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9.6: Teoria de bandas de sólidos

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Descreva duas abordagens principais para determinar os níveis de energia de um elétron em um cristal
    • Explique a presença de faixas de energia e lacunas na estrutura de energia de um cristal
    • Explique por que alguns materiais são bons condutores e outros são bons isolantes
    • Diferencie entre um isolador e um semicondutor

    O modelo de elétrons livres explica muitas propriedades importantes dos condutores, mas é fraco em pelo menos duas áreas. Primeiro, ele assume uma energia potencial constante dentro do sólido. (Lembre-se de que uma energia potencial constante está associada a nenhuma força.) A figura\(\PageIndex{1}\) compara a suposição de uma energia potencial constante (linha pontilhada) com o potencial periódico de Coulomb, que cai como\(-1/r\) em cada ponto da rede, onde r é a distância do núcleo do íon (linha sólida). Em segundo lugar, o modelo de elétrons livres assume uma barreira impenetrável na superfície. Essa suposição não é válida porque, sob certas condições, os elétrons podem escapar da superfície, como no efeito fotoelétrico. Além dessas suposições, o modelo de elétrons livres não explica as diferenças dramáticas nas propriedades eletrônicas de condutores, semicondutores e isoladores. Portanto, é necessário um modelo mais completo.

    A figura mostra três estruturas invertidas em forma de U em uma fileira e duas incompletas em cada lado da linha. Há pontos vermelhos na parte inferior entre duas figuras consecutivas, com sinais de mais abaixo delas. A distância entre dois pontos consecutivos é a. As formas são rotuladas menos 1 por r. Há um pontilhado logo acima das formas. Isso é rotulado como energia potencial constante aproximada.
    Figura\(\PageIndex{1}\): O potencial periódico usado para modelar elétrons em um condutor. Cada íon no sólido é a fonte de um potencial de Coulomb. Observe que o modelo de elétrons livres é produtivo porque a média desse campo é aproximadamente constante.

    Podemos produzir um modelo aprimorado resolvendo a equação de Schrödinger para o potencial periódico mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). No entanto, a solução requer matemática técnica muito além do nosso escopo. Mais uma vez, buscamos um argumento qualitativo baseado na mecânica quântica para encontrar um caminho a seguir.

    Primeiro, revisamos o argumento usado para explicar a estrutura de energia de uma ligação covalente. Considere dois átomos de hidrogênio idênticos tão distantes que não haja interação alguma entre eles. Além disso, suponha que o elétron em cada átomo esteja no mesmo estado fundamental: um elétron de 1 s com uma energia de\(-13.6 \, eV\) (ignore o spin). Quando os átomos de hidrogênio se aproximam, as funções de onda individuais dos elétrons se sobrepõem e, pelo princípio de exclusão, não podem mais estar no mesmo estado quântico, o que divide os níveis de energia equivalentes originais em dois níveis de energia diferentes. As energias desses níveis dependem da distância interatômica\(a\) (Figura\(\PageIndex{2a}\)).

    Se quatro átomos de hidrogênio forem reunidos, quatro níveis são formados a partir das quatro simetrias possíveis - uma única “protuberância” de onda senoidal em cada poço, alternando para cima e para baixo, e assim por diante. No limite de um número muito grande de N de átomos, esperamos uma dispersão de bandas quase contínuas de níveis de energia eletrônica em um sólido (Figura\(\PageIndex{2c}\)). Cada uma dessas bandas é conhecida como banda de energia. (Os estados permitidos de energia e o número de ondas ainda são tecnicamente quantizados, mas para um grande número de átomos, esses estados estão tão próximos que são considerados contínuos ou “em contínuo”.)

    Três gráficos de E versus R são mostrados. A Figura a tem uma curva formada por duas linhas quase verticais que descem, giram para a direita e ficam quase horizontais. Eles convergem para formar uma única linha. A Figura b tem uma curva semelhante, mas há duas linhas adicionais entre as linhas presentes na figura a. A Figura c é semelhante à figura a com a área entre as linhas sombreada.
    Figura\(\PageIndex{2}\): A dependência da divisão do nível de energia na distância média entre (a) dois átomos, (b) quatro átomos e (c) um grande número de átomos. Para um grande número de elétrons, uma banda contínua de energias é produzida

    As bandas de energia diferem no número de elétrons que elas contêm. Nas bandas de energia de 1 s e 2 s, cada nível de energia contém até dois elétrons (spin up e spin down), então essa banda tem uma ocupação máxima de 2 N elétrons. Na banda de energia de 2 p, cada nível de energia comporta até seis elétrons, então essa banda tem uma ocupação máxima de 6 N elétrons (Figura\(\PageIndex{3}\)).

    A figura mostra três retângulos sombreados, um em cima do outro, separados por espaços. O mais baixo é rotulado como 1s, o do meio é 2s e o superior é 2p. 1s e 2s têm a mesma altura, 2p é mais alto. Todos têm a mesma largura. À esquerda dos retângulos está uma seta chamada energia apontando para cima.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Uma representação simples da estrutura de energia de um sólido. Os elétrons pertencem a bandas de energia separadas por lacunas de energia.

    Cada banda de energia é separada da outra por uma lacuna de energia. As propriedades elétricas dos condutores e isoladores podem ser entendidas em termos de faixas de energia e lacunas. A faixa de energia mais alta que é preenchida é conhecida como banda de valência. A próxima banda disponível na estrutura de energia é conhecida como banda de condução. Em um condutor, a banda de energia mais alta que contém elétrons é parcialmente preenchida, enquanto em um isolador, a banda de energia mais alta contendo elétrons é completamente preenchida. A diferença entre um condutor e um isolador é ilustrada na Figura\(\PageIndex{4}\).

    Um condutor difere de um isolador na forma como seus elétrons respondem a um campo elétrico aplicado. Se um número significativo de elétrons for acionado pelo campo, o material é um condutor. Em termos do modelo de banda, os elétrons na banda de condução parcialmente preenchida ganham energia cinética do campo elétrico preenchendo estados de energia mais altos na banda de condução. Por outro lado, em um isolador, os elétrons pertencem a bandas completamente preenchidas. Quando o campo é aplicado, os elétrons não podem fazer tais transições (adquirem energia cinética do campo elétrico) devido ao princípio de exclusão. Como resultado, o material não conduz eletricidade.

    Duas figuras têm um retângulo na parte inferior denominado faixa de valência, um espaço no meio marcado como lacuna de energia e um retângulo na parte superior rotulada banda de condução. Na figura a, que é rotulada como condutor: faixa de saia preenchida, banda de condução não preenchida, o retângulo inferior é sombreado e o superior é sombreado apenas na metade inferior. Na figura b, que é rotulada como isolante: faixa de saia preenchida, banda de condução preenchida, ambos os retângulos estão totalmente sombreados.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Comparação entre um condutor e um isolador. A faixa de energia mais alta é parcialmente preenchida em um condutor, mas completamente preenchida em um isolador.
    Simulação

    Visite esta simulação para aprender sobre a origem das faixas de energia em cristais de átomos e como a estrutura das bandas determina como um material conduz eletricidade. Explore como a estrutura da banda cria uma rede de muitos poços.

    Um semicondutor tem uma estrutura de energia semelhante a um isolador, exceto por ter uma lacuna de energia relativamente pequena entre a banda mais baixa completamente preenchida e a próxima banda não preenchida disponível. Esse tipo de material forma a base da eletrônica moderna. No\(T = 0 \, K\), o semicondutor e o isolador têm faixas completamente preenchidas. A única diferença está no tamanho da lacuna de energia (ou intervalo de banda) E g entre a banda de energia mais alta que é preenchida (a banda de valência) e a próxima banda vazia mais alta (a banda de condução). Em um semicondutor, essa lacuna é pequena o suficiente para que um número substancial de elétrons da banda de valência seja excitado termicamente na banda de condução em temperatura ambiente. Esses elétrons estão então em uma banda quase vazia e podem responder a um campo aplicado. Como regra geral, o intervalo de banda de um semicondutor é de cerca de 1 eV. (Tabela\(\PageIndex{1}\) para silício.) Um intervalo de banda maior que aproximadamente 1 eV é considerado um isolante. Para comparação, a lacuna de energia do diamante (um isolador) é de vários elétron-volts.

    Tabela\(\PageIndex{1}\): Diferença de energia para vários materiais a 300 kNota: Exceto para diamante, os materiais listados são todos semicondutores.
    Material Diferença de energia\(E_g(eV)\)
    Si \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">1,14
    Ge \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">0,67
    GaAs \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">1,43
    GaP \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">2,26
    GasB \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">0,69
    Nas \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">0,35
    iNP \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">1,35
    Em SB \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">0.16
    C (diamante) \ (e_G (eV)\)” style="text-align:center;” class="lt-phys-4545">5.48