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5.A: Cargas e campos elétricos (resposta)

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    Verifique sua compreensão

    5.1. A força apontaria para fora.

    5.2. A força líquida apontaria 58° abaixo do eixo − x.

    5.3. \(\displaystyle \vec{E} = \frac{1}{4πε_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}\)

    5.4. Não poderemos mais tirar proveito da simetria. Em vez disso, precisaremos calcular cada um dos dois componentes do campo elétrico com sua própria integral.

    5.5. A carga pontual seria\(\displaystyle Q=σab\) onde a e b são os lados do retângulo, mas idênticos.

    5.6. O campo elétrico seria zero no meio e teria magnitude em\(\displaystyle \frac{σ}{ε_0}\) todos os outros lugares.

    Perguntas conceituais

    1. Em sua maioria, existem números iguais de cargas positivas e negativas presentes, tornando o objeto eletricamente neutro.

    3. a. sim;

    b. sim

    5. Pegue um objeto com uma carga conhecida, positiva ou negativa, e aproxime-o da haste. Se o objeto carregado conhecido for positivo e for repelido da haste, a haste será carregada positivamente. Se o objeto carregado positivamente for atraído pela haste, a haste será carregada negativamente.

    7. Não, a poeira é atraída por ambos porque as moléculas das partículas de poeira ficam polarizadas na direção da seda.

    9. Sim, a carga de polarização é induzida no condutor para que a carga positiva fique mais próxima da haste carregada, causando uma força atrativa.

    11. O carregamento por condução é o carregamento por contato, onde a carga é transferida para o objeto. O carregamento por indução envolve primeiro produzir uma carga de polarização no objeto e, em seguida, conectar um fio à terra para permitir que parte da carga saia do objeto, deixando o objeto carregado.

    13. Isso faz com que qualquer excesso de carga seja transferido para o solo, mantendo os recipientes de gasolina neutros. Se houver excesso de carga no receptáculo de gasolina, uma faísca poderá acendê-lo.

    15. A secadora carrega as roupas. Se estiverem úmidas, a presença de moléculas de água suprime a carga.

    17. Existem apenas dois tipos de cobrança, atraente e repulsiva. Se você aproximar um objeto carregado do quartzo, apenas um desses dois efeitos acontecerá, provando que não há um terceiro tipo de carga.

    19. a. Não, uma vez que uma carga de polarização é induzida. b. Sim, uma vez que a carga de polarização produziria apenas uma força atrativa.

    21. A força que mantém o núcleo unido deve ser maior do que a força repulsiva eletrostática nos prótons.

    23. Qualquer sinal da carga de teste pode ser usado, mas a convenção é usar uma carga de teste positiva.

    25. As acusações são do mesmo signo.

    27. No infinito, esperaríamos que o campo chegasse a zero, mas como a folha é infinita em extensão, esse não é o caso. Onde quer que você esteja, você vê um plano infinito em todas as direções.

    29. A placa carregada infinita estaria\(\displaystyle E=\frac{σ}{2ε_0}\) em todo lugar. O campo apontaria para a placa se estivesse carregada negativamente e apontaria para longe da placa se estivesse carregada positivamente. O campo elétrico das placas paralelas seria zero entre elas se tivessem a mesma carga, e E estaria\(\displaystyle E=\frac{σ}{ε_0}\) em qualquer outro lugar. Se as cargas forem opostas, a situação é invertida, zero fora das placas e\(\displaystyle E=\frac{σ}{ε_0}\) entre elas.

    31. sim; não

    33. Na superfície da Terra, o campo gravitacional é sempre direcionado para o centro da Terra. Um campo elétrico pode mover uma partícula carregada em uma direção diferente da direção do centro da Terra. Isso indicaria que um campo elétrico está presente.

    35. 10

    Problemas

    37. uma\(\displaystyle 2.00×10^{−9}C(\frac{1}{1.602×10^{−19}}e/C)=1.248×10^{10}electrons2\);.

    b.\(\displaystyle 0.500×10^{−6}C(\frac{1}{1.602×10^{−19}}e/C)=3.121×10^{12}electrons\)

    39. \(\displaystyle \frac{3.750×10^{21}e}{6.242×10^{18}e/C}=-600.8C\)

    41. uma\(2.0×10^{−9}C(6.242×10^{18}e/C)=1.248×10^{10}e\);.

    b.\(\displaystyle 9.109×10^{−31}kg(1.248×10^{10}e)=1.137×10^{−20}kg, \frac{1.137×10^{−20}kg}{2.5×10^{−3}kg}=4.548×10^{−18}\) ou\(\displaystyle 4.545×10^{−16}%\)

    43. \(\displaystyle 5.00×10^{−9}C(6.242×10^{18}e/C)=3.121×10^{10}e; 3.121×10^{10}e+1.0000×10^{12}e=1.0312×10^{12}e\).

    45. massa atômica do átomo de cobre vezes\(\displaystyle 1u=1.055×10^{−25}kg\); número de átomos de cobre =\(\displaystyle 4.739×10^{23}atoms\); número de elétrons é igual a 29 vezes o número de átomos ou\(\displaystyle 1.374×10^{25}electrons\);\(\displaystyle \frac{2.00×10^{−6}C(6.242×10^{18}e/C)}{1.374×10^{25}e}=9.083×10^{−13}\) ou\(\displaystyle 9.083×10^{−11}%\).

    47. \(\displaystyle 244.00u(1.66×10^{−27}kg/u)=4.050×10^{−25}kg\);\(\displaystyle \frac{4.00kg}{4.050×10^{−25}kg}=9.877×10^{24}atoms\)\(\displaystyle 9.877×10^{24}(94)=9.284×10^{26}protons\)\(\displaystyle 9.284×10^{26}protons; 9.284×10^{26}(1.602×10^{−19}C/p)=1.487×10^8C\)

    49. a. carga 1 é\(\displaystyle 3μC\); carga 2 é\(\displaystyle 12μC\),\(\displaystyle F_{31}=2.16×10^{−4}N\) à esquerda,

    \(\displaystyle F_{32}=8.63×10^{−4}N\)para a direita,

    \(\displaystyle F_{net}=6.47×10^{−4}N\)para a direita;

    b.\(\displaystyle F_{31}=2.16×10^{−4}N\) para a direita,

    \(\displaystyle F_{32}=9.59×10^{−5}N\)para a direita,

    \(\displaystyle F_{net}=3.12×10^{−4}N\)para a direita,

    Três cobranças são mostradas. A carga 1 é uma carga de 3 micro Coulomb no canto inferior esquerdo. A carga 2 é uma carga Coulomb de 12 micro no canto inferior direito, 1 metro à direita da carga 1. A carga 3 é uma carga de menos 2 nano Coulomb 0,5 metros acima da carga 2. As cargas definem um triângulo reto, com a carga 2 no ângulo reto. O ângulo no vértice com a carga um é teta. As forças na carga três são mostradas. F 3 1 pontos para baixo e para a esquerda, em direção à carga 1. Força F 3 2 pontos verticalmente para baixo.

    c.\(\displaystyle \vec{F}_{31x}=−2.76×10^{−5}N\hat{i},\)

    \(\displaystyle \vec{F}_{31y}=−1.38×10^{−5}N\hat{j}\),

    \(\displaystyle \vec{F}_{32y}=−8.63×10^{−4}N\hat{j}\),

    \(\displaystyle \vec{F}_{net}=−2.76×10^{−5}N\hat{i}−8.77×10^{−4}N\hat{j}\)

    51. \(\displaystyle F=230.7N\)

    53. \(\displaystyle F=53.94N\)

    55. A tensão é\(\displaystyle T=0.049N\). O componente horizontal da tensão é\(\displaystyle 0.0043N\)

    \(\displaystyle d=0.088m,q=6.1×10^{−8}C\).

    As cobranças podem ser positivas ou negativas, mas ambas devem ser do mesmo sinal.

    57. Deixe a carga em uma das esferas ser rQ, onde r é uma fração entre 0 e 1. No numerador da lei de Coulomb, o termo que envolve as acusações é\(\displaystyle rQ(1−r)Q\). Isso é igual\(\displaystyle (r−r^2)Q^2\) a. Encontrar o máximo desse termo dá\(\displaystyle 1−2r=0⇒r=\frac{1}{2}\)

    59. Defina direita como sendo a direção positiva e, portanto, esquerda é a direção negativa, então\(\displaystyle F=−0.05N\)

    61. As partículas formam um triângulo de lados 13, 13 e 24 cm. Os componentes x são cancelados, enquanto há uma contribuição para o componente y de ambas as cargas com 24 cm de distância. O eixo y que passa pela terceira carga divide a linha de 24 cm, criando dois triângulos retos dos lados 5, 12 e 13 cm. \(\displaystyle F_y=2.56N\)na direção y negativa, pois a força é atraente. A força líquida de ambas as cargas é\(\displaystyle \vec{F}_{net}=−5.12N\hat{j}\)

    63. A diagonal é\(\displaystyle \sqrt{2}a\) e os componentes da força devido à carga diagonal têm um fator\(\displaystyle cosθ=\frac{1}{\sqrt{2}}\);\(\displaystyle \vec{F}_{net}=[k\frac{q^2}{a^2}+k\frac{q^2}{2a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}]\hat{i}−[k\frac{q^2}{a^2}+k\frac{q^2}{2a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}]\hat{j}\)

    65. \(\displaystyle a. E=2.0×10^{−2}\frac{N}{C}\);

    \(\displaystyle b. F=2.0×10^{−19}N\)

    67. uma\(\displaystyle E=2.88×10^{11}N/C\);.

    b.\(\displaystyle E=1.44×10^{11}N/C\);

    c.\(\displaystyle F=4.61×10^{−8}N\) uma partícula alfa

    \(\displaystyle F=4.61×10^{−8}N\)no elétron

    69. \(\displaystyle E=(−2.0\hat{i}+3.0\hat{j})N\)

    71. \(\displaystyle F=3.204×10^{−14}N\),

    \(\displaystyle a=3.517×10^{16}m/s^2\)

    73. \(\displaystyle q=2.78×10^{−9}C\)

    75. uma\(\displaystyle E=1.15×10^{12}N/C\);.

    b.\(\displaystyle F=1.47×10^{−6}N\)

    77. Se o\(\displaystyle q_2\) estiver à direita de\(\displaystyle q_1\), o vetor de campo elétrico de ambas as cargas aponta para a direita.

    uma\(\displaystyle E=2.70×10^6N/C\);.

    b.\(\displaystyle F=54.0N\)

    79. Há uma geometria de triângulo reto de 45°. Os componentes x do campo elétrico no\(\displaystyle y=3m\) cancelamento. Os componentes y fornecem\(\displaystyle E(y=3m)=2.83×10^3N/C\).

    Na origem, temos uma carga negativa de magnitude.\(\displaystyle q=−2.83×10^{−6}C\)

    81. \(\displaystyle \vec{E}(z)=3.6×10^4N\hat{k}\)

    83. \(\displaystyle dE=\frac{1}{4πε_0}\frac{λdx}{(x+a)^2},E=\frac{λ}{4πε_0}[\frac{1}{l+a}−\frac{1}{a}]\)

    85. \(\displaystyle σ=0.02C/m^2\)\(\displaystyle E=2.26×10^9N/C\)

    87. Em\(\displaystyle P_1: \vec{E}(y)=\frac{1}{4πε_0}\frac{λL}{y\sqrt{y^2+\frac{L^2}{4}}}\hat{j}⇒\frac{1}{4πε_0}\frac{q}{\frac{a}{2}\sqrt{(\frac{a}{2})^2+\frac{L^2}{4}}}\hat{j}=\frac{1}{πε_0}\frac{q}{a\sqrt{a^2+L^2}}\hat{j}\)

    Em\(\displaystyle P_2\): Coloque a origem no final de L.

    \(\displaystyle dE=\frac{1}{4πε_0}\frac{λdx}{(x+a)^2},\vec{E} =−\frac{q}{4πε_0l}[\frac{1}{l+a}−\frac{1}{a}]\hat{i}\)

    89. uma\(\displaystyle \vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4πε_0}\frac{2λ_x}{a}\hat{i}+\frac{1}{4πε_0}\frac{2λ_y}{b}\hat{j}\);.

    b.\(\displaystyle \frac{1}{4πε_0}\frac{2(λ_x+λ_y)}{c}\hat{k}\)

    91. uma.\(\displaystyle \vec{F}=3.2×10^{−17}N\hat{i}\),

    \(\displaystyle \vec{a}=1.92×10^{10}m/s^2\hat{i}\);

    b.\(\displaystyle \vec{F} =−3.2×10^{−17}N\hat{i}\),

    \(\displaystyle \vec{a} =−3.51×10^{13}m/s^2\hat{i}\)

    93. \(\displaystyle m=6.5×10^{−11}kg\),

    \(\displaystyle E=1.6×10^7N/C\)

    95. \(\displaystyle E=1.70×10^6N/C\),

    \(\displaystyle F=1.53×10^{−3}NTcosθ=mgTsinθ=qE\),

    \(\displaystyle tanθ=0.62⇒θ=32.0°\),

    Isso é independente do comprimento da corda.

    97. arco circular\(\displaystyle dE_x(−\hat{i})=\frac{1}{4πε_0}\frac{λds}{r^2}cosθ(−\hat{i}\),

    \(\displaystyle \vec{E}_x=\frac{λ}{4πε_0r}(−\hat{i})\),

    \(\displaystyle dEy(−\hat{i}ˆ)=\frac{1}{4πε_0}\frac{λds}{r^2}sinθ(−\hat{j})\),

    \(\displaystyle \vec{E}_y=\frac{λ}{4πε_0r}(−\hat{j})\);

    eixo y:\(\displaystyle \vec{E}_x=\frac{λ}{4πε_0r}(−\hat{i})\);

    eixo x:\(\displaystyle \vec{E}_y=\frac{λ}{4πε_0r}(−\hat{j})\),

    \(\displaystyle \vec{E}=\frac{λ}{2πε_0r}(−\hat{i})+\frac{λ}{2πε_0r}(−\hat{j})\)

    99. uma\(\displaystyle W=\frac{1}{2}m(v^2−v^2_0), \frac{Qq}{4πε_0}(\frac{1}{r}−\frac{1}{r_0})=\frac{1}{2}m(v^2−v^2_0)⇒r_0−r=\frac{4πε_0}{Qq}\frac{1}{2}rr_0m(v^2−v^2_0)\);.

    b.\(\displaystyle r_0−r\) é negativo; portanto\(\displaystyle v_0>v, r→∞\), e\(\displaystyle v→0:\frac{Qq}{4πε_0}(−\frac{1}{r_0})=−\frac{1}{2}mv^2_0⇒v_0=\sqrt{\frac{Qq}{2πε_0mr_0}}\)

    101.

    A Figura a mostra uma carga de Coulomb positiva de 20 micro à esquerda, uma carga negativa de 20 micro Coulomb à direita e as linhas de campo devidas às cargas. As linhas de campo saem da carga positiva e convergem entrando na carga negativa. As linhas externas do campo se estendem além da área de desenho e, portanto, as vemos se curvando para a direita, em direção à carga negativa, mas só vemos parte da linha. A densidade das linhas que saem do positivo é a mesma que a densidade que vai para o negativo. A Figura b mostra uma carga positiva de 20 micro Coulomb à esquerda, uma carga positiva de 20 micro Coulomb à direita e as linhas de campo devidas às cargas. As linhas de campo saem das cargas positivas e divergem, afastando-se da carga mais distante. A densidade das linhas é a mesma perto de cada uma das cargas. A Figura c mostra uma carga de Coulomb positiva de 20 micro à esquerda, uma carga negativa de 30 micro Coulomb à direita e as linhas de campo devidas às cargas. As linhas de campo saem da carga positiva. Mais linhas entram na carga negativa de 20 micro Coulomb do que na carga positiva de 20 micro Coulomb. Todas as linhas que saem da carga positiva terminam no negativo, enquanto as linhas externas que vão para o negativo começam no infinito.

    103.

    Quatro cargas são mostradas nos cantos de um quadrado. No canto superior esquerdo está positivo 10 nano Coulombs. No canto superior direito está menos 10 nano Coulombs. No canto inferior esquerdo está menos 10 nano Coulombs. No canto inferior direito estão 10 nano Coulombs positivos. As linhas do campo também são mostradas. Eles saem das cargas positivas e se curvam e terminam nas cargas negativas. A menor densidade está próxima ao centro da praça.

    105. \(\displaystyle E_x=0, E_y=\frac{1}{4πε_0}[\frac{2q}{(x^2+a^2})\frac{a}{\sqrt{(x^2+a^2)}}⇒x≫a⇒\frac{1}{2πε_0}\frac{qa}{x^3}\)

    \(\displaystyle E_y=\frac{q}{4πε_0}[\frac{2ya+2ya}{(y−a)^2(y+a)^2}]⇒y≫a⇒\frac{1}{πε_0}\frac{qa}{y^3}\)

    107. O momento de dipolo líquido da molécula é a soma vetorial dos momentos de dipolo individuais entre os dois O-H. A separação O-H é de 0,9578 angstroms:

    \(\displaystyle \vec{p} =1.889×10^{−29}Cm\hat{i}\)

    Problemas adicionais

    109. \(\displaystyle \vec{F}_{net}=[−8.99×10^9\frac{3.0×10^{−6}(5.0×10^{−6})}{(3.0m)^2}−8.99×10^9\frac{9.0×10^{−6}(5.0×10^{−6})}{(3.0m)^2}]\hat{i}, −8.99×10^9\frac{6.0×10^{−6}(5.0×10^{−6})}{(3.0m)^2}\hat{j}=−0.06N\hat{i}−0.03N\hat{j}\)

    111. As cargas Q e q formam um triângulo reto de lados 1 m e\(\displaystyle 3+\sqrt{3}m.\) as cargas 2Q e q formam um triângulo reto de lados 1 m\(\displaystyle \sqrt{3}m\) e.

    \(\displaystyle F_x=0.049N,\)

    \(\displaystyle F_y=0.09N\),

    \(\displaystyle \vec{F}_{net}=0.049N\hat{i}+0.09N\hat{j}\)

    113. W = 0,054 M

    115. uma\(\displaystyle \vec{E}=\frac{1}{4πε_0}(\frac{q}{(2a)^2}−\frac{q}{a^2})\hat{i}\);.

    b.\(\displaystyle \vec{E}=\frac{\sqrt{3}}{4πε_0}\frac{q}{a^2}(−\hat{j})\);

    c.\(\displaystyle \vec{E}=\frac{2}{πε_0}\frac{q}{a^2}\frac{1}{\sqrt{2}}(−\hat{j})\)

    117. \(\displaystyle \vec{E}=6.4×10^6(\hat{i})+1.5×10^7(\hat{j})N/C\)

    119. \(\displaystyle F=qE_0(1+x/a)\)\(\displaystyle W=\frac{1}{2}m(v^2−v^2_0)\),

    \(\displaystyle \frac{1}{2}mv^2=qE_0(\frac{15a}{2})J\)

    121. Campo elétrico do fio em x:\(\displaystyle \vec{E}(x)=\frac{1}{4πε_0}\frac{2λ_y}{x}\hat{i}\),

    \(\displaystyle dF=\frac{λ_yλ_x}{2πε_0}(lnb−lna)\)

    123.

    Uma haste de comprimento L é mostrada, alinhada com o eixo x com a extremidade esquerda na origem. Um ponto P é mostrado no eixo z, a uma distância a acima da extremidade esquerda da haste. Um pequeno segmento da haste é rotulado como d x e está a uma distância x à direita da extremidade esquerda da haste. A linha de dx ao ponto P forma um ângulo de teta com o eixo x. O vetor d E, desenhado com sua cauda no ponto P, aponta para longe do segmento d x.

    \(\displaystyle dEx=\frac{1}{4πε_0}\frac{λdx}{(x^2+a^2)}\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}\),

    \(\displaystyle \vec{E}_x=\frac{λ}{4πε_0}[\frac{1}{\sqrt{L^2+a^2}}−\frac{1}{a}]\hat{i}\),

    \(\displaystyle dE_z=\frac{1}{4πε_0}\frac{λdx}{(x^2+a^2)}\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}}\),

    \(\displaystyle \vec{E}_z=\frac{λ}{4πε_0a}\frac{L}{\sqrt{L^2+a^2}}\hat{k}\),

    Substituindo z por a, temos:

    \(\displaystyle \vec{E}(z)=\frac{λ}{4πε_0}[\frac{1}{\sqrt{L^2+z^2}}−\frac{1}{z}]\hat{i}+\frac{λ}{4πε_0z}\frac{L}{\sqrt{L^2+z^2}}\hat{k}\)

    125. Há uma força líquida somente na direção y. \(\displaystyle θ\)Seja o ângulo que o vetor de dx a q faz com o eixo x. Os componentes ao longo do eixo x se cancelam devido à simetria, deixando o componente y da força.

    \(\displaystyle dF_y=\frac{1}{4πε_0}\frac{aqλdx}{(x^2+a^2)^{3/2}}\),

    \(\displaystyle Fy=\frac{1}{2πε_0}\frac{qλ}{a}[\frac{l/2}{((l/2)^2+a^2)^{1/2}}]\)

    Contribuidores e atribuições

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