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1.4: Aproximação

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    Objetivos de

    Ao final desta seção, você poderá:

    • Faça aproximações razoáveis com base em dados fornecidos.

    Em muitas ocasiões, físicos, outros cientistas e engenheiros precisam fazer aproximações ou “estimativas” para uma quantidade específica. Qual é a distância até um determinado destino? Qual é a densidade aproximada de um determinado item? Sobre o tamanho da corrente que haverá em um circuito? Muitos números aproximados são baseados em fórmulas nas quais as quantidades de entrada são conhecidas apenas com uma precisão limitada. À medida que você desenvolve habilidades de resolução de problemas (que podem ser aplicadas a uma variedade de campos por meio de um estudo de física), você também desenvolverá habilidades de aproximação. Você desenvolverá essas habilidades pensando de forma mais quantitativa e estando disposto a assumir riscos. Como em qualquer empreendimento, a experiência ajuda, assim como a familiaridade com as unidades. Essas aproximações nos permitem descartar certos cenários ou números irreais. As aproximações também nos permitem desafiar outras pessoas e nos guiar em nossas abordagens ao nosso mundo científico. Vamos fazer dois exemplos para ilustrar esse conceito.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\): Approximate the Height of a Building

    Você consegue aproximar a altura de um dos edifícios do seu campus ou da sua vizinhança? Vamos fazer uma aproximação com base na altura de uma pessoa. Neste exemplo, calcularemos a altura de um prédio de 39 andares.

    Estratégia

    Pense na altura média de um homem adulto. Podemos aproximar a altura do prédio aumentando a altura de uma pessoa.

    Solução

    Com base nas informações do exemplo, sabemos que há 39 andares no prédio. Se usarmos o fato de que a altura de um andar é aproximadamente igual ao comprimento de dois humanos adultos (cada humano tem cerca de 2 m de altura), então podemos estimar que a altura total do edifício seja

    \[\displaystyle \frac{2 \,m}{1\, person} × \frac{2\, person}{1 \,story} ×39\, stories = 156\, m. \nonumber\]

    Discussão

    Você pode usar quantidades conhecidas para determinar uma medida aproximada de quantidades desconhecidas. Se sua mão mede 10 cm de diâmetro, quantos comprimentos de mão são iguais à largura da sua mesa? Quais outras medidas você pode aproximar além do comprimento?

    Exemplo\(\PageIndex{2}\): Approximating Vast Numbers - a Trillion Dollar

    A dívida federal dos EUA no ano fiscal de 2008 foi de pouco menos de $10 trilhões. A maioria de nós não tem ideia de quanto realmente é um trilhão. Suponha que você tenha recebido um trilhão de dólares em notas de $100. Se você fizesse pilhas de 100 notas e as usasse para cobrir uniformemente um campo de futebol (entre as zonas finais), faça uma aproximação da altura da pilha de dinheiro. (Usaremos pés/polegadas em vez de metros aqui porque os campos de futebol são medidos em jardas.) Um de seus amigos diz 3 polegadas, enquanto outro diz 10 pés. O que você acha?

    Uma pilha bancária contendo notas de cem dólares.
    Figura\(\PageIndex{1}\): Uma pilha bancária contém notas de cem dólares 100 e vale 10.000 dólares. Quantas pilhas bancárias compõem um trilhão de dólares? (crédito: Andrew Magill)

    Estratégia

    Quando você imagina a situação, provavelmente imagina milhares de pequenas pilhas de 100 notas de $100 embrulhadas, como você pode ver em filmes ou em um banco. Como essa é uma quantidade fácil de aproximar, vamos começar por aí. Podemos encontrar o volume de uma pilha de 100 notas, descobrir quantas pilhas compõem um trilhão de dólares e, em seguida, definir esse volume igual à área do campo de futebol multiplicada pela altura desconhecida.

    Solução

    (1) Calcule o volume de uma pilha de 100 notas. As dimensões de uma única nota são de aproximadamente 3 pol. por 6 pol. Uma pilha de 100 deles tem cerca de 0,5 pol. de espessura. Portanto, o volume total de uma pilha de 100 notas é:

    \[ \begin{align*} \text{volume of stack} &=length×width×height \\[5pt] \text{volume of stack}&=6 \,in.×3 \,in.×0.5 \,in., \\[5pt] \text{volume of stack}&=9 \,in.^3 \end{align*}\]

    (2) Calcule o número de pilhas. Observe que um trilhão de dólares é igual a\(\$1×10^{12}\), e uma pilha de notas de $100 é igual a $10.000, ou\(\$1×10^4\). O número de pilhas que você terá é:

    \[\dfrac{\$1×10^{12} \, \text{(a trillion dollars)}}{\$1×10^4\, \text{per stack}}=1×10^8\, \text{stacks}. \nonumber\]

    (3) Calcule a área de um campo de futebol em polegadas quadradas. A área de um campo de futebol é\(100\, yd×50\, yd\), o que dá\(5,000 \,yd^2\). Como estamos trabalhando em polegadas, precisamos converter jardas quadradas em polegadas quadradas:

    \[ \begin{align*} Area &=5,000\, yd^2 × \frac{3\,ft}{1\,yd}×\frac{3\,ft}{1\, yd}×\frac{12\,in.}{1\, ft}×\frac{12\,in}{1 \,ft} \\[5pt] &=6,480,000\, in.^2, \\[5pt] &≈6×10^6\, in.^2. \end{align*}\]

    Essa conversão nos dá\(\displaystyle 6×10^6\,in^2\) para a área do campo. (Observe que estamos usando apenas uma figura significativa nesses cálculos.)

    (4) Calcule o volume total das contas. O volume de todas as pilhas de notas de $100 é

    \[9\, in.^3 /stack \times 10^8\, \text{stacks} =9 \times 10^8 \,in.^3. \nonumber\]

    (5) Calcule a altura. Para determinar a altura das notas, use a equação:

    \[ \begin{align*} \text{volume of bills} &=\text{area of field}×\text{height of money} \\[5pt] \text{Height of money} &=\frac{\text{volume of bills}}{\text{area of field}} \\[5pt] \text{Height of money} &=\frac{9×10^8in.^3}{6×10^6in.^2}=1.33×10^2in \\[5pt] \text{Height of money} &≈1 \times 10^2\,in.=100\, in. \end{align*}\]

    A altura do dinheiro será de cerca de 100 polegadas de altura. A conversão desse valor em pés dá

    \[\displaystyle 100\, in.×\frac{1\, ft}{12\, in.} =8.33 \,ft≈8\, ft. \nonumber\]

    Discussão

    O valor aproximado final é muito maior do que a estimativa inicial de 3 pol., mas a outra estimativa inicial de 10 pés (120 pol.) estava aproximadamente correta. Como a aproximação foi medida até sua primeira suposição? O que esse exercício pode lhe dizer em termos de “estimativas” aproximadas versus aproximações cuidadosamente calculadas?

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Usando a matemática mental e sua compreensão das unidades fundamentais, aproxime a área de uma quadra de basquete regulamentar. Descreva o processo que você usou para chegar à sua aproximação final

    Resposta

    Um homem médio tem cerca de dois metros de altura. Seriam necessários aproximadamente 15 homens dispostos de ponta a ponta para cobrir o comprimento e cerca de 7 para cobrir a largura. Isso fornece uma área aproximada de\(\displaystyle 420 m^2\).

    Resumo

    • Os cientistas geralmente aproximam os valores das quantidades para realizar cálculos e analisar sistemas.

    Glossário

    aproximação
    um valor estimado com base na experiência e raciocínio anteriores