2.A: Óptica geométrica e formação de imagens (respostas)

Verifique sua compreensão

Perguntas conceituais

1. A imagem virtual não pode ser projetada em uma tela. Você não pode distinguir uma imagem real de uma imagem virtual simplesmente julgando pela imagem percebida com seus olhos.

3. Sim, você pode fotografar uma imagem virtual. Por exemplo, se você fotografar seu reflexo de um espelho plano, obterá uma fotografia de uma imagem virtual. A câmera focaliza a luz que entra em sua lente para formar uma imagem; se a fonte da luz é um objeto real ou um reflexo do espelho (ou seja, uma imagem virtual) não importa.

5. Não, você pode ver a imagem real da mesma forma que vê a imagem virtual. A retina do seu olho serve efetivamente como uma tela.

7. O espelho deve ter metade do seu tamanho e a borda superior deve estar no nível dos olhos. O tamanho não depende da sua distância do espelho.

9. quando o objeto está no infinito; veja a equação do espelho

11. Sim, a ampliação negativa significa simplesmente que a imagem está de cabeça para baixo; isso não impede que a imagem seja maior que o objeto. Por exemplo, para um espelho côncavo, se a distância até o objeto for maior que uma distância focal, mas menor que duas distâncias focais, a imagem será invertida e ampliada.

13. as respostas podem variar

15. A distância focal da lente é fixa, então a distância da imagem muda em função da distância do objeto.

17. Sim, a distância focal mudará. A equação do fabricante da lente mostra que a distância focal depende do índice de refração do meio ao redor da lente. Como o índice de refração da água é diferente do do ar, a distância focal da lente mudará quando submersa na água.

19. Um olho relaxado e com visão normal focalizará raios de luz paralelos na retina.

21. Uma pessoa com uma lente interna precisará de óculos para ler porque seus músculos não podem distorcer a lente, como fazem com as lentes biológicas, portanto, não pode se concentrar em objetos próximos. Para corrigir a miopia, a potência da lente intraocular deve ser menor que a da lente removida.

23. Os microscópios criam imagens de tamanho macroscópico, então a óptica geométrica se aplica.

25. A ocular seria movida um pouco mais longe da objetiva para que a imagem formada pela objetiva caísse um pouco além da distância focal da ocular.

Problemas

27.

A figura mostra seções transversais de dois espelhos colocados em um ângulo de 60 graus entre si. Seis pequenos círculos rotulados como objeto\(\displaystyle I_1, I_2, I_3, I_4\) e\(\displaystyle I_5\) são mostrados. O objeto está na bissetriz entre os espelhos. A linha 1 cruza o espelho 1 conectando perpendicularmente o objeto ao\(\displaystyle I_1\) outro lado do espelho. A linha 2 cruza o espelho 2 conectando perpendicularmente o objeto ao\(\displaystyle I_2\) outro lado do espelho. Linhas paralelas a essas, respectivamente,\(\displaystyle I_2\) se conectam\(\displaystyle I_1\) a\(\displaystyle I_3\) e\(\displaystyle I_4\) a. Linhas paralelas a essas, respectivamente,\(\displaystyle I_4\) se conectam\(\displaystyle I_3\) a\(\displaystyle I_5\) e\(\displaystyle I_5\) a.

29. Está no ponto focal do grande espelho e no centro da curvatura do pequeno espelho.

31. \(\displaystyle f=\frac{R}{2}⇒R=+1.60m\)

33. \(\displaystyle d_o=27.3cm\)

35. Etapa 1: A formação da imagem por um espelho está envolvida.

Etapa 2: Desenhe a configuração do problema quando possível.

Etapa 3: Use equações de lente fina para resolver esse problema.

Etapa 4: Encontre f.

Etapa 5: Dado:\(\displaystyle m=1.50,d_o=0.120m\).

Etapa 6: Não é necessário traçado de raios.

Etapa 7: Usando\(\displaystyle m=\frac{d_i}{d_o},d_i=−0.180m\). Então,\(\displaystyle f=0.360m\).

Etapa 8: A imagem é virtual porque a distância da imagem é negativa. A distância focal é positiva, então o espelho é côncavo.

37. a. para um espelho convexo\(\displaystyle d_i<0⇒m>0.m=+0.111\);

b.\(\displaystyle d_i=−0.334cm\) (atrás da córnea);

c.\(\displaystyle f=−0.376cm\), de modo que\(\displaystyle R=−0.752cm\)

39. \(\displaystyle m=\frac{h_i}{h_o}=−\frac{d_i}{d_o}=−\frac{−d_o}{d_o}=\frac{d_o}{d_o}=1⇒h_i=h_o\)

41. \(\displaystyle m=−11.0\)\(\displaystyle A′=0.110m^2\)\(\displaystyle I=6.82kW/m^2\)

A figura mostra a seção transversal de um espelho côncavo. Dois raios provenientes de um ponto atingem o espelho e são refletidos. A distância do ponto do espelho é identificada como\(\displaystyle d_o = 0.273m\)\(\displaystyle d_i = 3.00m\) e.

43. \(\displaystyle x_{2m}=−x_{2m−1},(m=1,2,3,...),\)

\(\displaystyle x_{2m+1}=b−x_{2m},(m=0,1,2,...),\)com\(\displaystyle x_0=a.\)

45. \(\displaystyle d_i=−55cm;m=+1.8\)

47. \(\displaystyle d_i=−41cm,m=1.4\)

49. prova

51. uma\(\displaystyle \frac{1}{d_i}+\frac{1}{d_o}=\frac{1}{f}⇒d_i=3.43m\);.

b.\(\displaystyle m=−33.33\), de modo que\(\displaystyle (2.40×10^{−2}m)(33.33)=80.0cm,\) e

\(\displaystyle (3.60×10^{−2}m)(33.33)=1.20m⇒0.800m×1.20m\)ou\(\displaystyle 80.0cm×120cm\)

53. uma\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}\)\(\displaystyle d_i=5.08cm\);.

b.\(\displaystyle m=−1.695×10^{−2}\), então a altura máxima é\(\displaystyle \frac{0.036m}{1.695×10^{−2}}=2.12m⇒100%\);

c. Isso parece bastante razoável, pois a 3,00 m é possível obter uma foto de corpo inteiro de uma pessoa.

55. uma\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}⇒d_o=2.55m\);.

b.\(\displaystyle \frac{h_i}{h_o}=−\frac{d_i}{d_o}⇒h_o=1.00m\)

57. a. Usando\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}\),\(\displaystyle d_i=−56.67cm\). Então, podemos determinar a ampliação,\(\displaystyle m=6.67\).

b.\(\displaystyle d_i=−190cm\) e\(\displaystyle m=+20.0\);

c. A ampliação m aumenta rapidamente à medida que você aumenta a distância do objeto em direção à distância focal.

59. \(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}\)

\(\displaystyle d_I=\frac{1}{(1/f)−(1/d_o)}\)

\(\displaystyle \frac{d_i}{d_o}=6.667×10^{−13}=\frac{h_i}{h_o}\)

\(\displaystyle h_i=−0.933mm\)

61. \(\displaystyle d_i=−6.7cm\)

\(\displaystyle h_i=4.0cm\)

63. 83 cm à direita da lente convergente,\(\displaystyle m=−2.3,h_i=6.9cm\)

65. \(\displaystyle P=52.0D\)

67. \(\displaystyle \frac{h_i}{h_o}=−\frac{d_i}{d_o}⇒h_i=−h_o(\frac{d_i}{d_o})=−(3.50mm)(\frac{2.00cm}{30.0cm})=−0.233mm\)

69. uma\(\displaystyle P=+62.5D\);.

b.\(\displaystyle \frac{h_i}{h_o}=−\frac{d_i}{d_o}⇒h_i=−0.250mm\);

c.\(\displaystyle h_i=−0.0800mm\)

71. \(\displaystyle P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}⇒d_o=28.6cm\)

73. Originalmente, a visão aproximada era de 51,0 D. Portanto,\(\displaystyle P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}⇒d_o=1.00m\)

75. originalmente,\(\displaystyle P=70.0D\); porque a potência para visão distante normal é 50,0 D, a potência deve ser reduzida em 20,0 D

77. \(\displaystyle P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}⇒d_o=0.333m\)

79. uma\(\displaystyle P=52.0D\);.

b.\(\displaystyle P′=56.16D\)\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=P⇒d_o=16.2cm\)

81. Precisamos de\(\displaystyle d_i=−18.5cm\) quando\(\displaystyle d_o=∞\), então\(\displaystyle P=−5.41D\)

83. Seja\(\displaystyle x\) = ponto distante ⇒\(\displaystyle P=\frac{1}{−(x−0.0175m)}+\frac{1}{∞}⇒−xP+(0.0175m)P=1⇒x=26.8cm\)

85. \(\displaystyle M=6×\)

87. \(\displaystyle M=(\frac{25cm}{L})(1+\frac{L−ℓ}{f})\)\(\displaystyle L−ℓ=d_o\)\(\displaystyle d_o=13cm\)

89. \(\displaystyle M=2.5×\)

91. \(\displaystyle M=−2.1×\)

93. \(\displaystyle M=\frac{25cm}{f}\)\(\displaystyle M_{max}=5\)

95. \(\displaystyle M^{young}_{max}=1+\frac{18cm}{f}⇒f=\frac{18cm}{M^{young}_{max}−1}\)

\(\displaystyle M^{old}_{max}=9.8×\)

97. uma\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}\)\(=\frac{1}{f}⇒d_i=4.65cm⇒m=−30.01\);.

b.\(\displaystyle M_{net}=−240\)

99. a.\(\displaystyle \frac{1}{d^{obj}_o}+\)\(\frac{1}{d^{obj}_i}\)\(=\frac{1}{f^{obj}}\)\(⇒d^{obj}_i=18.3cm\) atrás da lente objetiva;

b.\(\displaystyle m^{obj}=−60.0\);

c.\(\displaystyle d^{eye}_o=1.70cm\)

\(\displaystyle d^{eye}_i=−11.3cm\);

d.\(\displaystyle M^{eye}=13.5\);.

e.\(\displaystyle M_{net}=−810\)

101. \(\displaystyle M=−40.0\)

103. \(\displaystyle f^{obj}=\frac{R}{2},M=−1.67\)

105. \(\displaystyle M=−\frac{f^{obj}}{f^{eye}},f^{eye}=+10.0cm\)

107. As respostas podem variar.

109. 12 cm à esquerda do espelho,\(\displaystyle m=3/5\)

111. 27 cm na frente do espelho\(\displaystyle m=0.6,h_i=1.76cm\), orientação vertical

113. A figura a seguir mostra três imagens sucessivas começando com a imagem\(\displaystyle Q_1\) no espelho\(\displaystyle M_1\). \(\displaystyle Q_1\)é a imagem no espelho\(\displaystyle M_1\), cuja imagem no espelho\(\displaystyle M_2\) é\(\displaystyle Q_{12}\) cuja imagem no espelho\(\displaystyle M_1\) é a imagem real\(\displaystyle Q_{121}\).

A figura mostra a vista lateral de dois espelhos côncavos,\(\displaystyle M_1\)\(\displaystyle M_2\) colocados um em cima do outro, voltados um para o outro. No topo\(\displaystyle M_2\), um deles tem um pequeno orifício no meio. Um centavo é colocado no espelho inferior. Uma imagem da moeda rotulada\(\displaystyle Q_1\) é mostrada abaixo\(\displaystyle M_1\). Outra imagem do centavo, rotulada,\(\displaystyle Q_{121}\) é mostrada acima do espelho superior. Isso é rotulado como imagem real.

115. 5,4 cm do eixo

117. Deixe o vértice do espelho côncavo ser a origem do sistema de coordenadas. A imagem 1 tem −10/3 cm (−3,3 cm), a imagem 2 está a −40/11 cm (−3,6 cm). Eles servem como objetos para imagens subsequentes, que estão em −310/83 cm (−3,7 cm), −9340/2501 cm (−3,7 cm), −140.720/37.681 cm (−3,7 cm). Todas as imagens restantes têm aproximadamente −3,7 cm.

119.

A figura mostra dois prismas com suas bases paralelas entre si em um ângulo de 45 graus em relação à horizontal. À direita está uma lente biconvexa. Um raio ao longo do eixo óptico entra nessa configuração pela esquerda, desvia entre os dois prismas e viaja paralelamente ao eixo óptico, um pouco abaixo dele. Ele entra na lente e se desvia para passar pelo ponto focal do outro lado.

121. A figura mostra da esquerda para a direita: um objeto com base O no eixo e na ponta P. Uma lente bicôncava com ponto focal F1 e F2 à esquerda e à direita respectivamente e um espelho côncavo com centro de curvatura C. Dois raios se originam de P e divergem através da lente bicôncava. Suas extensões traseiras convergem entre F1 e a lente para formar a imagem Q1. Dois raios provenientes da ponta de Q1 atingem o espelho, são refletidos e convergem em Q2 entre C e o espelho.

123. −5 D

125. 11

Problemas adicionais

127. uma.

A figura mostra a seção transversal de um espelho côncavo com centro de curvatura O e ponto focal F. O ponto P fica no eixo entre o ponto F e o espelho. O raio 1 se origina do ponto P, viaja ao longo do eixo e atinge o espelho. O raio 1 primo refletido volta ao longo do eixo. O raio 2 se origina de P e atinge o espelho no ponto X. O raio refletido é rotulado como 2 primo. A linha OX, rotulada como normal em X, divide o ângulo formado por PX e pelo raio 2 primo. As extensões posteriores de 1 primo e 2 primos se cruzam no ponto Q.

b.

A figura mostra a seção transversal de um espelho côncavo com os pontos P, O, Q e F situados no eixo óptico. O ponto P está mais distante do espelho. O raio 1 se origina de P, viaja ao longo do eixo e atinge o espelho. O raio 1 primo refletido volta ao longo do eixo. O raio 2 se origina de P e atinge o espelho no ponto X. O raio 2 primo refletido cruza o eixo no ponto Q, que fica entre os pontos P e F. OX, rotulado como normal em X, divide o ângulo PXQ.

c.

A figura mostra um espelho convexo com o ponto P situado entre o ponto F e o espelho no eixo óptico. O raio 1 se origina de P, viaja ao longo do eixo e atinge o espelho. O raio 1 primo refletido volta ao longo do eixo. O raio 2 se origina de P e atinge o espelho no ponto X. O ângulo formado pelo raio refletido 2 primo e PX é dividido ao meio por OX, o normal em X. As extensões posteriores de 1 primo e 2 primos se cruzam no ponto Q, logo atrás do espelho.

d. semelhante à imagem anterior, mas com o ponto P fora da distância focal;

e. Repita (a) — (d) para um objeto pontual fora do eixo. Para um objeto pontual colocado fora do eixo em frente a um espelho côncavo correspondente às partes (a) e (b), o estojo para espelho convexo é deixado como exercícios.

A Figura a mostra a seção transversal de um espelho côncavo. O ponto P fica acima do eixo, mais próximo do espelho do que o ponto focal F. O raio 1 se origina de P e atinge o espelho. O raio refletido 1 primo viaja de volta ao longo da mesma linha do raio 1 e cruza o eixo óptico no ponto O. O raio 2 se origina do ponto P e atinge o espelho no ponto X. O raio refletido é rotulado como 2 primo. As extensões traseiras de 1 primo e 2 primos se cruzam no ponto Q atrás do espelho. O ângulo formado pelos raios 2 e 2 primos é dividido ao meio por OX, o normal em X. A Figura b mostra a seção transversal de um espelho côncavo. O ponto P fica acima do eixo, mais distante do espelho do que o ponto F. O raio 1 se origina de P e atinge o espelho. O raio refletido 1 primo viaja de volta ao longo da mesma linha do raio 1 e cruza o eixo óptico no ponto O. O raio 2 se origina do ponto P e atinge o espelho no ponto X. O raio refletido é rotulado como 2 primo. Os raios 1 primo e 2 primos se cruzam no ponto Q na frente do espelho. O ângulo formado pelos raios 2 e 2 primos é dividido ao meio por OX, o normal em X.

129. \(\displaystyle d_i=−10/3cm,h_i=2cm\), na vertical

131. prova

133.

A figura mostra uma lente biconvexa, um objeto colocado no ponto A no eixo óptico e uma imagem invertida formada\(\displaystyle B_1\) no ponto do eixo atrás da lente. A parte superior do objeto está a uma distância h da origem. Três raios se originam da parte superior do objeto, atingem a lente e convergem para o outro lado na parte superior da imagem invertida. Ele passa pelo ponto focal na frente da lente e fica paralelo ao eixo óptico atrás da lente.

Triângulos BAO e\(\displaystyle B_1A_1O\) são triângulos semelhantes. Assim,\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{d_i}{d_o}\). Os triângulos NOF e\(\displaystyle B_1A_1F\) são triângulos semelhantes. Assim,\(\displaystyle \frac{NO}{f}=\frac{A_1B_1}{d_i−f}\). Observando que isso\(\displaystyle NO=AB\) dá\(\displaystyle \frac{AB}{f}=\frac{A_1B_1}{d_i−f}\) ou\(\displaystyle \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{f}{d_i−f}\). Inverter isso dá\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}=\frac{d_i−f}{f}\). Igualar as duas expressões para a proporção\(\displaystyle \frac{A_1B_1}{AB}\) dá\(\displaystyle \frac{d_i}{d_o}=\frac{d_i−f}{f}\). Dividindo por\(\displaystyle d_i\) dá\(\displaystyle \frac{1}{d_o}=\frac{1}{f}−\frac{1}{d_i}\) ou\(\displaystyle \frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{f}\).

135. 70 cm

137. O espelho plano tem um ponto focal infinito, de modo que\(\displaystyle d_i=−d_o\). A distância aparente total do homem no espelho será sua distância real, mais a distância aparente da imagem, ou\(\displaystyle d_o+(−d_i)=2d_o\). Se essa distância deve ser inferior a 20 cm, ele deve ficar em\(\displaystyle d_o=10cm\).

139. Aqui nós queremos\(\displaystyle d_o=25cm−2.20cm=0.228m\). Se estiver\(\displaystyle x=\) próximo do ponto,\(\displaystyle d_i=−(x−0.0220m)\). Assim,\(\displaystyle P=\frac{1}{d_o}+\frac{1}{d_i}=\frac{1}{0.228m}+\frac{1}{x−0.0220m}\). Usando\(\displaystyle P=0.75D\) dá\(\displaystyle x=0.253m\), então o ponto próximo é de 25,3 cm.

141. Supondo uma lente a 2,00 cm do olho do menino, a distância da imagem deve ser\(\displaystyle d_i=−(500cm−2.00cm)=−498cm\). Para um objeto de distância infinita, a potência necessária é\(\displaystyle P=\frac{1}{d_i}=−0.200D\). Portanto, a\(\displaystyle −4.00D\) lente corrigirá a miopia.

143. \(\displaystyle 87μm\)

145. Uso,\(\displaystyle M_{net}=−\frac{d^{obj}_i(f^{eye}+25cm)}{f^{obj}f^{eye}}\). A distância da imagem para a objetiva é\(\displaystyle d^{obj}_i=−\frac{M_{net}f^{obj}f^{eye}}{f^{eye}+25 \: cm}\). Usando\(f^{obj}=3.0cm\)\(f^{eye}=10cm\), e\(M=−10\) dá\(\displaystyle d^{obj}_i=8.6cm\). Queremos que essa imagem esteja no ponto focal da ocular, para que ela forme uma imagem no infinito para uma visualização confortável. Assim, a distância d entre as lentes deve ser\(\displaystyle d=f^{eye}+d^{obj}_i=10cm+8.6cm=19cm\)

147. a. distância focal da lente corretiva\(\displaystyle f_c=−80cm\);

b. −1,25 D

149. \(\displaystyle 2×10^{16}km\)

151. \(\displaystyle 105m\)