2.9: Microscópios e telescópios
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Ao final desta seção, você poderá:
- Explicar a física por trás da operação de microscópios e telescópios
- Descreva a imagem criada por esses instrumentos e calcule suas ampliações
Microscópios e telescópios são instrumentos importantes que contribuíram enormemente para nossa compreensão atual dos mundos micro e macroscópico. A invenção desses dispositivos levou a inúmeras descobertas em disciplinas como física, astronomia e biologia, para citar algumas. Nesta seção, explicamos a física básica que faz esses instrumentos funcionarem.
Microscópios
Embora o olho seja maravilhoso em sua capacidade de ver objetos grandes e pequenos, ele obviamente é limitado nos menores detalhes que pode detectar. O desejo de ver além do que é possível a olho nu levou ao uso de instrumentos ópticos. Vimos que uma lente convexa simples pode criar uma imagem ampliada, mas é difícil obter uma grande ampliação com essa lente. Uma ampliação maior que 5× é difícil sem distorcer a imagem. Para obter maior ampliação, podemos combinar a lupa simples com uma ou mais lentes adicionais. Nesta seção, examinamos microscópios que ampliam os detalhes que não podemos ver a olho nu.
Os microscópios foram desenvolvidos pela primeira vez no início dos anos 1600 por fabricantes de óculos na Holanda e na Dinamarca. O microscópio composto mais simples é construído a partir de duas lentes convexas (Figura\(\PageIndex{1}\)). A lente objetiva é uma lente convexa de curta distância focal (ou seja, alta potência) com ampliação típica de 5× a 100×. A ocular, também conhecida como ocular, é uma lente convexa de maior distância focal.
O objetivo de um microscópio é criar imagens ampliadas de objetos pequenos, e ambas as lentes contribuem para a ampliação final. Além disso, a imagem final ampliada é produzida suficientemente longe do observador para ser facilmente visualizada, pois o olho não pode focar em objetos ou imagens muito próximas (ou seja, mais perto do que o ponto próximo do olho).
Para ver como o microscópio na Figura\(\PageIndex{1}\) forma uma imagem, considere suas duas lentes em sucessão. O objeto está um pouco além da distância focal\(f^{obj}\) da lente objetiva, produzindo uma imagem real invertida que é maior do que o objeto. Essa primeira imagem serve como objeto para a segunda lente ou ocular. A ocular é posicionada de forma que a primeira imagem esteja dentro de sua distância focal\(f^{eye}\), para que ela possa ampliar ainda mais a imagem. Em certo sentido, ele atua como uma lupa que amplia a imagem intermediária produzida pela objetiva. A imagem produzida pela ocular é uma imagem virtual ampliada. A imagem final permanece invertida, mas está mais distante do observador do que o objeto, facilitando a visualização.
O olho vê a imagem virtual criada pela ocular, que serve como objeto para a lente no olho. A imagem virtual formada pela ocular está bem fora da distância focal do olho, então o olho forma uma imagem real na retina.
A ampliação do microscópio é o produto da ampliação linear\(m^{obj}\) pela objetiva e da ampliação angular\(M^{eye}\) pela ocular. Estes são dados por
\ begin {align*}
&\ underbrace {m^ {o b j} =-\ frac {d_ {i} ^ {o b j}} {d_ {o} ^ {o b j}}\ approx-\ frac {d_ {i} ^ {o b j}} {f^ {o b j}} _ {\ texto {ampliação linear por objetivo}}\\
&\ underbrace {M^ {e y e} =1+\ frac {25 c m} {f^ {e y e}}} _ {\ text {ampliação angular por ocular}}
\ fim {align*}
Aqui\(f^{eye}\) estão\(f^{obj}\) as distâncias focais da objetiva e da ocular, respectivamente. Assumimos que a imagem final é formada no ponto próximo do olho, proporcionando a maior ampliação. Observe que a ampliação angular da ocular é a mesma obtida anteriormente para a lupa simples. Isso não deve ser surpreendente, porque a ocular é essencialmente uma lupa, e a mesma física se aplica aqui. A ampliação líquida\(M_{net}\) do microscópio composto é o produto da ampliação linear da objetiva e da ampliação angular da ocular:
\[ M_{\mathrm{net}}=m^{\mathrm{obj}} M^{\mathrm{eye}}=-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}\left(f^{\mathrm{eye}}+25 \mathrm{cm}\right)}{f^{\mathrm{obj}} f^{\mathrm{eye}}} \label{2.34} . \]
Calcule a ampliação de um objeto colocado a 6,20 mm a partir de um microscópio composto que tenha uma objetiva de distância focal de 6,00 mm e uma ocular de 50,0 mm de distância focal. A objetiva e a ocular são separadas por 23,0 cm.
Estratégia
Essa situação é semelhante à mostrada na Figura\(\PageIndex{1}\). Para encontrar a ampliação geral, devemos conhecer a ampliação linear da objetiva e a ampliação angular da ocular. Podemos usar a Equação\ ref {2.34}, mas precisamos usar a equação de lente fina para encontrar a distância\(d^{obj}_i\) da imagem da objetiva.
Solução
Resolvendo a equação de lente fina para\(d^{obj}_i\) doações
\ begin {align*} d^ {obj} _ {i} &=\ left (\ dfrac {1} {f^ {obj}} −\ dfrac {1} {d^ {obj} _o}\ direita) ^ {−1}\ [5pt] &=\ left (\ dfrac {1} {6,00\, mm} −\ dfrac {1} {6,20 mm}\ direita) ^ {−1}\\ [5 pontos] &=186\, mm\\ [5 pontos] &= 18,6\, cm\ end {alinhamento*}
Inserindo esse resultado na Equação\ ref {2.34} junto com os valores conhecidos
- \(f^{obj} = 6.00 \, mm = 0.600 \, cm\)
- \(f^{eye} = 50.0 mm = 5.00 cm \)
concede
\ begin {align*} M_ {net} &=−\ dfrac {d^ {obj} _i (f^ {olho} +25\, cm)} {f^ {obj} f^ {olho}}\ [5pt] &=−\ dfrac {(18,6\, cm) (5,00\, cm+25\, cm)} {(0,600\, cm) (5,00\, cm)}\\ [5 pontos] &=−186\ end {alinhamento*}
Significância
Tanto a objetiva quanto a ocular contribuem para a ampliação geral, que é grande e negativa, consistente com a Figura\(\PageIndex{1}\), onde a imagem é vista grande e invertida. Nesse caso, a imagem é virtual e invertida, o que não pode acontecer com um único elemento.
Agora calculamos a potência de ampliação de um microscópio quando a imagem está no infinito, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\), porque isso torna a visualização mais relaxada. O poder de ampliação do microscópio é o produto da ampliação linear\(m^{obj}\) da objetiva e da ampliação angular\(M^{eye}\) da ocular. Nós sabemos disso
\[ m^{obj}=−\dfrac{d^{obj}_i}{d^{obj}_o} \nonumber \]
e da equação de lente fina obtemos
\[ m^{\mathrm{obj}}=-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{d_{\mathrm{o}}^{\mathrm{obj}}}=1-\frac{d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{f^{\mathrm{obj}}}=\frac{f^{\mathrm{obj}}-d_{\mathrm{i}}^{\mathrm{obj}}}{f^{\mathrm{obj}}} \label{2.35}. \]
Se a imagem final estiver no infinito, a imagem criada pela objetiva deverá estar localizada no ponto focal da ocular. Isso pode ser visto considerando a equação da lente fina com\(d_i = \infty\) ou lembrando que os raios que passam pelo ponto focal saem da lente paralelamente um ao outro, o que equivale a focar no infinito. Para muitos microscópios, a distância entre o ponto focal do lado da imagem da objetiva e o ponto focal do lado do objeto da ocular é padronizada em L = 16 cm. Essa distância é chamada de comprimento do tubo do microscópio. Da Figura\(\PageIndex{2}\), vemos que
\[ L=f^{obj}−d^{obj}_i . \nonumber \]
Inserir isso na Equação\ ref {2.35} dá
\[ m^{obj}=\dfrac{L}{f^{obj}}=\dfrac{16cm}{f^{obj}}. \label{eq2.36} \]
Agora precisamos calcular a ampliação angular da ocular com a imagem no infinito. Para fazer isso, tomamos a proporção entre o ângulo\(\theta_{image}\) subtendido pela imagem e o ângulo\(\theta_{object}\) subtendido pelo objeto no ponto próximo do olho (isso é o mais próximo que o olho nu pode ver o objeto e, portanto, esta é a posição em que o objeto formará a maior imagem na retina do olho nu). Usando a Figura\(\PageIndex{2}\) e trabalhando na aproximação de pequeno ângulo, temos
\[ \theta_{i m a g e} \approx \frac{h_{i}^{o b j}}{f^{e y e}} \nonumber \]
e
\[ \theta_{\text {object}} \approx \frac{h_{i}^{o b j}}{25 c m} \nonumber \]
onde\(h_{i}^{obj}\) está a altura da imagem formada pela objetiva, que é o objeto da ocular. Assim, a ampliação angular da ocular é
\[ M^{\text {eye }}=\frac{\theta_{\text {image }}}{\theta_{\text {object }}}=\frac{h_{i}^{\text {obj }}}{f^{\text {eye }}} \frac{25 \mathrm{cm}}{h_{i}^{\text {obj }}}=\frac{25 \mathrm{cm}}{f^{\text {eye }}} .\label{2.37} \]
O poder de ampliação líquido do microscópio composto com a imagem no infinito é, portanto,
\[ M_{net}=m^{obj}M^{eye}=−\dfrac{(16cm)(25cm)}{f^{obj}f^{eye}}. \label{2.38} \]
As distâncias focais devem estar em centímetros. O sinal de menos indica que a imagem final está invertida. Observe que as únicas variáveis na equação são as distâncias focais da ocular e da objetiva, o que torna essa equação particularmente útil.
Telescópios
Os telescópios são destinados à visualização de objetos distantes e produzem uma imagem maior do que a imagem produzida a olho nu. Os telescópios coletam muito mais luz do que o olho, permitindo que objetos escuros sejam observados com maior ampliação e melhor resolução. Os telescópios foram inventados por volta de 1600, e Galileu foi o primeiro a usá-los para estudar os céus, com consequências monumentais. Ele observou as luas de Júpiter, as crateras e montanhas na lua, os detalhes das manchas solares e o fato de que a Via Láctea é composta por um grande número de estrelas individuais.
A figura\(\PageIndex{3a}\) mostra um telescópio refratário feito de duas lentes. A primeira lente, chamada de objetiva, forma uma imagem real dentro da distância focal da segunda lente, chamada ocular. A imagem da lente objetiva serve como objeto para a ocular, que forma uma imagem virtual ampliada que é observada pelo olho. Esse design é o que Galileu usou para observar os céus.
Embora a disposição das lentes em um telescópio refratário seja semelhante à de um microscópio, existem diferenças importantes. Em um telescópio, o objeto real está distante e a imagem intermediária é menor que o objeto. Em um microscópio, o objeto real está muito próximo e a imagem intermediária é maior do que o objeto. Tanto no telescópio quanto no microscópio, a ocular amplia a imagem intermediária; no telescópio, no entanto, essa é a única ampliação.
O telescópio de duas lentes mais comum é mostrado na Figura\(\PageIndex{3b}\). O objeto está tão distante do telescópio que está essencialmente no infinito em comparação com as distâncias focais das lentes\(d_{o}^{obj} \approx \infty \), então os raios de entrada são essencialmente paralelos e focam no plano focal. Assim, a primeira imagem é produzida em
\[ d_{i}^{obj} = f^{obj} \nonumber \]
como mostrado na figura, e não é grande em comparação com o que você pode ver ao olhar diretamente para o objeto. No entanto, a ocular da ocular do telescópio (como a ocular do microscópio) permite que você se aproxime mais do que o ponto próximo dessa primeira imagem e, portanto, a amplia (porque você está perto dela, ela subtende um ângulo maior do seu olho e, portanto, forma uma imagem maior em sua retina). Quanto a um ampliador simples, a ampliação angular de um telescópio é a razão entre o ângulo subtendido pela imagem (\(\theta_{image}\)in\(\PageIndex{3b}\)) e o ângulo subtendido pelo objeto real (\(\theta_{object}\)in\(\PageIndex{3b}\)):
\[ M=\dfrac{θ_{image}}{θ_{object}}. \label{2.39} \]
Para obter uma expressão para a ampliação que envolve apenas os parâmetros da lente, observe que o plano focal da lente objetiva está muito próximo do plano focal da ocular. Se assumirmos que esses planos estão sobrepostos, temos a situação mostrada na Figura\(\PageIndex{4}\).
Além disso, assumimos que os ângulos\(\theta_{object}\) e\(\theta_{image}\) são pequenos, de modo que a aproximação do pequeno ângulo é válida (\(\tan \theta \approx \theta\)). Se a imagem formada no plano focal tiver altura\(h\), então
\ begin {array} {l}
\ theta_ {\ text {object}}\ approx\ tan\ theta_ {\ text {object}} =\ frac {h} {f^ {\ texto {obj}}}\ nonumber\\
\ theta_ {\ texto {imagem}}\ approx\ tan\ theta_ {\ texto {imagem}} =\ frac {-h} {f^ {olho}}\ nonumber
\ end {array}
onde o sinal de menos é introduzido porque a altura é negativa se medirmos os dois ângulos no sentido anti-horário. A inserção dessas expressões na Equação\ ref {2.39} dá
\[ M=\frac{-h_{\mathrm{i}}}{f^{\mathrm{eye}}} \frac{f^{\mathrm{obj}}}{h_{\mathrm{i}}}=-\frac{f^{\mathrm{obj}}}{f^{\mathrm{eye}}} \label{2.40}. \]
Assim, para obter a maior ampliação angular, é melhor ter uma objetiva com uma distância focal longa e uma ocular com uma distância focal curta. Quanto maior a ampliação angular\(M\), maior o objeto aparecerá quando visto por um telescópio, tornando mais detalhes visíveis. Os limites aos detalhes observáveis são impostos por muitos fatores, incluindo a qualidade da lente e a perturbação atmosférica. As oculares típicas têm distâncias focais de 2,5 cm ou 1,25 cm. Se a objetiva do telescópio tiver uma distância focal de 1 metro, essas oculares resultarão em ampliações de 40× e 80×, respectivamente. Assim, as ampliações angulares fazem com que a imagem apareça 40 vezes ou 80 vezes mais perto do objeto real.
O sinal de menos na ampliação indica que a imagem está invertida, o que não é importante para observar as estrelas, mas é um problema real para outras aplicações, como telescópios em navios ou miras telescópicas de canhões. Se for necessária uma imagem vertical, a disposição do Galileo em\(\PageIndex{3a}\) pode ser usada. Mas um arranjo mais comum é usar uma terceira lente convexa como ocular, aumentando a distância entre as duas primeiras e invertendo a imagem novamente, como visto na Figura\(\PageIndex{5}\).
O maior telescópio refratário do mundo é o telescópio Yerkes de 40 polegadas de diâmetro localizado no Lago Geneva, Wisconsin (Figura\(\PageIndex{6}\)), e operado pela Universidade de Chicago.
É muito difícil e caro construir grandes telescópios refratários. Você precisa de lentes grandes e sem defeitos, o que por si só é uma tarefa tecnicamente exigente. Um telescópio refratário basicamente se parece com um tubo com uma estrutura de suporte para girá-lo em diferentes direções. Um telescópio refratário sofre de vários problemas. A aberração das lentes faz com que a imagem fique desfocada. Além disso, à medida que as lentes se tornam mais espessas para lentes maiores, mais luz é absorvida, tornando as estrelas fracas mais difíceis de observar. As lentes grandes também são muito pesadas e se deformam sob seu próprio peso. Alguns desses problemas com telescópios refratários são resolvidos evitando a refração para coletar luz e, em vez disso, usando um espelho curvo em seu lugar, conforme projetado por Isaac Newton. Esses telescópios são chamados de telescópios refletores.
Telescópios refletores
Isaac Newton projetou o primeiro telescópio refletor por volta de 1670 para resolver o problema da aberração cromática que acontece em todos os telescópios refratários. Na aberração cromática, a luz de cores diferentes refrata em quantidades ligeiramente diferentes na lente. Como resultado, um arco-íris aparece ao redor da imagem e a imagem aparece desfocada. No telescópio refletor, os raios de luz de uma fonte distante caem sobre a superfície de um espelho côncavo fixado na extremidade inferior do tubo. O uso de um espelho em vez de uma lente elimina a aberração cromática. O espelho côncavo focaliza os raios em seu plano focal. O problema de design é como observar a imagem focalizada. Newton usou um design no qual a luz focalizada do espelho côncavo era refletida em um lado do tubo em uma ocular (Figura\(\PageIndex{7a}\)). Esse arranjo é comum em muitos telescópios amadores e é chamado de design newtoniano.
Alguns telescópios refletem a luz de volta para o meio do espelho côncavo usando um espelho convexo. Nesse arranjo, o espelho côncavo de coleta de luz tem um orifício no meio (\(\PageIndex{7b}\)). A luz então incide sobre a lente de uma ocular. Esse arranjo da objetiva e da ocular é chamado de design Cassegrain. A maioria dos grandes telescópios, incluindo o telescópio espacial Hubble, são desse design. Outros arranjos também são possíveis. Em alguns telescópios, um detector de luz é colocado exatamente no ponto em que a luz é focada pelo espelho curvo.
A maioria dos telescópios de pesquisa astronômica agora são do tipo refletor. Um dos primeiros grandes telescópios desse tipo é o telescópio Hale de 200 polegadas (ou 5 metros) construído no Monte Palomar, no sul da Califórnia, que tem um espelho de 200 polegadas de diâmetro. Um dos maiores telescópios do mundo é o telescópio Keck de 10 metros no Observatório Keck, no cume do vulcão adormecido Mauna Kea, no Havaí. O Observatório Keck opera dois telescópios de 10 metros. Cada um não é um único espelho, mas é composto por 36 espelhos hexagonais. Além disso, os dois telescópios do Keck podem trabalhar juntos, o que aumenta sua potência para um espelho efetivo de 85 metros. O telescópio Hubble (Figura\(\PageIndex{8}\)) é outro grande telescópio refletor com um espelho primário de 2,4 metros de diâmetro. O Hubble foi colocado em órbita ao redor da Terra em 1990.
A ampliação angular\(M\) de um telescópio refletor também é dada pela Equação\ ref {eq2.36}. Para um espelho esférico, a distância focal é metade do raio de curvatura, portanto, criar um grande espelho objetivo não só ajuda o telescópio a coletar mais luz, mas também aumenta a ampliação da imagem.