direcionado radialmente para fora e tem magnitude 8,0 N/C.

(a) Qual é a densidade de carga na superfície interna do invólucro?

(b) Qual é a densidade de carga na superfície externa do invólucro?

71. Um condutor cilíndrico sólido de raio a é cercado por uma concha cilíndrica concêntrica de raio interno b. O cilindro sólido e a carcaça carregam as cargas +Q e —Q, respectivamente. Supondo que o comprimento L de ambos os condutores seja muito maior que a ou b, determine o campo elétrico em função de r, a distância do eixo central comum dos cilindros, para (a)\(\displaystyle r<a\); (b)\(\displaystyle a<r<b\); e (c)\(\displaystyle r>b\).

Problemas adicionais

72. Um campo vetorial\(\displaystyle \vec{E}\) (não necessariamente um campo elétrico; unidades de nota) é dado por\(\displaystyle \vec{E} =3x^2\hat{k}\). \(\displaystyle ∫_S\vec{E}⋅\hat{n}da\)Calcule, onde S é a área mostrada abaixo. Suponha que\(\displaystyle \hat{n}=\hat{k}\).

Um quadrado S com comprimento de cada lado igual a a é mostrado no plano xy.

73. Repita o problema anterior, com\(\displaystyle \vec{E} = 2x\hat{i}+3x^2\hat{k}\).

74. Uma área circular S é concêntrica com a origem, tem raio a e está no plano yz. Calcule\(\displaystyle ∫_S\vec{E}⋅\hat{n}dA\) para\(\displaystyle \vec{E} = 3z^2\hat{i}\).

75. (a) Calcule o fluxo elétrico através da superfície hemisférica aberta devido ao campo elétrico\(\displaystyle \vec{E} = E_0\hat{k}\) (veja abaixo).

(b) Se o hemisfério é girado em 90° em torno do eixo x, qual é o fluxo através dele?

Um hemisfério com raio R é mostrado com sua base no plano xy e o centro da base na origem. Uma seta é mostrada ao lado dela, rotulada como vetor E igual a E0 k hat.

76. Suponha que o campo elétrico de uma carga pontual isolada fosse proporcional\(\displaystyle 1/r^{2+σ}\) em vez de\(\displaystyle 1/r^2\). Determine o fluxo que passa pela superfície de uma esfera de raio R centrada na carga. A lei de Gauss permaneceria válida?

77. O campo elétrico em uma região é dado por\(\displaystyle \vec{E} =a/(b+cx)\hat{i}\), onde\(\displaystyle a=200N⋅m/C, b=2.0m,\) e\(\displaystyle c=2.0\) .Qual é a carga líquida envolvida pelo volume sombreado mostrado abaixo?

A figura mostra um cubóide com um canto na origem dos eixos coordenados. Seu comprimento ao longo do eixo x é de 2 m, ao longo do eixo y é de 1,5 m e ao longo do eixo z é de 1 m. Uma seta fora do cubóide aponta ao longo do eixo x. É rotulado como vetor E.

78. Duas cargas iguais e opostas de magnitude Q estão localizadas no eixo x nos pontos +a e —a, conforme mostrado abaixo. Qual é o fluxo líquido devido a essas cargas através de uma superfície quadrada do lado 2a que fica no plano yz e está centrada na origem? (Dica: determine o fluxo devido a cada carga separadamente e, em seguida, use o princípio da superposição. Talvez você consiga fazer um argumento de simetria.)

Um quadrado sombreado é mostrado no plano yz com seu centro na origem. Seu lado paralelo ao eixo z é rotulado como sendo de comprimento 2a. Uma carga rotulada mais Q é mostrada no eixo x positivo a uma distância a da origem. Uma carga rotulada menos Q é mostrada no eixo x negativo a uma distância a da origem.

79. Um colega calculou o fluxo através do quadrado para o sistema no problema anterior e obteve 0. O que deu errado?

80. Um pedaço de folha de alumínio de 10 cm × 10 cm de espessura tem uma carga\(\displaystyle 20μC\) que se espalha uniformemente nas duas superfícies laterais largas. Você pode ignorar as cargas nos lados finos das bordas.

(a) Encontre a densidade da carga.

(b) Encontre o campo elétrico a 1 cm do centro, assumindo uma simetria plana aproximada.

81. Duas peças de folha de alumínio de 10 cm × 10 cm de espessura de 0,1 mm se enfrentam com uma separação de 5 mm. Uma das folhas tem uma carga de\(\displaystyle +30μC\) e a outra tem\(\displaystyle −30μC\).

(a) Encontre a densidade de carga em todas as superfícies, ou seja, nas que estão voltadas uma para a outra e nas que estão voltadas para o lado oposto.

(b) Encontre o campo elétrico entre as placas próximas ao centro assumindo simetria plana.

82. Duas grandes placas de cobre voltadas uma para a outra têm densidades de carga\(\displaystyle ±4.0C/m^2\) na superfície voltada para a outra placa e zero entre as placas. Encontre o fluxo elétrico através de uma área retangular de 3 cm × 4 cm entre as placas, conforme mostrado abaixo, para as seguintes orientações da área.

(a) Se a área for paralela às placas, e

(b) se a área estiver inclinada\(\displaystyle θ=30°\) da direção paralela. Observe que esse ângulo também pode ser\(\displaystyle θ=180°+30°\).

A figura mostra duas placas paralelas e uma linha pontilhada exatamente entre as duas, paralela a elas. Uma terceira placa forma um ângulo teta com a linha pontilhada.

83. A laje infinita entre os planos definidos por\(\displaystyle z=−a/2\) e\(\displaystyle z=a/2\) contém uma densidade de carga volumétrica uniforme\(\displaystyle ρ\) (veja abaixo). Qual é o campo elétrico produzido por essa distribuição de carga, dentro e fora da distribuição?

84. Uma carga total Q é distribuída uniformemente por todo um volume esférico centrado\(\displaystyle O_1\) e com um raio R. Sem perturbar a carga restante, a carga é removida do volume esférico em que está centralizado\(\displaystyle O_2\) (veja abaixo). Mostre que o campo elétrico em todos os lugares na região vazia é dado por\(\displaystyle \vec{E} = \frac{Q\vec{r}}{4πε_0R^3}\), onde\(\displaystyle \vec{r}\) está o vetor de deslocamento direcionado de\(\displaystyle O_1\) para\(\displaystyle O_2\).

A figura mostra um círculo com centro O1 e raio R. Outro círculo menor com centro O2 é mostrado dentro dele. Uma seta de O1 a O2 é rotulada como vetor r.

85. Uma camada esférica não condutora de raio interno\(\displaystyle a_1\) e externo\(\displaystyle b_1\) é uniformemente carregada com densidade carregada\(\displaystyle ρ_1\) dentro de outra camada esférica não condutora de raio interno\(\displaystyle a_2\) e raio externo\(\displaystyle b_2\) que também é carregada uniformemente com densidade de carga\(\displaystyle ρ_2\). Veja abaixo. Encontre o campo elétrico no ponto espacial P a uma distância r do centro comum tal que (a)\(\displaystyle r>b_2\), (b)\(\displaystyle a_2<r<b_2\), (c)\(\displaystyle b_1<r<a_2\), (d)\(\displaystyle a_1<r<b_1\) e (e)\(\displaystyle r<a_1\).

A figura mostra duas conchas circulares concêntricas. Os raios interno e externo do invólucro interno são a1 e a2, respectivamente. Os raios interno e externo da camada externa são a2 e b2, respectivamente. A distância do centro até um ponto P entre as duas conchas é rotulada como r.

86. Duas esferas não condutoras de raios\(\displaystyle R_1\) e\(\displaystyle R_2\) são carregadas uniformemente com densidades de carga\(\displaystyle ρ_1\) e\(\displaystyle ρ_2\), respectivamente. Eles são separados na distância de centro a centro (veja abaixo). Encontre o campo elétrico no ponto P localizado a uma distância r do centro da esfera 1 e está na direção\(\displaystyle θ\) da linha que une as duas esferas, assumindo que suas densidades de carga não são afetadas pela presença da outra esfera. (Dica: trabalhe uma esfera por vez e use o princípio da superposição.)

Dois círculos são mostrados lado a lado com a distância entre seus centros sendo a. O círculo maior tem raio R1 e o menor tem raio R2. Uma seta r é mostrada do centro do círculo maior até um ponto P fora dos círculos. r forma um ângulo teta com a.

87. Um disco de raio R é cortado em uma placa grande não condutora que é uniformemente carregada com densidade de carga σ (coulomb por metro quadrado). Veja abaixo. Encontre o campo elétrico a uma altura h acima do centro do disco. (\(\displaystyle h>>R,h<<l\)ou\(\displaystyle w\)). (Dica: preencha o buraco com\(\displaystyle ±σ\).)

88. Conchas esféricas condutoras concêntricas carregam cargas Q e —Q, respectivamente (veja abaixo). O invólucro interno tem uma espessura insignificante. Determine o campo elétrico para (a)\(\displaystyle r<a;\) (b)\(\displaystyle a<r<b\); (c)\(\displaystyle b<r<c\); e (d)\(\displaystyle r>c\).

A seção de duas conchas esféricas concêntricas é mostrada. O invólucro interno tem um raio a. É rotulado como Q e tem sinais de mais ao redor. O invólucro externo tem um raio interno b e um raio externo c. É rotulado com menos Q e tem sinais negativos ao redor.

89. Abaixo, são mostradas duas camadas esféricas condutoras concêntricas de raios\(\displaystyle R_1\) e\(\displaystyle R_2\), cada uma com espessura finita, muito menor que qualquer raio. O invólucro interno e externo carregam cargas líquidas\(\displaystyle q_1\) e\(\displaystyle q_2\), respectivamente, onde ambos\(\displaystyle q_1\) e\(\displaystyle q_2\) são positivos. Para que serve o campo elétrico (a)\(\displaystyle r<R_1\); (b)\(\displaystyle R_1<r<R_2\); e (c)\(\displaystyle r>R_2\)? (d) Qual é a carga líquida na superfície interna do invólucro interno, na superfície externa do invólucro interno, na superfície interna do invólucro externo e na superfície externa do invólucro externo?

A figura mostra a seção de duas conchas esféricas concêntricas. O interno tem raio R1 e o externo tem raio R2.

90. Uma carga pontual de Q = 5,0 × 10−8cq=5,0 × 10−8C é colocada no centro de uma camada condutora esférica não carregada de raio interno 6,0 cm e raio externo 9,0 cm. Encontre o campo elétrico em (a) r = 4,0 cm = 4,0 cm, (b) r = 8,0 cm e (c) r = 12,0 cm = 12,0 cm. (d) Quais são as cargas induzidas nas superfícies interna e externa da casca?

Problemas de desafio

91. O Telescópio Espacial Hubble pode medir o fluxo de energia de objetos distantes, como supernovas e estrelas. Os cientistas então usam esses dados para calcular a energia emitida por esse objeto. Escolha um objeto interestelar com o qual os cientistas observaram o fluxo no Hubble (por exemplo,\(\displaystyle Vega\)) ³, encontre a distância até esse objeto e o tamanho do espelho primário do Hubble e calcule o fluxo total de energia. (Dica: O Hubble intercepta apenas uma pequena parte do fluxo total.)

92. Rederive a lei de Gauss para o campo gravitacional, com\(\displaystyle \vec{g}\) direcionamento positivo para fora.

93. Uma placa infinita de carga de densidade de carga superficial\(\displaystyle σ\) é mostrada abaixo. Qual é o campo elétrico a uma distância x da folha? Compare o resultado desse cálculo com o elaborado no texto.

A figura mostra um avião com sinais de mais. Ele passa por um cilindro S perpendicularmente no centro, dividindo o cilindro em duas metades de comprimento x cada. A superfície superior do cilindro é identificada como A. As setas denominadas E emergem de ambas as extremidades do cilindro, ao longo de seu eixo.

94. Um balão esférico de borracha carrega uma carga total Q distribuída uniformemente sobre sua superfície. Em\(\displaystyle t=0\), o raio do balão é R. O balão é então inflado lentamente até que seu raio atinja 2R no momento\(\displaystyle t_0\). Determine o campo elétrico devido a essa carga em função do tempo

(a) na superfície do balão,

(b) na superfície do raio R, e

(c) na superfície do raio 2R. Ignore qualquer efeito no campo elétrico devido ao material do balão e assuma que o raio aumenta uniformemente com o tempo.

95. Encontre o campo elétrico de uma grande placa condutora contendo uma carga líquida q. Deixe A ser a área de um lado da placa e h a espessura da placa (veja abaixo). A carga na placa de metal se distribuirá principalmente nos dois lados planos e muito pouco nas bordas se a placa for fina.

Contribuidores e atribuições

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