2.A: A Teoria Cinética dos Gases (Resposta)
- Page ID
- 184680
Verifique sua compreensão
2.1. Primeiro, precisamos calcular a massa molar (a massa de um mol) da niacina. Para fazer isso, devemos multiplicar o número de átomos de cada elemento na molécula pela massa molar do elemento.
\(\displaystyle (6mol of carbon)(12.0g/mol)+(5mol hydrogen)(1.0g/mol)+(1mol nitrogen)(14g/mol)+(2mol oxygen)(16.0g/mol)=123g/mol\)
Em seguida, precisamos calcular o número de moles em 14 mg.
\(\displaystyle (\frac{14mg}{123g/mol})(\frac{1g}{1000mg})=1.14×10^{−4}mol\).
Em seguida, usamos o número de Avogadro para calcular o número de moléculas:
\(\displaystyle N=nN_A=(1.14×10^{−4}mol)(6.02×10^{23}molecules/mol)=6.85×10^{19}molecules.\)
2.2. A densidade de um gás é igual a uma constante, a massa molecular média, vezes a densidade numérica N/V. Pela lei do gás ideal\(\displaystyle pV=Nk_BT\), vemos que\(\displaystyle N/V=p/k_BT.\) Portanto, em temperatura constante, se a densidade e, consequentemente, a densidade numérica forem reduzidas pela metade, a pressão também deve ser reduzida em metade,\(\displaystyle p_f=0.500atm\) e.
2.3. A densidade é a massa por unidade de volume e o volume é proporcional ao tamanho de um corpo (como o raio de uma esfera) ao cubo. Portanto, se a distância entre as moléculas aumenta em um fator de 10, o volume ocupado aumenta em um fator de 1000 e a densidade diminui em um fator de 1000. Como assumimos que as moléculas estão em contato em líquidos e sólidos, a distância entre seus centros está na ordem de seu tamanho típico, então a distância nos gases é da ordem de 10 vezes maior.
2.4. Sim. Essas flutuações realmente ocorrem em um corpo de qualquer tamanho em um gás, mas como o número de moléculas é imenso para corpos macroscópicos, as flutuações são uma pequena porcentagem do número de colisões, e as médias mencionadas nesta seção variam imperceptivelmente. Grosso modo, as flutuações são inversamente proporcionais à raiz quadrada do número de colisões; portanto, para corpos pequenos, elas podem se tornar significativas. Na verdade, isso foi observado no século XIX para grãos de pólen na água e é conhecido como movimento browniano.
2,5. Em um líquido, as moléculas estão muito próximas umas das outras, colidindo constantemente umas com as outras. Para que um gás seja quase ideal, como o ar está em condições normais, as moléculas devem estar muito distantes. Portanto, o caminho livre médio é muito mais longo no ar.
2.6. Como o número de moles é igual e sabemos que as capacidades de calor molar dos dois gases são iguais, a temperatura está a meio caminho entre as temperaturas iniciais, 300 K.
Perguntas conceituais
1. 2 moles, pois conterão duas vezes mais moléculas do que 1 mol de oxigênio
3. pressão
5. A chama contém gás quente (aquecido pela combustão). A pressão ainda é a pressão atmosférica, em equilíbrio mecânico com o ar ao seu redor (ou mais ou menos). A densidade do gás quente é proporcional à sua densidade numérica N/V (negligenciando a diferença na composição entre o gás na chama e o ar circundante). Em temperaturas mais altas do que o ar circundante, a lei do gás ideal diz que\(\displaystyle N/V=p/k_BT\) é menor do que a do ar circundante. Portanto, o ar quente tem menor densidade do que o ar circundante e é levantado pela força de empuxo.
7. O caminho livre médio é inversamente proporcional ao quadrado do raio, então ele diminui em um fator de 4. O tempo livre médio é proporcional ao caminho livre médio e inversamente proporcional à velocidade rms, que por sua vez é inversamente proporcional à raiz quadrada da massa. Isso fornece um fator de\(\displaystyle \sqrt{8}\) no numerador, então o tempo livre médio diminui em um fator de\(\displaystyle \sqrt{2}\).
9. Como eles são mais massivos, sua gravidade é mais forte, então a velocidade de escape deles é maior. Como estão mais distantes do Sol, são mais frias, então as velocidades das moléculas atmosféricas, incluindo hidrogênio e hélio, são menores. A combinação desses fatos significa que relativamente poucas moléculas de hidrogênio e hélio escaparam dos planetas externos.
11. Aquele em que o nitrogênio é armazenado, pois\(\displaystyle CO_2\) o excesso causa uma sensação de sufocamento, mas o excesso de nitrogênio e o oxigênio insuficiente não.
13. Menos, porque em temperaturas mais baixas sua capacidade de aquecimento era de apenas 3RT/2.
15. a. falso; b. verdadeiro; c. verdadeiro; d. verdadeiro
17. 1200 K
Problemas
19. a. 0,137 atm;
\(\displaystyle p_g=(1atm)\frac{T_2V_1}{T_1V_2}−1atm\)b. Por causa da expansão do vidro,\(\displaystyle V_2=0.99973\). Multiplicar por esse fator não faz nenhuma diferença significativa.
21. uma.\(\displaystyle 1.79×10^{−3}mol;\)
b. 0,227 ml;
c.\(\displaystyle 1.08×10^{21}\) moléculas para o nitrogênio,\(\displaystyle 1.37×10^{23}\) moléculas para o dióxido de carbono
23. \(\displaystyle 7.84×10^{−2} mol\)
25. \(\displaystyle 1.87×10^{3}\)
27. \(\displaystyle 2.47×10^7\)moléculas
29. \(\displaystyle 6.95×10^5Pa;\); 6,86 atm
31. uma.\(\displaystyle 9.14×10^6 Pa;\)
b.\(\displaystyle 8.22×10^6Pa\);
c. 2,15 K;
d. não
33. 40,7 km
35. a. 0,61 N;
b. 0,20 Pa
37. a. 5,88 m/s;
b. 5,89 m/s
39. 177 m/s
41. \(\displaystyle 4.54×10^3\)
43. a. 0,0352 mol;
b.\(\displaystyle 5.65×10^{−21}J\);
c. 139 J
45. 21,1 kPa
47. 458 QUILOGRAMAS
49. \(\displaystyle 3.22×10^3K\)
51. a. 1.004;
b. 764 K;
c. Essa temperatura é equivalente a 915ºF, o que é alto, mas não impossível de alcançar. Assim, esse processo é viável. Nessa temperatura, no entanto, pode haver outras considerações que dificultam o processo. (Em geral, o enriquecimento de urânio por difusão gasosa é realmente difícil e requer muitas passagens.)
53. 65 ml
55. a. 0,76 atm;
b. 0,29 atm;
c. A pressão lá está pouco acima do nível rapidamente fatal.
57. \(\displaystyle 4.92×10^5K\); Sim, essa é uma temperatura impraticavelmente alta.
59. poliatômico
61. 3,08 × 10 ^ 3 J\)
63. \(\displaystyle 29.2°C\)
65. \(\displaystyle −1.6°C\)
67. 0,00157
69. Cerca de 0,072. As respostas podem variar um pouco. Uma resposta mais precisa é 0,074.
71. a. 419 m/s;
b. 472 m/s;
c. 513 m/s
73. 541 K
75. 2400 K para todas as três peças
Problemas adicionais
77. uma\(\displaystyle 1.20kg/m^3\);.
b.\(\displaystyle 65.9kg/m^3\)
79. 7,9 mm
81. a. fluido supercrítico;
b.\(\displaystyle 3.00×10^7Pa\)
83. 40,18%
85. uma\(\displaystyle 2.21×10^{27}molecules/m^3\);.
b.\(\displaystyle 3.67×10^3mol/m^3\)
87. 8,2 mm
89. a. 1080 J/kg°C;
b. 12%
91. \(\displaystyle\displaystyle 2\ sqrt {e} /3\) cerca de 1,10
93. a. 411 m/s;
b. De acordo com a Tabela 2.3, o\(\displaystyle C_V\) of\(\displaystyle H_2\) é significativamente diferente do valor teórico, portanto, o modelo de gás ideal não o descreve muito bem à temperatura e pressão ambiente, e a distribuição de velocidade de Maxwell-Boltzmann para gases ideais pode não se manter muito bem, ainda menos bem em um nível mais baixo temperatura.
Problemas de desafio
95. 29,5 N/m
97. Substituindo\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}u\) e\(\displaystyle dv=\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}du\) dando
\(\displaystyle ∫^∞_0\frac {4}{\sqrt{π}}(\frac{m}{2k_BT})^{3/2}v^2e^{−mv^2/2k_BT}dv=∫^∞_0\frac{4}{\sqrt{π}}(\frac{m}{2k_BT})^{3/2}(\frac{2k_BT}{m})u^2e^{−u^2}\sqrt{\frac{2k_BT}{m}}du=∫^∞_0\frac{4}{\sqrt{π}}u^2e^{−u^2}du=\frac{4}{\sqrt{π}}\frac{\sqrt{π}}{4}=1\)
99. Fazendo a transformação de escala como nos problemas anteriores, descobrimos que,\(\displaystyle \bar{v^2}=∫^∞_0\frac{4}{\sqrt{π}}(\frac{m}{2k_BT})^{3/2}v^2v^2e^{−mv^2/2k_BT}dv=∫^∞_0\frac{4}{\sqrt{π}}\frac{2k_BT}{m}u^4e^{−u^2}du.\) como no problema anterior, integramos por partes:\(\displaystyle ∫^∞_0u^4e^{−u^2}du=[−\frac{1}{2}u^3e^{−u^2}]^∞_0+\frac{3}{2}∫^∞_0u^2e^{−u^2}du.\) Novamente, o primeiro termo é 0, e nos foi dado em um problema anterior que a integral no segundo termo é igual\(\displaystyle \frac{\sqrt{π}}{4}\). Agora temos\(\displaystyle \bar{v^2}=\frac{4}{\sqrt{π}}\frac{2k_BT}{m}\frac{3}{2}\frac{\sqrt{π}}{4}=\frac{3k_BT}{m}\). Tomar a raiz quadrada de ambos os lados dá o resultado desejado:\(\displaystyle v_{rms}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}\).