27.3: Experiência de dupla fenda de Young

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Explique os fenômenos de interferência.
Defina interferência construtiva para uma fenda dupla e interferência destrutiva para uma fenda dupla.

Embora Christiaan Huygens pensasse que a luz era uma onda, Isaac Newton não o fez. Newton sentiu que havia outras explicações para a cor e para os efeitos de interferência e difração que eram observáveis na época. Devido à enorme estatura de Newton, sua visão geralmente prevaleceu. O fato de o princípio de Huygens ter funcionado não foi considerado evidência direta o suficiente para provar que a luz é uma onda. A aceitação do caráter ondulatório da luz veio muitos anos depois, quando, em 1801, o físico e médico inglês Thomas Young (1773-1829) fez seu agora clássico experimento de dupla fenda (Figura\(\PageIndex{1}\)).

Um feixe de luz atinge uma parede através da qual um par de fendas verticais é cortado. Do outro lado da parede, outra parede mostra um padrão de linhas verticais de luz igualmente espaçadas que têm a mesma altura da fenda. — Figura\(\PageIndex{1}\): O experimento de dupla fenda de Young. Aqui, a luz de comprimento de onda puro enviada através de um par de fendas verticais é difratada em um padrão na tela de várias linhas verticais espalhadas horizontalmente. Sem difração e interferência, a luz simplesmente formaria duas linhas na tela.

Por que normalmente não observamos o comportamento das ondas em relação à luz, como observado no experimento de dupla fenda de Young? Primeiro, a luz deve interagir com algo pequeno, como as fendas espaçadas usadas por Young, para mostrar efeitos de onda pronunciados. Além disso, Young primeiro passou a luz de uma única fonte (o Sol) através de uma única fenda para tornar a luz um pouco coerente. Por coerente, queremos dizer que as ondas estão em fase ou têm uma relação de fase definida. Incoerente significa que as ondas têm relações de fase aleatórias. Por que Young então passou a luz por uma fenda dupla? A resposta a essa pergunta é que duas fendas fornecem duas fontes de luz coerentes que interferem de forma construtiva ou destrutiva. Young usou a luz solar, onde cada comprimento de onda forma seu próprio padrão, tornando o efeito mais difícil de ver. Ilustramos o experimento de dupla fenda com luz monocromática (única\(\lambda\)) para esclarecer o efeito. A figura\(\PageIndex{2}\) mostra a pura interferência construtiva e destrutiva de duas ondas com o mesmo comprimento de onda e amplitude.

A Figura a mostra três ondas senoidais com o mesmo comprimento de onda dispostas uma acima da outra. Os picos e baixos de cada onda estão alinhados com os das outras ondas. As duas ondas superiores são rotuladas como onda um e onda dois e a onda inferior é rotulada como resultante. A amplitude das ondas um e dois é rotulada como x e a amplitude da onda resultante é rotulada como dois x. A Figura b mostra uma situação semelhante, exceto que os picos da onda dois agora se alinham com os vales da onda um. A onda resultante agora é uma linha reta horizontal no eixo x; ou seja, a linha y é igual a zero. — Figura\(\PageIndex{2}\): As amplitudes das ondas somam. (a) A interferência construtiva pura é obtida quando ondas idênticas estão em fase. (b) A interferência destrutiva pura ocorre quando ondas idênticas estão exatamente fora de fase ou deslocadas em meio comprimento de onda.

Quando a luz passa por fendas estreitas, ela é difratada em ondas semicirculares, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{3a}\). A interferência construtiva pura ocorre quando as ondas são de crista a crista ou de vale a vale. A interferência destrutiva pura ocorre onde eles são de crista a vale. A luz deve cair em uma tela e se espalhar em nossos olhos para que possamos ver o padrão. Um padrão análogo para ondas de água é mostrado na Figura\(\PageIndex{3b}\). Observe que regiões de interferência construtiva e destrutiva saem das fendas em ângulos bem definidos em relação à viga original. Esses ângulos dependem do comprimento de onda e da distância entre as fendas, como veremos abaixo.

A figura contém três partes. A primeira parte é um desenho que mostra frentes de onda paralelas se aproximando de uma parede pela esquerda. As cristas são mostradas como linhas contínuas e as calhas são mostradas como linhas pontilhadas. Dois raios de luz passam por pequenas fendas na parede e emergem em um padrão em forma de leque a partir de duas fendas. Essas linhas se espalham para a direita até atingirem a parede direita. Os pontos em que essas linhas do ventilador atingem a parede direita são rotulados alternadamente como min e max. Os pontos mínimos correspondem às linhas que conectam as cristas e vales sobrepostas, e os pontos máximos correspondem às linhas que conectam as cristas sobrepostas. O segundo desenho é uma vista de cima de uma piscina de água com frentes de onda semicirculares emanando de dois pontos no lado esquerdo da piscina, dispostos um acima do outro. Essas ondas semicirculares se sobrepõem umas às outras e formam um padrão muito parecido com o padrão formado pelos arcos na primeira imagem. O terceiro desenho mostra uma linha pontilhada vertical, com alguns pontos parecendo mais brilhantes do que outros pontos. O padrão de brilho é simétrico em relação ao ponto médio dessa linha. Os pontos próximos ao ponto médio são os mais brilhantes. Conforme você se move do ponto médio para cima ou para baixo, os pontos ficam progressivamente mais escuros até parecer que falta um ponto. Se você progredir ainda mais do ponto médio, os pontos aparecerão novamente e ficarão mais brilhantes, mas serão muito menos brilhantes do que os pontos centrais. Se você progredir ainda mais do ponto médio, os pontos ficarão mais escuros novamente e depois desaparecerão novamente, que é onde a linha pontilhada para. — Figura\(\PageIndex{3}\): As fendas duplas produzem duas fontes coerentes de ondas que interferem. (a) A luz se espalha (difrata) de cada fenda, porque as fendas são estreitas. Essas ondas se sobrepõem e interferem de forma construtiva (linhas brilhantes) e destrutivamente (regiões escuras). Só podemos ver isso se a luz cair em uma tela e se espalhar em nossos olhos. (b) O padrão de interferência de dupla fenda para ondas de água é quase idêntico ao da luz. A ação das ondas é maior em regiões de interferência construtiva e menos em regiões de interferência destrutiva. (c) Quando a luz que passa por fendas duplas cai sobre uma tela, vemos um padrão como esse. (crédito: PASCO)

Para entender o padrão de interferência de dupla fenda, consideramos como duas ondas viajam das fendas até a tela, conforme ilustrado na Figura\(\PageIndex{4}\). Cada fenda está a uma distância diferente de um determinado ponto na tela. Assim, diferentes números de comprimentos de onda se encaixam em cada caminho. As ondas começam a partir das fendas em fase (crista a crista), mas podem acabar fora de fase (crista a vale) na tela se os caminhos diferirem em comprimento em meio comprimento de onda, interferindo destrutivamente, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{4a}\). Se os caminhos diferirem em um comprimento de onda inteiro, as ondas chegarão em fase (crista a crista) na tela, interferindo de forma construtiva, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{4b}\). De forma mais geral, se os caminhos percorridos pelas duas ondas diferirem por qualquer número meio integral de comprimentos de onda [\( \left( 1/2 \right) \lambda , \left(3/2 \right) \lambda , \left( 5/2 \right) \lambda,\)etc.], ocorrerá interferência destrutiva. Da mesma forma, se os caminhos percorridos pelas duas ondas diferirem por qualquer número integral de comprimentos de onda (\( \lambda , 2\lambda , 3\lambda \), etc.), ocorrerá interferência construtiva.

Ambas as partes da figura mostram um esquema de um experimento de dupla fenda. Duas ondas, cada uma emitida por uma fenda diferente, se propagam das fendas para a tela. No primeiro esquema, quando as ondas se encontram na tela, uma das ondas está no máximo, enquanto a outra está no mínimo. Esse esquema é rotulado como escuro (interferência destrutiva). No segundo esquema, quando as ondas se encontram na tela, as duas ondas estão no mínimo.. Esse esquema é rotulado como brilhante (interferência construtiva). — Figura\(\PageIndex{4}\): As ondas seguem caminhos diferentes das fendas até um ponto comum na tela. (a) A interferência destrutiva ocorre aqui, porque um caminho tem meio comprimento de onda maior que o outro. As ondas começam em fase, mas chegam fora de fase. (b) A interferência construtiva ocorre aqui porque um caminho tem um comprimento de onda inteiro maior que o outro. As ondas começam e chegam em fase.

EXPERIÊNCIA PARA LEVAR PARA CASA: USANDO OS DEDOS COMO FENDAS

Observe uma luz, como uma lâmpada de rua ou uma lâmpada incandescente, através do espaço estreito entre dois dedos unidos. Que tipo de padrão você vê? Como isso muda quando você permite que os dedos se afastem um pouco mais? É mais distinto para uma fonte monocromática, como a luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio, do que para uma lâmpada incandescente?

\(\PageIndex{5}\)A figura mostra como determinar a diferença do comprimento do caminho para ondas que viajam de duas fendas até um ponto comum em uma tela. Se a tela estiver a uma grande distância em comparação com a distância entre as fendas, o ângulo\(\theta\) entre o caminho e uma linha das fendas até a tela será quase o mesmo para cada caminho. A diferença entre os caminhos é mostrada na figura; a trigonometria simples mostra que é\(d \sin{\theta}\), onde\(d\) está a distância entre as fendas. Para obter interferência construtiva para uma fenda dupla, a diferença do comprimento do caminho deve ser um múltiplo integral do comprimento de onda, ou

\[d\sin{\theta} = m \lambda, ~for~ m=0,1,-1,2,-2 ... \left( constructive \right). \label{27.4.1}\]

Da mesma forma, para obter interferência destrutiva para uma fenda dupla, a diferença do comprimento do caminho deve ser um múltiplo semi-integral do comprimento de onda, ou

\[d \sin{\theta} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda, ~for~ m=0,1,-1,2,-2 ... \left( destructive \right). \label{27.4.2}\]

onde\(\lambda\) está o comprimento de onda da luz,\(d\) é a distância entre as fendas e\(\theta\) é o ângulo da direção original do feixe, conforme discutido acima. Nós chamamos\(m\) a ordem da interferência. Por exemplo,\(m=4\) é uma interferência de quarta ordem.

A figura é um esquema de um experimento de dupla fenda, com a escala das fendas ampliada para mostrar os detalhes. As duas fendas estão à esquerda e a tela à direita. As fendas são representadas por uma linha vertical espessa com duas lacunas cortadas a uma distância d de distância. Dois raios, um de cada fenda, inclinam-se para cima e para a direita em um ângulo teta acima da horizontal. Na tela, é mostrado que esses raios convergem em um ponto comum. O raio da fenda superior é rotulado como l sub um, e o raio da fenda inferior é rotulado como l sub dois. Nas fendas, um triângulo reto é desenhado, com a linha grossa entre as fendas formando a hipotenusa. A hipotenusa é rotulada como d, que é a distância entre as fendas. Um pequeno pedaço do raio da fenda inferior é denominado delta l e forma o lado curto do triângulo direito. O lado comprido do triângulo direito é formado por um segmento de linha que vai para baixo e para a direita da fenda superior até o raio inferior. Esse segmento de linha é perpendicular ao raio inferior e o ângulo que ele faz com a hipotenusa é rotulado como teta. Abaixo desse triângulo está a fórmula delta l é igual a d seno teta. — Figura\(\PageIndex{5}\): Os caminhos de cada fenda até um ponto comum na tela diferem em um valor\(d\sin{\theta}\), supondo que a distância até a tela seja muito maior do que a distância entre as fendas (sem escalar aqui).

As equações para interferência de dupla fenda implicam na formação de uma série de linhas claras e escuras. Para fendas verticais, a luz se espalha horizontalmente em ambos os lados do feixe incidente em um padrão chamado franjas de interferência, ilustrado na Figura\(\PageIndex{6}\). A intensidade das franjas brilhantes cai em ambos os lados, sendo mais brilhante no centro. Quanto mais próximas as fendas estiverem, maior será a expansão das franjas brilhantes. Podemos ver isso examinando a Equação\ ref {27.4.1}.

Para fixo\(\lambda\) e\(m\), quanto menor\(d\), maior\(\theta\) deve ser, pois\(\sin{\theta} = m \lambda / d\). Isso é consistente com nossa afirmação de que os efeitos das ondas são mais perceptíveis quando o objeto que a onda encontra (aqui, se separa a uma\(d\) distância) é pequeno. Pequeno\(d\) dá grande\(\theta\), portanto, um grande efeito.

A figura consiste em duas partes dispostas lado a lado. O diagrama no lado esquerdo mostra um arranjo de fenda dupla junto com um gráfico do padrão de intensidade resultante em uma tela distante. O gráfico é orientado verticalmente, para que os picos de intensidade cresçam para fora e para a esquerda da tela. O pico de intensidade máxima está no centro da tela e alguns picos menos intensos aparecem nos dois lados do centro. Esses picos se tornam progressivamente mais escuros ao se afastarem do centro e são simétricos em relação ao pico central. A distância do máximo central até o primeiro pico do dimmer é rotulada como y sub um, e a distância do máximo central até o segundo pico do dimmer é rotulada como y sub dois. A ilustração no lado direito mostra barras horizontais espessas e brilhantes em um fundo escuro. Cada barra horizontal está alinhada com um dos picos de intensidade da primeira figura. — Figura\(\PageIndex{6}\): O padrão de interferência de uma fenda dupla tem uma intensidade que diminui com o ângulo. A fotografia mostra várias linhas claras e escuras, ou franjas, formadas pela luz passando por uma fenda dupla.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Finding a Wavelength from an Interference Pattern

Suponha que você passe a luz de um laser He-Ne por duas fendas separadas por 0,0100 mm e descubra que a terceira linha brilhante em uma tela é formada em um ângulo em\(10.95^{\circ}\) relação ao feixe incidente. Qual é o comprimento de onda da luz?

Estratégia:

A terceira linha brilhante se deve à interferência construtiva de terceira ordem, o que significa isso\(m=3\). Recebemos\(d = 0.0100 mm\)\(\theta = 10.95^{\circ}\) e. O comprimento de onda pode, portanto, ser encontrado usando a equação\(d \sin{\theta} = m \lambda\) para interferência construtiva.

Solução

A equação é\(d \sin{\theta} = m \lambda\). Resolver o comprimento de onda\(\lambda\) dá

\[\lambda = \frac{d \sin{\theta}}{m}. \nonumber\]

Substituir valores conhecidos rende

\[\begin{align*} \lambda &= \frac{\left(0.0100 mm \right) \left(\sin{10.95^{\circ}} \right)}{3} \\[4pt] &= 6.33 \times 10^{-4} mm = 633\, nm. \end{align*}\]

Discussão:

Com três dígitos, esse é o comprimento de onda da luz emitida pelo laser He-Ne comum. Não por acaso, essa cor vermelha é semelhante à emitida pelas luzes de néon. Mais importante, entretanto, é o fato de que padrões de interferência podem ser usados para medir o comprimento de onda. Young fez isso para comprimentos de onda visíveis. Essa técnica analítica ainda é amplamente usada para medir espectros eletromagnéticos. Para uma determinada ordem, o ângulo de interferência construtiva aumenta com\(\lambda\), para que espectros (medidas de intensidade versus comprimento de onda) possam ser obtidos.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Highest Order Possible

Os padrões de interferência não têm um número infinito de linhas, pois há um limite para\(m\) o tamanho. Qual é a interferência construtiva de maior ordem possível com o sistema descrito no exemplo anterior?

Estratégia e conceito:

A equação\(d \sin{\theta} = m \lambda \left( for m = 0,1,-1,2,-2,...\right)\) descreve a interferência construtiva. Para valores fixos de\(d\) e\(\lambda\), quanto maior\(m\), maior\(\sin{\theta}\) é. No entanto, o valor máximo que\(\sin{\theta}\) pode ter é 1, para um ângulo de\(90^{\circ}\). (Ângulos maiores indicam que a luz retrocede e não alcança a tela.) Vamos descobrir o que\(m\) corresponde a esse ângulo máximo de difração.

Solução

Resolver a equação\(d\sin{\theta} = m \lambda\) para\(m\) dá:

\[m = \frac{d \sin{\theta}}{\lambda}. \nonumber \]

Tomando\(\sin{\theta} = 1\) e substituindo os valores\(\lambda\) de\(d\) e do exemplo anterior dá

\[m = \frac{\left(0.0100 mm\right) \left(1\right)}{633 nm} \approx 15.8. \nonumber\]

Portanto, o maior número inteiro\(m\) pode ser 15, ou

\[m = 15. \nonumber\]

Discussão:

O número de franjas depende do comprimento de onda e da separação da fenda. O número de franjas será muito grande para grandes separações de fendas. No entanto, se a separação da fenda se tornar muito maior que o comprimento de onda, a intensidade do padrão de interferência muda para que a tela tenha duas linhas brilhantes projetadas pelas fendas, como esperado quando a luz se comporta como um raio. Também notamos que as franjas ficam mais fracas, mais longe do centro. Consequentemente, nem todas as 15 franjas podem ser observadas.

Resumo

O experimento de dupla fenda de Young deu uma prova definitiva do caráter ondulatório da luz.
Um padrão de interferência é obtido pela superposição da luz de duas fendas.
Há interferência construtiva quando\(d\sin{\theta} = m \lambda \left(for m = 0,1,-2,2,-2,...\right)\), onde\(d\) está a distância entre as fendas,\(\theta\) é o ângulo em relação à direção do incidente e\(m\) é a ordem da interferência.
Há interferência destrutiva quando\(d \sin{\theta} = \left( m + \frac{1}{2} \right) \lambda \left( for m = 0,1,-1,2,-2,...\right)\).

Glossário

coerente: as ondas estão em fase ou têm uma relação de fase definida

interferência construtiva para uma fenda dupla: a diferença do comprimento do caminho deve ser um múltiplo integral do comprimento de onda

interferência destrutiva para uma fenda dupla: a diferença do comprimento do caminho deve ser um múltiplo semi-integral do comprimento de onda

incoerente: ondas têm relações de fase aleatórias

encomendar: o inteiro\(m\) usado nas equações para interferência construtiva e destrutiva para uma fenda dupla