16.8: Oscilações forçadas e ressonância

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Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Observe a ressonância de uma bola de remo em uma corda.
Observe a amplitude de um oscilador harmônico amortecido.

Sente-se em frente a um piano em algum momento e cante uma breve nota alta sem os amortecedores das cordas. Ele cantará a mesma nota para você — as cordas, com as mesmas frequências da sua voz, estão ressoando em resposta às forças das ondas sonoras que você enviou para elas. Sua voz e as cordas de um piano são um bom exemplo do fato de que objetos — neste caso, cordas de piano — podem ser forçados a oscilar, mas oscilam melhor em sua frequência natural. Nesta seção, exploraremos brevemente a aplicação de uma força motriz periódica atuando em um oscilador harmônico simples. A força motriz coloca energia no sistema em uma determinada frequência, não necessariamente a mesma que a frequência natural do sistema. A frequência natural é a frequência na qual um sistema oscilaria se não houvesse força de acionamento nem de amortecimento.

Figura\(\PageIndex{1}\): Você pode fazer com que as cordas de um piano vibrem simplesmente produzindo ondas sonoras a partir da sua voz. (crédito: Matt Billings, Flickr)

A maioria de nós já brincou com brinquedos envolvendo um objeto apoiado em um elástico, algo como a bola de remo suspensa de um dedo na Figura\(\PageIndex{2}\). Imagine que o dedo na figura é seu dedo. No início, você mantém o dedo firme e a bola salta para cima e para baixo com uma pequena quantidade de amortecimento. Se você mover o dedo para cima e para baixo lentamente, a bola seguirá em frente sem saltar muito sozinha. À medida que você aumenta a frequência com que move o dedo para cima e para baixo, a bola responderá oscilando com amplitude crescente. Quando você dirige a bola em sua frequência natural, as oscilações da bola aumentam em amplitude a cada oscilação enquanto você a dirige. O fenômeno de dirigir um sistema com uma frequência igual à sua frequência natural é chamado de ressonância. Diz-se que um sistema acionado em sua frequência natural ressoa. À medida que a frequência de condução se torna progressivamente maior do que a frequência ressonante ou natural, a amplitude das oscilações se torna menor, até que as oscilações quase desapareçam e seu dedo simplesmente se mova para cima e para baixo com pouco efeito na bola.

A figura dada mostra três imagens de um único dedo visto horizontalmente contendo uma corda, suspensa verticalmente para baixo, sendo amarrada a uma bola de remo em sua extremidade descendente. Na primeira figura, a bola está se esticando para cima e para baixo muito lentamente, com menos deslocamento, o deslocamento mostrado nas figuras como tons desbotados da bola e é representado como 2X. Já na segunda figura o movimento da bola é maior, enquanto na terceira o movimento é menor. Em todas as três figuras, a bola está em equilíbrio em relação ao seu movimento. A frequência, f, para a primeira figura é muito baixa, para a segunda figura como f não, enquanto para a terceira figura é mais alta. — Figura\(\PageIndex{2}\): A bola de remo em seu elástico se move em resposta ao dedo que a apoia. Se o dedo se mover com a frequência natural\(f_0\) da bola no elástico, uma ressonância é alcançada e a amplitude das oscilações da bola aumenta dramaticamente. Em frequências de condução mais altas e mais baixas, a energia é transferida para a bola com menos eficiência e ela responde com oscilações de menor amplitude.

A figura\(\PageIndex{3}\) mostra um gráfico da amplitude de um oscilador harmônico amortecido em função da frequência da força periódica que o impulsiona. Há três curvas no gráfico, cada uma representando uma quantidade diferente de amortecimento. Todas as três curvas atingem o pico no ponto em que a frequência da força motriz é igual à frequência natural do oscilador harmônico. O pico mais alto, ou maior resposta, é para a menor quantidade de amortecimento, porque menos energia é removida pela força de amortecimento.

Figura\(\PageIndex{3}\): Amplitude de um oscilador harmônico em função da frequência da força motriz. As curvas representam o mesmo oscilador com a mesma frequência natural, mas com diferentes quantidades de amortecimento. A ressonância ocorre quando a frequência de condução é igual à frequência natural, e a maior resposta é para a menor quantidade de amortecimento. A resposta mais estreita também é para o menor amortecimento.

É interessante que as larguras das curvas de ressonância mostradas na Figura\(\PageIndex{3}\) dependam do amortecimento: quanto menor o amortecimento, mais estreita é a ressonância. A mensagem é que, se você quiser que um oscilador acionado ressoe em uma frequência muito específica, precisará do mínimo de amortecimento possível. Um pouco de amortecimento é o caso das cordas de piano e de muitos outros instrumentos musicais. Por outro lado, se você quiser oscilações de pequena amplitude, como no sistema de suspensão de um carro, você quer um amortecimento pesado. O amortecimento intenso reduz a amplitude, mas a desvantagem é que o sistema responde em mais frequências.

Essas características dos osciladores harmônicos acionados se aplicam a uma grande variedade de sistemas. Ao sintonizar um rádio, por exemplo, você está ajustando sua frequência de ressonância para que ele oscile apenas na frequência de transmissão (direção) da estação desejada. Quanto mais seletivo o rádio for na discriminação entre estações, menor será seu amortecimento. A ressonância magnética (MRI) é uma ferramenta de diagnóstico médico amplamente usada na qual os núcleos atômicos (principalmente núcleos de hidrogênio) são feitos para ressoar pelas ondas de rádio recebidas (na ordem de 100 MHz). Uma criança em um balanço é conduzida por um dos pais na frequência natural do balanço para atingir a amplitude máxima. Em todos esses casos, a eficiência da transferência de energia da força motriz para o oscilador é melhor na ressonância. Lombadas e estradas de cascalho provam que mesmo o sistema de suspensão de um carro não está imune à ressonância. Apesar dos amortecedores finamente projetados, que normalmente convertem energia mecânica em energia térmica quase tão rápido quanto ela entra, os redutores de velocidade ainda causam uma oscilação de grande amplitude. Em estradas de cascalho que são onduladas, você deve ter notado que, se você viajar na velocidade “errada”, os solavancos são muito perceptíveis, enquanto em outras velocidades você pode quase não sentir os solavancos. \(\PageIndex{4}\)A figura mostra uma fotografia de um exemplo famoso (a Ponte Tacoma Narrows) dos efeitos destrutivos de uma oscilação harmônica acionada. A Millennium Bridge, em Londres, foi fechada por um curto período de tempo pelo mesmo motivo durante as inspeções.

Em nossos corpos, a cavidade torácica é um exemplo claro de sistema em ressonância. O diafragma e a parede torácica impulsionam as oscilações da cavidade torácica que resultam na inflação e desinsuflação dos pulmões. O sistema é criticamente amortecido e o diafragma muscular oscila no valor de ressonância do sistema, tornando-o altamente eficiente.

A figura mostra uma foto em preto e branco da Ponte Tacoma Narrows, da vista lateral esquerda. O meio da ponte é mostrado aqui em um estado oscilante devido aos fortes ventos cruzados. — Figura\(\PageIndex{4}\): Em 1940, a ponte Tacoma Narrows, no estado de Washington, desabou. Fortes ventos cruzados levaram a ponte a oscilações em sua frequência de ressonância. O amortecimento diminuiu quando os cabos de suporte se soltaram e começaram a deslizar sobre as torres, permitindo amplitudes cada vez maiores até que a estrutura falhasse (crédito: Studio 360 do PRI, via Flickr)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Um famoso truque de mágica envolve um artista cantando uma nota em direção a um copo de cristal até que o copo se estilhaça. Explique por que o truque funciona em termos de ressonância e frequência natural.

Resposta: O artista deve estar cantando uma nota que corresponda à frequência natural do copo. Quando a onda sonora é direcionada para o vidro, o vidro responde ressoando na mesma frequência da onda sonora. Com energia suficiente introduzida no sistema, o vidro começa a vibrar e, eventualmente, se estilhaça.

Resumo

A frequência natural de um sistema é a frequência na qual o sistema oscilará se não for afetado pelas forças de acionamento ou amortecimento.
Uma força periódica que aciona um oscilador harmônico em sua frequência natural produz ressonância. Diz-se que o sistema ressoa.
Quanto menos amortecimento um sistema tiver, maior será a amplitude das oscilações forçadas próximas à ressonância. Quanto mais amortecimento um sistema tiver, mais ampla será a resposta a diferentes frequências de condução.

Glossário

frequência natural: a frequência na qual um sistema oscilaria se não houvesse forças de acionamento e amortecimento

ressonância: o fenômeno de dirigir um sistema com uma frequência igual à frequência natural do sistema

ressoam: um sistema sendo acionado em sua frequência natural