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27.6: Limites de resolução - O critério de Rayleigh

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Discuta o critério de Rayleigh.

    A luz difrata à medida que se move pelo espaço, contornando obstáculos, interferindo de forma construtiva e destrutiva. Embora isso possa ser usado como uma ferramenta espectroscópica — uma grade de difração dispersa a luz de acordo com o comprimento de onda, por exemplo, e é usada para produzir espectros — a difração também limita os detalhes que podemos obter nas imagens. A figura\(\PageIndex{1a}\) mostra o efeito da passagem de luz através de uma pequena abertura circular. Em vez de um ponto brilhante com bordas afiadas, é obtido um ponto com uma borda difusa cercada por círculos de luz. Esse padrão é causado por difração semelhante à produzida por uma única fenda. A luz de diferentes partes da abertura circular interfere de forma construtiva e destrutiva. O efeito é mais perceptível quando a abertura é pequena, mas também existe para aberturas grandes.

    A parte a da figura mostra um único ponto circular de luz brilhante; a luz é mais fraca nas bordas. A parte b da figura mostra dois círculos de luz que mal se sobrepõem, formando uma figura oito; a luz mais fraca circunda as bordas externas da figura oito, mas é um pouco mais brilhante onde os dois círculos se cruzam. A parte c da figura mostra dois círculos de luz quase completamente sobrepostos; novamente, a luz mais fraca circunda as bordas, mas é um pouco mais brilhante onde os dois círculos se cruzam.
    Figura\(\PageIndex{1}\): a) A luz monocromática passada por uma pequena abertura circular produz esse padrão de difração. (b) Fontes de luz de dois pontos que estão próximas uma da outra produzem imagens sobrepostas devido à difração. (c) Se estiverem mais próximos, não podem ser resolvidos ou diferenciados.

    Como a difração afeta os detalhes que podem ser observados quando a luz passa por uma abertura? A figura\(\PageIndex{1b}\) mostra o padrão de difração produzido por duas fontes de luz pontuais próximas uma da outra. O padrão é semelhante ao de uma única fonte pontual, e é quase impossível dizer que existem duas fontes de luz em vez de uma. Se eles estivessem mais próximos, como na Figura\(\PageIndex{1}\), não poderíamos distingui-los, limitando assim os detalhes ou a resolução que podemos obter. Esse limite é uma consequência inevitável da natureza ondulatória da luz.

    Há muitas situações em que a difração limita a resolução. A acuidade da nossa visão é limitada porque a luz passa pela pupila, a abertura circular do nosso olho. Esteja ciente de que a propagação da luz em forma de difração se deve ao diâmetro limitado de um feixe de luz, não à interação com uma abertura. Assim, a luz que passa por uma lente com diâmetro\(D\) mostra esse efeito e se espalha, desfocando a imagem, assim como a luz\(D\) que passa por uma abertura de diâmetro. Portanto, a difração limita a resolução de qualquer sistema com lente ou espelho. Os telescópios também são limitados pela difração, devido ao diâmetro finito\(D\) de seu espelho primário.

    EXPERIÊNCIA PARA LEVAR PARA CASA: Resolução do olho

    Desenhe duas linhas em uma folha de papel branca (com vários mm de distância). A que distância você pode estar e ainda distinguir as duas linhas? O que isso diz sobre o tamanho da pupila do olho? Você pode ser quantitativo? (O tamanho da pupila de um adulto é discutido em “Física do Olho”.

    Qual é exatamente o limite? Para responder a essa pergunta, considere o padrão de difração para uma abertura circular, que tem um máximo central que é mais largo e mais brilhante do que os máximos ao seu redor (semelhante a uma fenda) (Figura\(\PageIndex{2a}\)). Pode-se mostrar que, para uma abertura circular de diâmetro\(D\), o primeiro mínimo no padrão de difração ocorre em\(\theta = 1.22 \lambda / D\) (desde que a abertura seja grande em comparação com o comprimento de onda da luz, que é o caso da maioria dos instrumentos ópticos). O critério aceito para determinar o limite de difração da resolução com base nesse ângulo foi desenvolvido por Lord Rayleigh no século XIX. O critério de Rayleigh para o limite de difração da resolução afirma que duas imagens só podem ser resolvidas quando o centro do padrão de difração de uma está diretamente acima do primeiro mínimo do padrão de difração da outra. Veja a Figura 2b. O primeiro mínimo está em um ângulo de\(\theta = 1.22 \lambda / D\), de forma que objetos de dois pontos só podem ser resolvidos se estiverem separados pelo ângulo

    \[\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}, \label{27.7.1}\]

    onde\(\lambda\) é o comprimento de onda da luz (ou outra radiação eletromagnética) e\(D\) é o diâmetro da abertura, lente, espelho, etc., com o qual os dois objetos são observados. Nessa expressão,\(\theta\) tem unidades de radianos.

    A parte a da figura mostra um gráfico de intensidade versus teta. A curva tem um máximo central em teta igual a zero e seus primeiros mínimos ocorrem em mais um ponto dois dois lambda sobre D e menos um ponto dois dois lambda sobre D. Mais longe do pico central, vários pequenos picos ocorrem, mas eles são muito menores que o máximo central. A parte b da figura mostra um desenho no qual duas lâmpadas, rotuladas como objeto um e objeto dois, aparecem em primeiro plano posicionadas uma ao lado da outra. Dois raios de luz, um de cada lâmpada, passam por uma abertura de orifício e continuam atingindo uma tela que está mais atrás no desenho. Na tela está um gráfico x y dos dois padrões de intensidade resultantes. Como os raios se cruzam no orifício, o raio da lâmpada esquerda forma o padrão de intensidade do lado direito e vice-versa. O ângulo entre os raios provenientes das lâmpadas é denominado teta min. Cada raio atinge a tela no máximo central do padrão de intensidade que corresponde ao objeto do qual o raio veio. O máximo central do objeto um está na mesma posição do primeiro mínimo do objeto dois e vice-versa.
    Figura\(\PageIndex{2}\): (a) Gráfico da intensidade do padrão de difração para uma abertura circular. Observe que, semelhante a uma única fenda, o máximo central é mais largo e mais brilhante do que aqueles nas laterais. (b) Objetos de dois pontos produzem padrões de difração sobrepostos. Aqui é mostrado o critério de Rayleigh para ser apenas solucionável. O máximo central de um padrão está no primeiro mínimo do outro.

    Limites ao conhecimento

    Todas as tentativas de observar o tamanho e a forma dos objetos são limitadas pelo comprimento de onda da sonda. Até mesmo o pequeno comprimento de onda da luz proíbe a precisão exata. Quando sondas de comprimento de onda extremamente pequeno, como em um microscópio eletrônico, são usadas, o sistema é perturbado, ainda limitando nosso conhecimento, da mesma forma que fazer uma medição elétrica altera um circuito. O princípio da incerteza de Heisenberg afirma que esse limite é fundamental e inevitável, como veremos na mecânica quântica.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Diffraction Limits of the Hubble Space Telescope

    O espelho primário do Telescópio Espacial Hubble em órbita tem um diâmetro de 2,40 m. Estando em órbita, este telescópio evita os efeitos degradantes da distorção atmosférica em sua resolução.

    1. Qual é o ângulo entre duas fontes de luz pontual recém-resolvíveis (talvez duas estrelas)? Suponha um comprimento de onda de luz médio de 550 nm.
    2. Se essas duas estrelas estão à distância de 2 milhões de anos-luz da galáxia de Andrômeda, quão próximas elas podem estar e ainda serem resolvidas? (Um ano-luz, ou ly, é a distância que a luz percorre em 1 ano.)

    Estratégia:

    O critério de Rayleigh declarado na equação\(\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}\) fornece o menor ângulo possível\(\theta\) entre as fontes de pontos ou a melhor resolução possível. Uma vez que esse ângulo é encontrado, a distância entre as estrelas pode ser calculada, uma vez que temos a que distância elas estão.

    Solução (a):

    O critério de Rayleigh para o ângulo mínimo de resolução é dado pela Equação\ ref {27.7.1}

    \[\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}. \nonumber\]

    A inserção de valores conhecidos fornece

    \[\begin{align*}\theta &= 1.22 \frac{550 \times 10^{-9}}{2.440 m} \\[4pt] &= 2.80 \times 10^{-7}\, rad. \end{align*}\]

    Solução (b):

    A distância\(s\) entre dois objetos a uma\(r\) distância e separados por um ângulo\(\theta\) é

    \[s = r\theta. \nonumber\]

    A substituição de valores conhecidos fornece

    \[\begin{align*} s &= \left(2.0 \times 10^{6} ly \right) \left(2.80 \times 10^{-7} rad \right) \\[4pt] &= 0.56 \,ly. \end{align*}\]

    Discussão:

    O ângulo encontrado na parte (a) é extraordinariamente pequeno (menos de 1/50.000 de grau), porque o espelho primário é muito grande em comparação com o comprimento de onda da luz. Conforme observado, os efeitos de difração são mais perceptíveis quando a luz interage com objetos com tamanhos na ordem do comprimento de onda da luz. No entanto, o efeito ainda existe e há um limite de difração para o que é observável. A resolução real do telescópio Hubble não é tão boa quanto a encontrada aqui. Como em todos os instrumentos, há outros efeitos, como não uniformidades nos espelhos ou aberrações nas lentes, que limitam ainda mais a resolução. No entanto, a Figura\(\PageIndex{3}\) fornece uma indicação da extensão dos detalhes observáveis com o Hubble devido ao seu tamanho e qualidade e, especialmente, porque está acima da atmosfera da Terra.

    Duas fotos da mesma galáxia tiradas por telescópios diferentes são mostradas lado a lado. A foto a foi tirada com um telescópio terrestre. É bastante embaçado e preto e branco. A foto b foi tirada com o Telescópio Espacial Hubble. Ele mostra muito mais detalhes, incluindo o que parece ser uma nuvem de gás na frente da galáxia, e é colorido.
    Figura\(\PageIndex{3}\): Essas duas fotografias da galáxia M82 dão uma ideia dos detalhes observáveis usando o Telescópio Espacial Hubble em comparação com o uso de um telescópio terrestre. (a) À esquerda está uma imagem baseada no solo. (crédito: Ricnun, Wikimedia Commons) (b) A foto à direita foi capturada pelo Hubble. (crédito: NASA, ESA e a equipe do Hubble Heritage (STSCI/Aura))

    A resposta na parte (b) indica que duas estrelas separadas por cerca de meio ano-luz podem ser resolvidas. A distância média entre estrelas em uma galáxia é da ordem de 5 anos-luz nas partes externas e cerca de 1 ano-luz perto do centro galáctico. Portanto, o Hubble pode resolver a maioria das estrelas individuais na galáxia de Andrômeda, mesmo estando a uma distância tão grande que sua luz leva 2 milhões de anos para chegar até nós. A figura\(\PageIndex{4}\) mostra outro espelho usado para observar ondas de rádio do espaço sideral.

    A figura mostra uma fotografia de cima olhando para o Telescópio de Arecibo, em Porto Rico. É uma enorme estrutura em forma de tigela forrada com material refletivo. O diâmetro da tigela é três vezes maior que o de um campo de futebol. As árvores podem ser vistas ao redor da tigela, mas elas não sombreiam a tigela significativamente.
    Figura\(\PageIndex{4}\): Uma tigela natural de 305 m de diâmetro em Arecibo, em Porto Rico, é revestida com material refletivo, transformando-a em um radiotelescópio. É o maior prato com foco curvo do mundo. Embora\(D\) para Arecibo seja muito maior do que para o Telescópio Hubble, ele detecta radiação de comprimento de onda muito maior e seu limite de difração é significativamente menor do que o do Hubble. Arecibo ainda é muito útil, pois informações importantes são transportadas por ondas de rádio que não são transportadas pela luz visível. (crédito: Tatyana Temirbulatova, Flickr)

    A difração não é um problema apenas para instrumentos ópticos, mas também para a própria radiação eletromagnética. Qualquer feixe de luz com diâmetro finito\(D\) e comprimento de onda\(\lambda\) exibe difusão de difração. O feixe se espalha com um ângulo\(\theta\) dado pela equação\(\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}\). Tomemos, por exemplo, um feixe de laser feito de raios tão paralelos quanto possível (ângulos entre os raios o mais próximo\(\theta = 0^{\circ}\) possível), em vez disso, se espalha em um ângulo\(\theta = 1.22 \lambda / D\), onde\(D\) está o diâmetro do feixe e\(lambda\) seu comprimento de onda. Essa propagação é impossível de observar em uma lanterna, porque seu feixe não é muito paralelo para começar. No entanto, para a transmissão de longa distância de feixes de laser ou sinais de microondas, a propagação da difração pode ser significativa (Figura\(\PageIndex{5}\)). Para evitar isso, podemos aumentar\(D\). Isso é feito com a luz laser enviada à Lua para medir sua distância da Terra. O feixe de laser é expandido por meio de um telescópio para torná-lo\(D\) muito maior e\(\theta\) menor.

    O desenho mostra uma antena parabólica montada em uma torre de andaime e orientada para a direita. O diâmetro do prato é D. Uma linha horizontal se estende para a direita a partir da borda superior do prato. Acima da linha superior aparece outra linha saindo da borda do prato e inclinada para cima e para a direita. O ângulo entre essa linha e a linha horizontal é denominado teta. Linhas análogas aparecem na borda inferior do prato, exceto que a linha angular se estende para baixo e para a direita.
    Figura\(\PageIndex{5}\): O feixe produzido por esta antena de transmissão de micro-ondas se espalhará em um ângulo mínimo\(\theta = 1.22 \lambda / D\) devido à difração. É impossível produzir um feixe quase paralelo, porque o feixe tem um diâmetro limitado.

    Na maioria dos laboratórios de biologia, a resolução é apresentada quando o uso do microscópio é introduzido. A capacidade de uma lente de produzir imagens nítidas de dois objetos pontuais bem espaçados é chamada de resolução. Quanto menor a distância\(x\) pela qual dois objetos podem ser separados e ainda serem vistos como distintos, maior será a resolução. O poder de resolução de uma lente é definido como essa distância\(x\). Uma expressão para poder de resolução é obtida a partir do critério de Rayleigh. Na Figura,\(\PageIndex{6a}\) temos dois objetos pontuais separados por uma distância\(x\). De acordo com o critério de Rayleigh, a resolução é possível quando a separação angular mínima é

    \[\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D} = \frac{x}{d}, \label{27.7.3}\]

    onde\(d\) está a distância entre a amostra e a lente objetiva, e usamos a aproximação de pequeno ângulo (ou seja, assumimos que\(x\) é muito menor que\(d\)), de modo que\(\tan{\theta} \approx \sin{\theta} \approx \theta\).

    Portanto, o poder de resolução é

    \[x = 1.22 \frac{\lambda d}{D}. \label{27.7.4}\]

    Outra maneira de ver isso é reexaminando o conceito de abertura numérica (\(NA\)) discutido anteriormente. Aí\(NA\) está uma medida do ângulo máximo de aceitação no qual a fibra absorverá a luz e ainda a conterá dentro da fibra. \(\PageIndex{6b}\)A figura mostra uma lente e um objeto no ponto P.\(NA\) Aqui está uma medida da capacidade da lente de coletar luz e resolver detalhes finos. O ângulo subtendido pela lente em seu foco é definido como\(\theta = 2\alpha\). A partir da figura e novamente usando a aproximação de pequeno ângulo, podemos escrever

    \[\sin{\alpha} = \frac{D/2}{d} = \frac{D}{2d}. \label{27.7.5}\]

    O\(NA\) para uma lente é\(NA = n \sin{\alpha}\), onde\(n\) está o índice de refração do meio entre a lente objetiva e o objeto no ponto P.

    A partir dessa definição de\(NA\), podemos ver que

    \[x = 1.22\frac{\lambda d}{D} = 1.22 \frac{\lambda}{2 \sin{\alpha}} = 0.61 \frac{\lambda n}{NA}. \label{27.7.6}\]

    Em um microscópio,\(NA\) é importante porque se relaciona com o poder de resolução de uma lente. Uma lente grande\(NA\) será capaz de resolver detalhes mais finos. Lentes maiores também\(NA\) poderão coletar mais luz e, assim, fornecer uma imagem mais brilhante. Outra forma de descrever essa situação é que quanto maior\(NA\), maior o cone de luz que pode ser trazido para a lente e, portanto, mais modos de difração serão coletados. Assim, o microscópio tem mais informações para formar uma imagem nítida e, portanto, seu poder de resolução será maior.

    A parte a da figura mostra dois pequenos objetos dispostos verticalmente a uma distância x um acima do outro no lado esquerdo do esquema. No lado direito, a uma distância d minúscula dos dois objetos, há uma forma oval vertical que representa uma lente convexa. O meio da lente está na bissetriz horizontal entre os dois pontos à esquerda. Dois raios, um de cada objeto à esquerda, saem dos objetos e passam pelo centro da lente. A distância d é significativamente maior do que a distância x. A parte b da figura mostra um oval horizontal representando uma lente convexa chamada objetiva de microscópio que é uma distância d minúscula acima de uma superfície plana. O eixo longo do oval é de comprimento maiúsculo D. Um ponto P é rotulado no plano diretamente abaixo do centro da lente, e dois raios saem desse ponto. Um raio se estende até a borda esquerda da lente e o outro raio se estende até a borda direita da lente. O ângulo entre esses raios é rotulado como ângulo de aceitação teta e o meio ângulo é rotulado como alfa. A distância minúscula d é maior que a distância maiúscula D.
    Figura\(\PageIndex{6}\): (a) Dois pontos separados por à distância\(x\) e um posicionado a uma\(d\) distância da objetiva. (crédito: Infopro, Wikimedia Commons) (b) Termos e símbolos usados na discussão sobre o poder de resolução de uma lente e um objeto no ponto P. (crédito: Infopro, Wikimedia Commons)

    Uma das consequências da difração é que o ponto focal de um feixe tem uma distribuição finita de largura e intensidade. Considere focar ao considerar apenas a óptica geométrica, mostrada na Figura\(\PageIndex{6a}\). O ponto focal é infinitamente pequeno, com uma grande intensidade e a capacidade de incinerar a maioria das amostras, independentemente\(NA\) da lente objetiva. Para a óptica de ondas, devido à difração, o ponto focal se espalha para se tornar um ponto focal (Figura\(\PageIndex{7b}\)) com o tamanho do ponto diminuindo com o aumento\(NA\). Consequentemente, a intensidade no ponto focal aumenta com o aumento\(NA\). Quanto maior\(NA\), maiores as chances de fotodegradação da amostra. No entanto, o local nunca se torna um ponto verdadeiro.

    O primeiro esquema é denominado foco de óptica geométrica. Ele mostra uma visão panorâmica de uma lente fina que é vertical. A lente é representada por uma elipse fina. Dois raios horizontais paralelos colidem com a lente pela esquerda. Um raio passa pela borda superior da lente e é desviado para baixo em um ângulo de cerca de trinta graus abaixo da horizontal. O outro raio passa pela borda inferior da lente e é desviado para cima em um ângulo de cerca de trinta graus acima da horizontal. Esses dois raios cruzam um ponto que é rotulado como ponto focal. O segundo esquema é denominado foco de óptica de ondas. É semelhante ao primeiro esquema, exceto que os raios não se cruzam exatamente no ponto focal. Em vez disso, eles divergem um do outro no mesmo ângulo em que se aproximam um do outro. A região de aproximação mais próxima das linhas é chamada de região focal.
    Figura\(\PageIndex{7}\): (a) Na óptica geométrica, o foco é um ponto, mas não é fisicamente possível produzir tal ponto porque implica intensidade infinita. (b) Na óptica de ondas, o foco é uma região estendida.

    Resumo

    • A difração limita a resolução.
    • Para uma abertura circular, lente ou espelho, o critério de Rayleigh afirma que duas imagens só podem ser resolvidas quando o centro do padrão de difração de uma está diretamente sobre o primeiro mínimo do padrão de difração da outra.
    • Isso ocorre para objetos de dois pontos separados pelo ângulo\(\theta = 1.22 \frac{\lambda}{D}\), onde\(\lambda\) é o comprimento de onda da luz (ou outra radiação eletromagnética) e\(D\) é o diâmetro da abertura, lente, espelho, etc. Essa equação também fornece a propagação angular de uma fonte de luz com um diâmetro \(D\).

    Glossário

    Critério de Rayleigh
    duas imagens só podem ser resolvidas quando o centro do padrão de difração de uma está diretamente acima do primeiro mínimo do padrão de difração da outra