23.3: Circuitos AC da série RLC
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Objetivos de
Ao final desta seção, você poderá:
- Calcule a impedância, ângulo de fase, frequência de ressonância, potência, fator de potência, tensão e/ou corrente em um circuito da série RLC.
- Desenhe o diagrama de circuito para um circuito da série RLC.
- Explique a importância da frequência de ressonância.
Impedância
Quando sozinhos em um circuito de corrente alternada, todos os indutores, capacitores e resistores impedem a corrente. Como eles se comportam quando os três ocorrem juntos? Curiosamente, suas resistências individuais em ohms não se limitam a aumentar. Como indutores e capacitores se comportam de maneiras opostas, eles parcialmente cancelam totalmente o efeito um do outro. A figura mostra um circuito da série RLC com uma fonte de tensão AC, cujo comportamento é o assunto desta seção. O ponto crucial da análise de um circuito RLC é a dependência de frequência de\(X_L\) e\(X_C\) e o efeito que eles têm na fase de tensão versus corrente (estabelecido na seção anterior). Isso dá origem à dependência de frequência do circuito, com importantes recursos de “ressonância” que são a base de muitas aplicações, como sintonizadores de rádio.
O efeito combinado de resistência\(R\), reatância\(X_L\) indutiva e reatância capacitiva\(X_C\) é definido como impedância, uma corrente alternada análoga à resistência em um circuito DC. Corrente, tensão e impedância em um circuito RLC estão relacionadas por uma versão AC da lei de Ohm:
\[I_0 = \dfrac{V_0}{Z} \, or \, I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{Z}.\]
Aqui\(I_0\) está a corrente de pico,\(V_0\) a tensão máxima da fonte e\(Z\) a impedância do circuito. As unidades de impedância são ohms e seu efeito no circuito é o esperado: quanto maior a impedância, menor a corrente. Para obter uma expressão para\(Z\) em termos de\(R\)\(X_L\), e\(X_C\), agora examinaremos como as tensões nos vários componentes estão relacionadas à tensão da fonte. Essas voltagens estão rotuladas\(V_R\),\(V_L\) e\(V_C\) na Figura.
A conservação da carga exige que a corrente seja sempre a mesma em cada parte do circuito, para que possamos dizer que as correntes em\(R\)\(L\), e\(C\) são iguais e em fase. Mas sabemos da seção anterior que a tensão no indutor\(V_L\) conduz a corrente em um quarto de um ciclo, a tensão no capacitor\(V_C\) segue a corrente em um quarto de um ciclo e a tensão no resistor\(V_R\) está exatamente em fase com a corrente. A figura mostra essas relações em um gráfico, além de mostrar a tensão total ao redor do circuito\(V = V_R + V_L + V_C\), onde todas as quatro voltagens são os valores instantâneos. De acordo com a regra do circuito de Kirchhoff, a tensão total ao redor do circuito também\(V\) é a voltagem da fonte.
Você pode ver na Figura que, enquanto\(V_R\) está em fase com a corrente\(90^o\),\(V_L\) passa e\(V_C\) segue por\(90^o\). Assim,\(V_L\)\(V_C\) estão\(180^o\) fora de fase (crista a vale) e tendem a se cancelar, embora não completamente, a menos que tenham a mesma magnitude. Como as tensões de pico não estão alinhadas (não em fase), a tensão\(V_0\) de pico da fonte não é igual à soma das tensões de pico em\(R\)\(L\),\(C\) e. O relacionamento real é
\[V_0 = \sqrt{V_{0R}^2 + (V_{0L} - V_{0C})^2},\]onde\(V_{0R}\),\(V_{0L}\), e\(V_{0C}\) são as tensões de pico em\(R\)\(L\), e\(C\), respectivamente. Agora, usando a lei de Ohm e as definições de Reatância, Indutiva e Capacitiva,\(V_0 = I_0Z\) substituímos as anteriores\(V_{0R} = I_0R\), bem como\(V_{0L} = I_0X_L\), e\(V_{0C} = I_0X_C\), produzindo
\[I_0Z = \sqrt{I_0^2R^2 + (I_0X_L - I_0X_C)^2} = I_0\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}.\]
\(I_0\)cancela para gerar uma expressão para\(Z\):
\[Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2},\]que é a impedância de um circuito AC da série RLC. Para circuitos sem resistor, pegue\(R = 0\); para aqueles sem indutor, pegue\(X_L = 0\); e para aqueles sem capacitor, pegue\(X_C = 0\).
Exemplo\(\PageIndex{1}\) : Calculating Impedance and Current
Um circuito da série RLC tem um\(40.0 \, \Omega\) resistor, um indutor de 3,00 mH e um\(5.00 \, \mu F\) capacitor. (a) Encontre a impedância do circuito em 60,0 Hz e 10,0 kHz, observando que essas frequências e os valores de\(L\) e\(C\) são os mesmos de [link] e [link]. (b) Se a fonte de tensão tiver\(V_{rms} = 120 \, V\), o que há\(I_{rms}\) em cada frequência?
Estratégia
Para cada frequência, usamos\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) para encontrar a impedância e, em seguida, a lei de Ohm para encontrar a corrente. Podemos aproveitar os resultados dos dois exemplos anteriores em vez de calcular as reatâncias novamente.
Solução para (a)
Em 60,0 Hz, os valores das reatâncias foram encontrados em [link] to be\(X_L = 1.13 \, \Omega\) e em [link] to be\(X_C = 531 \, \Omega\). Inserindo estes e o dado\(40.0 \, \Omega\) para resistência em\(Z = \sqrt{R^2 +(X_L - X_C)^2}\) rendimentos
\[Z = \sqrt{R^2 +(X_L - X_C)^2}\]
\[= \sqrt{(40.0 \, )^2 + (1.13 \, \Omega - 531 \, \Omega)^2}\]
\[= 531 \, \Omega \, at \, 60.0 \, Hz.\]
Da mesma forma, a 10,0 kHz\(X_L = 188 \, \Omega\) e\(X_C = 3.18 \, \Omega\), de modo que
\[Z = \sqrt{(40.0 \, \Omega)^2 + (188 \, \Omega - 3.18 \, \Omega)^2}\]
\[= 190 \, \Omega \, at \, 10.0 \, kHz.\]
Discussão para (a)
Em ambos os casos, o resultado é quase o mesmo que o maior valor, e a impedância definitivamente não é a soma dos valores individuais. É claro que\(X_L\) domina em alta frequência e\(X_C\) domina em baixa frequência.
Solução para (b)
A corrente\(I_{rms}\) pode ser encontrada usando a versão AC da lei de Ohm na Equação\(I_{rms} = V_{rms}/Z\).
\[I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{Z} = \dfrac{120 \, V}{531 \, \Omega} = 0.226 \, A \, at \, 60.0 \, Hz.\]
Finalmente, a 10,0 kHz, encontramos
\[I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{Z} = \dfrac{120 \, V}{180 \, \Omega} = 0.633 \, A \, at \, 10.0 \, Hz.\]
Discussão para (a)
A corrente em 60,0 Hz é a mesma (até três dígitos) encontrada somente para o capacitor em [link]. O capacitor domina em baixa frequência. A corrente a 10,0 kHz é apenas ligeiramente diferente daquela encontrada apenas para o indutor em [link]. O indutor domina em alta frequência.
Ressonância em circuitos AC da série RLC
Como um circuito RLC se comporta em função da frequência da fonte de tensão de acionamento? Combinando a lei de Ohm e a expressão para impedância\(Z\) de\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\) dá\(I_{rms} = V_{rms}/Z\)
\[I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{\sqrt{R^2 + (X_L = X_C)^2}}.\]
As reatâncias variam com a frequência, com\(X_L\) grandes em altas frequências e\(X_C\) grandes em baixas frequências, como vimos em três exemplos anteriores. Em alguma frequência intermediária\(f_0\), as reatâncias serão iguais e serão canceladas, fornecendo\(Z = R\) — este é um valor mínimo para impedância e um valor máximo para\(I_{rms}\) resultados. Podemos obter uma expressão para\(f_0\) tomando
\[X_L = X_C.\]
Substituindo as definições de\(X_L\) e\(X_C\),
\[2\pi f_0 L = \dfrac{1}{2\pi f_0 C}.\]
Resolvendo essa expressão para\(f_0\) rendimentos
\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}},\]onde\(F_0\) está a frequência de ressonância de um circuito da série RLC. Essa também é a frequência natural na qual o circuito oscilaria se não fosse acionado pela fonte de tensão. Em\(f_0\), os efeitos do indutor e do capacitor são cancelados, de modo que\(Z = R\), e\(I_{rms}\) são máximos.
A ressonância em circuitos de corrente alternada é análoga à ressonância mecânica, onde a ressonância é definida como uma oscilação forçada - neste caso, forçada pela fonte de tensão - na frequência natural do sistema. O receptor de um rádio é um circuito RLC que oscila melhor em seu\(f_0\). Um capacitor variável é frequentemente usado\(f_0\) para ajustar a frequência desejada e rejeitar outras. A figura é um gráfico da corrente em função da frequência, ilustrando um pico ressonante em\(I_{rms}\) at\(f_0\). As duas curvas são para dois circuitos diferentes, que diferem apenas na quantidade de resistência neles. O pico é menor e mais amplo para o circuito de maior resistência. Assim, o circuito de maior resistência não ressoa tão fortemente e não seria tão seletivo em um receptor de rádio, por exemplo.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Resonant Frequency and Current
Para o mesmo circuito da série RLC com um\(40.0 \, \Omega\) resistor, um indutor de 3,00 mH e um\(5.00 \, \mu F\) capacitor: (a) Encontre a frequência de ressonância. (b) Calcule\(I_{rms}\) em ressonância se\(V_{rms}\) for 120 V.
Estratégia
A frequência de ressonância é encontrada usando a expressão em\(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\).
A corrente nessa frequência é a mesma que se o resistor estivesse sozinho no circuito.
Solução para (a)
Inserir os valores fornecidos\(C\) para\(L\) e na expressão dada por\(f_0\) em\(f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\) produz
\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}\]
\[= \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{(3.00 \times 10^{-3} \, H)(5.00 \times 10^{-6} \, F)}} = 1.30 \, kHz.\]
Discussão para (a)
Vemos que a frequência de ressonância está entre 60,0 Hz e 10,0 kHz, as duas frequências escolhidas em exemplos anteriores. Isso era de se esperar, já que o capacitor dominava na baixa frequência e o indutor dominava na alta frequência. Seus efeitos são os mesmos nessa frequência intermediária.
Solução para (b)
A corrente é dada pela lei de Ohm. Na ressonância, as duas reatâncias são iguais e canceladas, de modo que a impedância é igual apenas à resistência. Assim,
\[I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{Z} = \dfrac{120 \, V}{40.0 \, \Omega} = 3.00 \, A.\]
Discussão para (b)
Na ressonância, a corrente é maior do que nas frequências mais altas e mais baixas consideradas para o mesmo circuito no exemplo anterior.
Alimentação em circuitos AC da série RLC
Se a corrente variar com a frequência em um circuito RLC, a energia fornecida a ela também varia com a frequência. Mas a potência média não é simplesmente corrente vezes tensão, como ocorre em circuitos puramente resistivos. Como foi visto na Figura, a tensão e a corrente estão fora de fase em um circuito RLC. Há um ângulo de fase\(\phi\) entre a tensão da fonte\(V\) e a corrente\(I\), que pode ser encontrado em
\[cos \, \phi = \dfrac{R}{Z}.\]
Por exemplo, na frequência ressonante ou em um circuito puramente resistivo\(Z = R\), de modo que\(cos \, \phi = 1\). Isso implica que\(\phi = 0^o\) e que a tensão e a corrente estão em fase, conforme esperado para os resistores. Em outras frequências, a potência média é menor do que na ressonância. Isso ocorre porque a tensão e a corrente estão fora de fase e porque\(I_{rms}\) são mais baixas. O fato de a tensão e a corrente da fonte estarem fora de fase afeta a energia fornecida ao circuito. Pode-se mostrar que a potência média é
\[P_{ave} = I_{rms}V_{rms}cos \, \phi,\]assim,\(cos \, \phi\) é chamado de fator de potência, que pode variar de 0 a 1. Fatores de potência próximos a 1 são desejáveis ao projetar um motor eficiente, por exemplo. Na frequência ressonante,\(cos \, \phi = 1\).
Exemplo\(\PageIndex{3}\) : Calculating the Power Factor and Power
Para o mesmo circuito da série RLC com um\(40.0 \, \Omega\) resistor, um indutor de 3,00 mH, um\(5.00 \, \mu F\) capacitor e uma fonte\(V_{rms}\) de tensão com 120 V: (a) Calcule o fator de potência e o ângulo de fase para\(f = 60.0 \, Hz.\)
(b) Qual é a potência média em 50,0 Hz? (c) Encontre a potência média na frequência ressonante do circuito.
Estratégia e solução para (a)
O fator de potência em 60,0 Hz é encontrado em
\[cos \, \phi = \dfrac{R}{Z}.\]
Sabemos\(Z = 531 \, \Omega \) do Example, então que
\[cos \, \phi = \dfrac{40.0 \, \Omega}{531 \, \Omega} = 0.0753 \, at \, 60.0 \, Hz.\]
Esse pequeno valor indica que a tensão e a corrente estão significativamente fora de fase. Na verdade, o ângulo de fase é
\[\phi = cos^{-1} \, 0.0753 = 85.7^o \, at \, 60.0 \, Hz.\]
Discussão para (a)
O ângulo de fase é próximo\(90^o\), consistente com o fato de que o capacitor domina o circuito nessa baixa frequência (um circuito RC puro tem sua tensão e corrente\(90^o\) fora de fase).
Estratégia e solução para (b)
A potência média em 60,0 Hz é
\[P_{ave} = I_{rms}V_{rms}cos \, \phi.\]
\(I_{rms}\)foi encontrado como 0,226 A no exemplo. A inserção dos valores conhecidos fornece
\[P_{ave} = (0.226 \, A)(120 \, V)(0.0753) = 2.04 \, W \, at \, 60.0 \, Hz.\]
Estratégia e solução para (c)
Na frequência de ressonância, sabemos\(cos \, \phi = 1\), e\(I_{rms}\) descobriu-se que era 6,00 A em Exemplo. Assim,
\ [P_ {ave} = (3,00\, A) (120\, V) (1) = 360\, W\)
em ressonância (1,30 kHz)
Discussão
Tanto a corrente quanto o fator de potência são maiores na ressonância, produzindo uma potência significativamente maior do que em frequências mais altas e mais baixas.
A energia fornecida a um circuito AC da série RLC é dissipada apenas pela resistência. O indutor e o capacitor têm entrada e saída de energia, mas não a dissipam para fora do circuito. Em vez disso, eles transferem energia um para o outro, com o resistor dissipando exatamente o que a fonte de tensão coloca no circuito. Isso pressupõe que não haja radiação eletromagnética significativa do indutor e do capacitor, como ondas de rádio. Essa radiação pode acontecer e pode até ser desejada, como veremos no próximo capítulo sobre radiação eletromagnética, mas também pode ser suprimida, como é o caso neste capítulo. O circuito é análogo ao volante de um carro movido por uma estrada corrugada, conforme mostrado na Figura. Os solavancos regularmente espaçados na estrada são análogos à fonte de tensão, acionando a roda para cima e para baixo. O amortecedor é análogo ao amortecimento de resistência e limita a amplitude da oscilação. A energia dentro do sistema vai e volta entre a energia cinética (análoga à corrente máxima e energia armazenada em um indutor) e a energia potencial armazenada na mola do carro (análoga à ausência de corrente e energia armazenada no campo elétrico de um capacitor). A amplitude do movimento das rodas é máxima se os solavancos na estrada forem atingidos na frequência de ressonância.
Um circuito LC puro com resistência insignificante oscila na\(f_0\) mesma frequência de ressonância de um circuito RLC. Ele pode servir como um padrão de frequência ou circuito de relógio, por exemplo, em um relógio de pulso digital. Com uma resistência muito pequena, apenas uma entrada de energia muito pequena é necessária para manter as oscilações. O circuito é análogo a um carro sem amortecedores. Quando começa a oscilar, continua em sua frequência natural por algum tempo. A figura mostra a analogia entre um circuito LC e uma massa em uma mola.
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Resumo
- A analogia CA com a resistência é a impedância\(Z\), o efeito combinado de resistores, indutores e capacitores, definido pela versão CA da lei de Ohm:\[I_0 = \dfrac{V_0}{Z} \, or \, I_{rms} = \dfrac{V_{rms}}{Z},\] onde\(I_0\) está a corrente de pico e\(V_0\) a tensão máxima da fonte.
- A impedância tem unidades de ohms e é dada por\(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).
- A frequência ressonante\(f_0\), na qual\(X_L = X_C\), é\[f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}.\]
- Em um circuito AC, há um ângulo de fase\(\phi\) entre a tensão da fonte\(V\) e a corrente\(I\) que pode ser encontrado a partir de\[cos \, \phi = \dfrac{R}{Z},\]
- \(\phi = 0^o\)para um circuito puramente resistivo ou um circuito RLC em ressonância.
- A potência média fornecida a um circuito RLC é afetada pelo ângulo de fase e é dada por\[P_{ave} = I_{rms}V_{rms} \, cos \, \phi,\]\(cos \, \phi\) é chamada de fator de potência, que varia de 0 a 1.
Glossário
- impedância
- o análogo AC à resistência em um circuito DC; é o efeito combinado de resistência, reatância indutiva e reatância capacitiva na forma\(Z=\sqrt{R^2+(X_L−X_C)^2}\)
- frequência ressonante
- a frequência na qual a impedância em um circuito está no mínimo e também a frequência na qual o circuito oscilaria se não fosse acionado por uma fonte de tensão; calculado por\(f_0=\frac{1}{2π\sqrt{LC}}\)
- ângulo de fase
- denotado por \(ϕ\), a quantidade pela qual a tensão e a corrente estão fora de fase uma com a outra em um circuito
- fator de potência
- a quantidade pela qual a potência fornecida no circuito é menor que o máximo teórico do circuito devido à tensão e à corrente estarem fora de fase; calculado por (cos\)