5.2: Forças de arrasto

Last updated
Save as PDF

Page ID: 194077

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

Expresse matematicamente a força de arrasto.
Discuta as aplicações da força de arrasto.
Defina a velocidade do terminal.
Determine a velocidade terminal dada a massa.

Outra força interessante na vida cotidiana é a força de arrasto sobre um objeto quando ele está se movendo em um fluido (seja um gás ou um líquido). Você sente a força de arrasto ao mover a mão na água. Você também pode sentir isso se mover a mão durante um vento forte. Quanto mais rápido você move sua mão, mais difícil é se mover. Você sente uma força de arrasto menor ao inclinar a mão para que apenas o lado passe pelo ar — você diminuiu a área da mão voltada para a direção do movimento. Assim como o atrito, a força de arrasto sempre se opõe ao movimento de um objeto. Ao contrário do atrito simples, a força de arrasto é proporcional a alguma função da velocidade do objeto nesse fluido. Essa funcionalidade é complicada e depende da forma do objeto, de seu tamanho, de sua velocidade e do fluido em que ele se encontra. Para a maioria dos objetos grandes, como ciclistas, carros e bolas de beisebol, que não se movem muito lentamente, a magnitude da força de arrasto\(F_D\) é proporcional ao quadrado da velocidade do objeto. Podemos escrever essa relação matematicamente como\(F_D\propto v^2 \). Ao levar em conta outros fatores, essa relação se torna

\[F_D = \dfrac{1}{2} C_{\rho} Av^2, \label{5.3.1}\]

onde\(C\) está o coeficiente de arrasto,\(A\) é a área do objeto voltada para o fluido e\(\rho\) é a densidade do fluido. (Lembre-se de que densidade é massa por unidade de volume.) Essa equação também pode ser escrita de forma mais generalizada, pois\(F_D = bv^2, \) onde\(b\) é uma constante equivalente a\(0.5 C\rho A.\) Nós definimos o expoente para essas equações como 2 porque, quando um objeto está se movendo em alta velocidade no ar, a magnitude da força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade. Como veremos em algumas páginas sobre dinâmica de fluidos, para pequenas partículas se movendo em baixas velocidades em um fluido, o expoente é igual a 1.

Definição: DRAG FORCE

\(F_D\)A força de arrasto é considerada proporcional ao quadrado da velocidade do objeto. Matematicamente\[F_D\propto v^2 \]

\[F_D = \dfrac{1}{2} C_{\rho} Av^2, \]onde\(C\) está o coeficiente de arrasto\(A\) é a área do objeto voltado para o fluido e\(\rho\) é a densidade do fluido.

Atletas e designers de automóveis buscam reduzir a força de arrasto para diminuir seus tempos de corrida. (Veja a Figura). A modelagem “aerodinâmica” de um automóvel pode reduzir a força de arrasto e, assim, aumentar o consumo de combustível de um carro.

Uma equipe de duas pessoas em uma corrida de bobsled. O bobsled tem um design aerodinâmico e corredores suaves para que possa ir o mais rápido possível. — Figura\(\PageIndex{1}\): De carros de corrida a pilotos de bobsled, a modelagem aerodinâmica é crucial para alcançar velocidades máximas. Os bobsleds são projetados para serem rápidos. Eles têm a forma de uma bala com barbatanas cônicas. (crédito: Exército dos EUA, via Wikimedia Commons)

O valor do coeficiente de arrasto\(C\) é determinado empiricamente, geralmente com o uso de um túnel de vento. (Veja a Figura).

Um modelo de avião pode ser visto sendo testado em um túnel de vento. — Figura\(\PageIndex{2}\): Pesquisadores da NASA testam um modelo de avião em um túnel de vento. (crédito: NASA/Ames)

O coeficiente de arrasto pode depender da velocidade, mas assumiremos que é uma constante aqui. A tabela lista alguns coeficientes de arrasto típicos para uma variedade de objetos. Observe que o coeficiente de arrasto é uma quantidade adimensional. Em velocidades de rodovia, mais de 50% da potência de um carro é usada para superar a resistência aérea. A velocidade de cruzeiro mais eficiente em termos de combustível é de cerca de 70—80 km/h (cerca de 45—50 mi/h). Por esse motivo, durante a crise do petróleo dos anos 1970 nos Estados Unidos, as velocidades máximas nas rodovias foram fixadas em cerca de 90 km/h (55 mi/h).

Objeto	C
Aerofólio	0,05
Toyota Camry	0,28
Ford Focus	0,32
Honda Civic	0,36
Ferrari Testarossa	0,37
picape Dodge Ram	0,43
Esfera	0,45
Hummer H2 SUV	0,64
Paraquedista (pés primeiro)	0,70
Bicicleta	0,90
Paraquedista (horizontal)	1,0
Placa plana circular	1,12

Pesquisas substanciais estão em andamento no mundo esportivo para minimizar o arrasto. As covinhas das bolas de golfe estão sendo redesenhadas, assim como as roupas que os atletas usam. Os ciclistas e alguns nadadores e corredores usam macacões completos. A australiana Cathy Freeman vestiu um traje de corpo inteiro nas Olimpíadas de Sydney em 2000 e ganhou a medalha de ouro na corrida de 400 m. Muitos nadadores nas Olimpíadas de Pequim 2008 usavam roupas corporais (Speedo); isso pode ter feito a diferença ao quebrar muitos recordes mundiais (veja a figura). A maioria dos nadadores de elite (e ciclistas) depila os pelos do corpo. Essas inovações podem ter o efeito de cortar milissegundos em uma corrida, às vezes fazendo a diferença entre uma medalha de ouro e uma de prata. Uma consequência é que diretrizes cuidadosas e precisas devem ser continuamente desenvolvidas para manter a integridade do esporte.

Três nadadores estão, cada um, vestindo um traje de corrida L Z R, que é um maiô composto por nylon elastano e poliuretano. As costuras do traje são soldadas ultrassonicamente para reduzir o arrasto. — Figura\(\PageIndex{3}\): Trajes corporais, como este traje LZR Racer, foram creditados com muitos recordes mundiais após seu lançamento em 2008. Uma “pele” mais lisa e mais forças de compressão no corpo do nadador proporcionam pelo menos 10% menos arrasto. (crédito: NASA/Kathy Barnstorff)

Algumas situações interessantes relacionadas à segunda lei de Newton ocorrem ao considerar os efeitos das forças de arrasto sobre um objeto em movimento. Por exemplo, considere um paraquedista caindo no ar sob a influência da gravidade. As duas forças que atuam sobre ele são a força da gravidade e a força de arrasto (ignorando a força de empuxo). A força descendente da gravidade permanece constante, independentemente da velocidade na qual a pessoa está se movendo. No entanto, à medida que a velocidade da pessoa aumenta, a magnitude da força de arrasto aumenta até que a magnitude da força de arrasto seja igual à força gravitacional, produzindo assim uma força líquida de zero. Uma força líquida zero significa que não há aceleração, conforme dado pela segunda lei de Newton. Nesse ponto, a velocidade da pessoa permanece constante e dizemos que a pessoa atingiu sua velocidade terminal\((v_t)\). Como \(F_D\)é proporcional à velocidade, um paraquedista mais pesado deve ir mais rápido\(F_D\) para igualar seu peso. Vamos ver como isso funciona de forma mais quantitativa.

Na velocidade terminal,

\[ F_{net} = mg - F_D = ma = 0\]

Assim,

\[ mg = F_D. \]

Usando a equação da força de arrasto, temos\[ mg = \dfrac{1}{2}\rho C Av^2. \]

Resolvendo a velocidade, obtemos\[ v = \sqrt{\dfrac{2mg}{\rho C A}} \]

Suponha que a densidade do ar seja:\(\rho = 1.21 \, kg/m^3. \) Um paraquedista de 75 kg descendo de cabeça primeiro terá uma área de aproximadamente\(A = 0.18 \, m^2 \) e um coeficiente de arrasto de aproximadamente.\(C = 0.70. \) Descobrimos que

\[v = \sqrt{\dfrac{2(75 \, kg)(9.80 \, m/s^2)}{(1.21 \, kg/m^3)(0.70)(0.18 \, m^2)}} \]

\[ = 98 \, m/s \]

\[ = 350 \, km/h. \]

Isso significa que um paraquedista com uma massa de 75 kg atinge uma velocidade terminal máxima de cerca de 350 km/h enquanto viaja em uma posição de pique (cabeça primeira), minimizando a área e seu arrasto. Em uma posição de águia aberta, essa velocidade terminal pode diminuir para cerca de 200 km/h à medida que a área aumenta. Essa velocidade terminal se torna muito menor após a abertura do paraquedas.

EXPERIÊNCIA PARA LEVAR PARA CASA

Essa atividade interessante examina o efeito do peso na velocidade terminal. Reúna alguns filtros de café aninhados. Deixando-os em sua forma original, meça o tempo necessário para que um, dois, três, quatro e cinco filtros aninhados caiam no chão da mesma altura (aproximadamente 2 m). (Observe que, devido à forma como os filtros são aninhados, o arrasto é constante e somente a massa varia.) Eles obtêm a velocidade terminal muito rapidamente, então encontre essa velocidade em função da massa. Faça um gráfico da velocidade terminal\(v\) versus massa. Também plote\(v^2\) versus massa. Qual dessas relações é mais linear? O que você pode concluir a partir desses gráficos?

Exemplo\(\PageIndex{1}\): The terminal Velocity

Encontre a velocidade terminal de um paraquedista de 85 kg caindo em uma posição de águia aberta.

Estratégia

Na velocidade terminal,\(F_{net} = 0 \) portanto, a força de arrasto no paraquedista deve ser igual à força da gravidade (o peso da pessoa). Usando a equação da força de arrasto, encontramos\(mg = \frac{1}{2} \rho C A v^2\).

Assim, a velocidade terminal\(v_t\) pode ser escrita como

\[v_t = \sqrt{\dfrac{2mg}{\rho CA}} \]

Solução

Todas as quantidades são conhecidas, exceto a área projetada da pessoa. Esta é uma águia adulta (85 kg) cadente. Podemos estimar a área frontal como\[ A = (2 \, m)(0.35 \, m) = 0.70 \, m^2 \]

Usando nossa equação para\(v_t,\) descobrir que

\[ v_t = \sqrt{\dfrac{2(85\space kg)(9.80 \, m/s^2)}{91.21 \, kg/m^3)(1.0)(0.70 \, m^2)}} \]

\[ = 44 \, m/s\]

Discussão

Esse resultado é consistente com o valor\(v_t\) mencionado anteriormente. O paraquedista de 75 kg que passava primeiro tinha um\(v = 98 \, m/s.\) Ele pesava menos, mas tinha uma área frontal menor e, portanto, um arrasto menor devido ao ar.

O tamanho do objeto que está caindo no ar apresenta outra aplicação interessante da resistência aérea. Se você cair de um galho de uma árvore com 5 m de altura, provavelmente se machucará, possivelmente fraturando um osso. No entanto, um pequeno esquilo faz isso o tempo todo, sem se machucar. Você não atinge uma velocidade terminal em uma distância tão curta, mas o esquilo sim.

A seguinte citação interessante sobre o tamanho do animal e a velocidade terminal é de um ensaio de 1928 de um biólogo britânico, J.B.S. Haldane, intitulado “Sobre ser o tamanho certo”.

Para o rato e qualquer animal menor, [a gravidade] praticamente não apresenta perigos. Você pode jogar um rato no poço de uma mina de mil metros; e, ao chegar ao fundo, ele recebe um leve choque e vai embora, desde que o solo seja bastante macio. Um rato é morto, um homem é quebrado e um cavalo espirra. Pois a resistência apresentada ao movimento pelo ar é proporcional à superfície do objeto em movimento. Divida o comprimento, a largura e a altura de um animal cada um por dez; seu peso é reduzido para um milésimo, mas sua superfície apenas para um centésimo. Portanto, a resistência à queda no caso de um animal pequeno é relativamente dez vezes maior do que a força motriz.

A dependência quadrática acima da resistência do ar sobre a velocidade não se sustenta se o objeto for muito pequeno, estiver muito lento ou estiver em um meio mais denso que o ar. Então, descobrimos que a força de arrasto é proporcional apenas à velocidade. Essa relação é dada pela lei de Stokes, que afirma que\[ F_S = 6 \pi r \eta v \] onde\(r\) está o raio do objeto,\(\eta\) é a viscosidade do fluido e\(v\) é a velocidade do objeto.

Definição: STOKES LAW

\[ F_S = 6 \pi r \eta v \]

onde\(r\) é o raio do objeto,\(\eta\) é a viscosidade do fluido e\(v\) é a velocidade do objeto.

Bons exemplos dessa lei são fornecidos por microorganismos, pólen e partículas de poeira. Como cada um desses objetos é tão pequeno, descobrimos que muitos desses objetos viajam sem ajuda apenas a uma velocidade constante (terminal). As velocidades terminais das bactérias (tamanho aproximado\(1 \, \mu m\)) podem ser de aproximadamente.\(2 \, m/s.\) Para se mover em uma velocidade maior, muitas bactérias nadam usando flagelos (organelas em forma de pequenas caudas) que são alimentados por pequenos motores embutidos na célula. Os sedimentos em um lago podem se mover a uma velocidade terminal maior (cerca de\(5 \, \mu m/s,\)), portanto, podem levar dias para chegar ao fundo do lago após serem depositados na superfície.

Se compararmos os animais que vivem na terra com os que vivem na água, podemos ver como o arrasto influenciou a evolução. Peixes, golfinhos e até baleias enormes têm uma forma simplificada para reduzir as forças de arrasto. As aves são aerodinâmicas e as espécies migratórias que voam grandes distâncias geralmente têm características particulares, como pescoços longos. Bandos de pássaros voam na forma de uma cabeça de lança enquanto o bando forma um padrão simplificado (veja a Figura). Em humanos, um exemplo importante de racionalização é a forma dos espermatozoides, que precisam ser eficientes no uso da energia.

Gansos voando pelo céu em uma formação V. — Figura: Os gansos\(\PageIndex{4}\) voam em uma formação V durante suas longas viagens migratórias. Esse formato reduz o arrasto e o consumo de energia para pássaros individuais e também permite que eles se comuniquem melhor. (crédito: Julo, Wikimedia Commons)

A EXPERIÊNCIA DE GALILEU

Diz-se que Galileu derrubou dois objetos de massas diferentes da Torre de Pisa. Ele mediu quanto tempo cada um levou para chegar ao solo. Como os cronômetros não estavam prontamente disponíveis, como você acha que ele mediu o tempo de queda? Se os objetos fossem do mesmo tamanho, mas com massas diferentes, o que você acha que ele deveria ter observado? Esse resultado seria diferente se fosse feito na Lua?

Resumo

As forças de arrasto que atuam em um objeto que se move em um fluido se opõem ao movimento. Para objetos maiores (como uma bola de beisebol) que se movem a uma velocidade\(v\) no ar, a força de arrasto é dada por\[ F_D = \dfrac{1}{2}C \rho A v^2,\] onde\(C\) está o coeficiente de arrasto (os valores típicos são fornecidos na Tabela),\(A\) é a área do objeto voltada para o fluido e\(\rho\) é a densidade do fluido.
Para objetos pequenos (como uma bactéria) que se movem em um meio mais denso (como água), a força de arrasto é dada pela lei de Stokes,