1.3: Precisão, precisão e números significativos

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Determine o número apropriado de números significativos tanto na adição quanto na subtração, bem como nos cálculos de multiplicação e divisão.
• Calcule a porcentagem de incerteza de uma medição.

Exatidão e precisão de uma medição

A ciência é baseada na observação e na experimentação, ou seja, em medições. A precisão é a proximidade de uma medição do valor correto para essa medição. Por exemplo, digamos que você esteja medindo o comprimento de um papel de computador padrão. A embalagem na qual você comprou o papel afirma que ele tem 11,0 polegadas de comprimento. Você mede o comprimento do papel três vezes e obtém as seguintes medidas: 11,1 pol., 11,2 pol. e 10,9 pol. Essas medidas são bastante precisas porque estão muito próximas do valor correto de 11,0 polegadas. Por outro lado, se você tivesse obtido uma medida de 12 polegadas, sua medição não seria muito precisa.

Figura\(\PageIndex{1}\): Uma balança mecânica de bandeja dupla é usada para comparar massas diferentes. Normalmente, um objeto com massa desconhecida é colocado em uma panela e objetos de massa conhecida são colocados na outra. Quando a barra que conecta as duas panelas é horizontal, as massas nas duas panelas são iguais. As “massas conhecidas” são tipicamente cilindros metálicos de massa padrão, como 1 grama, 10 gramas e 100 gramas. (crédito: Serge Melki)

A precisão de um sistema de medição se refere à proximidade da concordância entre medições repetidas (que são repetidas nas mesmas condições). Considere o exemplo das medidas do papel. A precisão das medições se refere à dispersão dos valores medidos. Uma forma de analisar a precisão das medições seria determinar a faixa, ou diferença, entre os menores e os maiores valores medidos. Nesse caso, o menor valor foi 10,9 pol. e o maior valor foi 11,2 pol. Assim, os valores medidos se desviaram um do outro em no máximo 0,3 pol. Essas medições eram relativamente precisas porque não variavam muito em valor. No entanto, se os valores medidos tivessem sido 10,9, 11,1 e 11,9, as medições não seriam muito precisas, pois haveria uma variação significativa de uma medição para outra.

Figura\(\PageIndex{2}\): Muitas balanças mecânicas, como balanças de dois painéis, foram substituídas por balanças digitais, que normalmente podem medir a massa de um objeto com mais precisão. Enquanto uma balança mecânica só pode ler a massa de um objeto até o décimo de grama mais próximo, muitas balanças digitais podem medir a massa de um objeto até o milésimo de grama mais próximo. (crédito: Karel Jakubec)

As medidas no exemplo em papel são precisas e precisas, mas em alguns casos, as medições são precisas, mas não precisas, ou são precisas, mas não precisas. Vamos considerar um exemplo de um sistema GPS que está tentando localizar a posição de um restaurante em uma cidade. Pense na localização do restaurante como se estivesse no centro de um alvo alvo e pense em cada tentativa de GPS de localizar o restaurante como um ponto preto. Na Figura\(\PageIndex{3}\), você pode ver que as medições de GPS estão distantes umas das outras, mas todas estão relativamente próximas da localização real do restaurante no centro do alvo. Isso indica um sistema de medição de baixa precisão e alta precisão. No entanto, na Figura 4, as medições de GPS estão concentradas bem próximas umas das outras, mas estão distantes do local alvo. Isso indica um sistema de medição de alta precisão e baixa precisão.

Figura\(\PageIndex{3}\): Um sistema GPS tenta localizar um restaurante no centro do alvo. Os pontos pretos representam cada tentativa de identificar a localização do restaurante. Os pontos estão bem afastados um do outro, indicando baixa precisão, mas cada um deles está bem próximo da localização real do restaurante, indicando alta precisão. (crédito: Dark Evil)

Figura\(\PageIndex{4}\): Nesta figura, os pontos estão concentrados um pouco próximos um do outro, indicando alta precisão, mas estão um pouco distantes da localização real do restaurante, indicando baixa precisão. (crédito: Dark Evil)

Precisão, precisão e incerteza

O grau de exatidão e a precisão de um sistema de medição estão relacionados à incerteza nas medições. A incerteza é uma medida quantitativa de quanto seus valores medidos se desviam de um valor padrão ou esperado. Se suas medições não forem muito precisas ou precisas, a incerteza de seus valores será muito alta. Em termos mais gerais, a incerteza pode ser considerada uma isenção de responsabilidade para seus valores medidos. Por exemplo, se alguém solicitar que você forneça a quilometragem do seu carro, você pode dizer que é de 45.000 milhas, mais ou menos 500 milhas. O valor positivo ou negativo é a incerteza em seu valor. Ou seja, você está indicando que a quilometragem real do seu carro pode ser tão baixa quanto 44.500 milhas ou tão alta quanto 45.500 milhas, ou em qualquer lugar intermediário. Todas as medições contêm certa incerteza. Em nosso exemplo de medição do comprimento do papel, podemos dizer que o comprimento do papel é de 11 pol., mais ou menos 0,2 pol. A incerteza em uma medição, A, é frequentemente indicada como ΔA (“delta A”), então o resultado da medição seria registrado como A ± ΔA. Em nosso exemplo de papel, o comprimento do papel pode ser expresso como 11 pol.± 0,2.

Os fatores que contribuem para a incerteza em uma medição incluem:

1. Limitações do dispositivo de medição,
2. A habilidade da pessoa que faz a medição,
3. Irregularidades no objeto que está sendo medido,
4. Quaisquer outros fatores que afetem o resultado (altamente dependente da situação).

Em nosso exemplo, esses fatores que contribuem para a incerteza podem ser os seguintes: a menor divisão na régua é de 0,1 pol., a pessoa que usa a régua tem visão ruim ou um lado do papel é um pouco mais longo que o outro. De qualquer forma, a incerteza em uma medição deve ser baseada em uma consideração cuidadosa de todos os fatores que podem contribuir e seus possíveis efeitos.

FAZENDO CONEXÕES: CONEXÕES DO MUNDO REAL — FEBRES OU CALAFRIOS?

A incerteza é uma informação crítica, tanto na física quanto em muitas outras aplicações do mundo real. Imagine que você está cuidando de uma criança doente. Você suspeita que a criança está com febre, então verifique a temperatura dela com um termômetro. E se a incerteza do termômetro fosse de 3,0ºC? Se a leitura da temperatura da criança fosse de 37,0ºC (que é a temperatura corporal normal), a temperatura “verdadeira” poderia estar em qualquer lugar de 34,0ºC hipotérmica a 40,0ºC perigosamente alta. Um termômetro com incerteza de 3,0ºC seria inútil.

Incerteza percentual

Um método para expressar incerteza é como uma porcentagem do valor medido. Se uma medida A for expressa com incerteza\(δA\), a porcentagem de incerteza (% de incerteza) é definida como

\[\% \,\text{unc} =\dfrac {δA}{A} \times 100\%\]

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Calculating Percent Uncertainty: A Bag of Apples

Uma mercearia vende sacos de maçãs de 5 libras. Você compra quatro sacolas ao longo de um mês e pesa as maçãs de cada vez. Você obtém as seguintes medidas:

Peso da semana 1: 4,8 libras Peso da
semana 2: 5,3 libras Peso da
semana 3: 4,9 libras Peso da
semana 4: 5,4 libras

Você determina que o peso da bolsa de 5 libras tem uma incerteza de ± 0,4 libras. Qual é a porcentagem de incerteza do peso da bolsa?

Estratégia

Primeiro, observe que o valor esperado do peso da bolsa,\(A\), é 5 lb. A incerteza nesse valor,\(δA\), é 0,4 lb. Podemos usar a seguinte equação para determinar a porcentagem de incerteza do peso:

\(\text{% unc} =\frac{δA}{A}×100%\).

Solução

Insira os valores conhecidos na equação:

\(\text{% unc} =\frac{0.4 lb}{5 lb}×100%=8%\).

Discussão

Podemos concluir que o peso da bolsa de maçã é\(5lb±8%\). Considere como essa porcentagem de incerteza mudaria se o saco de maçãs fosse a metade do peso, mas a incerteza no peso permanecesse a mesma. Dica para cálculos futuros: ao calcular a porcentagem de incerteza, lembre-se sempre de que você deve multiplicar a fração por 100%. Se você não fizer isso, você terá uma quantidade decimal, não um valor percentual.

Incertezas nos cálculos

Há uma incerteza em qualquer coisa calculada a partir das quantidades medidas. Por exemplo, a área de um piso calculada a partir de medidas de seu comprimento e largura tem uma incerteza porque o comprimento e a largura têm incertezas. Qual é o tamanho da incerteza em algo que você calcula por multiplicação ou divisão? Se as medições que entram no cálculo tiverem pequenas incertezas (alguns por cento ou menos), o método de adição de porcentagens pode ser usado para multiplicação ou divisão. Esse método diz que a porcentagem de incerteza em uma quantidade calculada por multiplicação ou divisão é a soma das incertezas percentuais nos itens usados para fazer o cálculo. Por exemplo, se um piso tem um comprimento de 4,00 m e uma largura de 3,00 m, com incertezas de 2% e 1%, respectivamente, a área do piso é de 12,0 m2 e tem uma incerteza de 3%. (Expressa como uma área, é de 0,36 m2, para a qual arredondamos,\(0.4\,m^2\) pois a área do piso é dada a um décimo de um metro quadrado.)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Um treinador de atletismo do ensino médio acaba de comprar um novo cronômetro. O manual do cronômetro afirma que o cronômetro tem uma incerteza de ± 0,05s. Os corredores da equipe do treinador de pista marcam regularmente sprints de 100 m de 11,49 s a 15,01 s. No último encontro de pista da escola, o velocista em primeiro lugar chegou às 12,04 s e o velocista do segundo colocado entrou às 12,07 s. O novo cronômetro do treinador será útil para cronometrar a equipe de sprint? Por que ou por que não?

Responda

Não, a incerteza no cronômetro é muito grande para diferenciar efetivamente os tempos de sprint.

Precisão de ferramentas de medição e números significativos

Um fator importante na exatidão e precisão das medições envolve a precisão da ferramenta de medição. Em geral, uma ferramenta de medição precisa é aquela que pode medir valores em incrementos muito pequenos. Por exemplo, uma régua padrão pode medir o comprimento até o milímetro mais próximo, enquanto uma pinça pode medir o comprimento até o 0,01 milímetro mais próximo. A pinça é uma ferramenta de medição mais precisa porque pode medir diferenças extremamente pequenas no comprimento. Quanto mais precisa a ferramenta de medição, mais precisas e precisas as medições podem ser.

Quando expressamos valores medidos, só podemos listar quantos dígitos medimos inicialmente com nossa ferramenta de medição. Por exemplo, se você usar uma régua padrão para medir o comprimento de um bastão, poderá medi-lo em 36,7 cm. Você não poderia expressar esse valor como 36,71 cm porque sua ferramenta de medição não era precisa o suficiente para medir um centésimo de centímetro. Deve-se notar que o último dígito em um valor medido foi estimado de alguma forma pela pessoa que realiza a medição. Por exemplo, a pessoa que mede o comprimento de um bastão com uma régua percebe que o comprimento do bastão parece estar entre 36,6 cm e 36,7 cm, e deve estimar o valor do último dígito. Usando o método de números significativos, a regra é que o último dígito escrito em uma medição é o primeiro dígito com alguma incerteza. Para determinar o número de dígitos significativos em um valor, comece com o primeiro valor medido à esquerda e conte o número de dígitos até o último dígito escrito à direita. Por exemplo, o valor medido de 36,7 cm tem três dígitos ou números significativos. Números significativos indicam a precisão de uma ferramenta de medição usada para medir um valor.

Zeros

Consideração especial é dada aos zeros ao contar números significativos. Os zeros em 0,053 não são significativos, pois são apenas espaços reservados que localizam o ponto decimal. Existem dois números significativos em 0,053. Os zeros em 10.053 não são marcadores, mas são significativos — esse número tem cinco números significativos. Os zeros em 1300 podem ou não ser significativos, dependendo do estilo de escrever números. Eles podem significar que o número é conhecido até o último dígito ou podem ser marcadores. Portanto, 1300 pode ter dois, três ou quatro números significativos. (Para evitar essa ambigüidade, escreva 1300 em notação científica.) Os zeros são significativos, exceto quando servem apenas como marcadores.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Determine o número de números significativos nas seguintes medidas:

1. 0,0009
2. 15.450,0
3. × 10 3
4. 87.990
5. 30,42

Soluções

1. 1; os zeros nesse número são espaços reservados que indicam o ponto decimal
2. 6; aqui, os zeros indicam que uma medição foi feita com 0,1 ponto decimal, então os zeros são significativos
3. 1; o valor 3 significa a casa decimal, não o número de valores medidos
4. 5; o zero final indica que uma medição foi feita até o ponto decimal de 0,001, portanto, é significativa
5. 4; quaisquer zeros localizados entre números significativos em um número também são significativos

Números significativos nos cálculos

Ao combinar medições com diferentes graus de precisão e precisão, o número de dígitos significativos na resposta final não pode ser maior do que o número de dígitos significativos no valor medido com menor precisão. Existem duas regras diferentes, uma para multiplicação e divisão e outra para adição e subtração, conforme discutido abaixo.

1. Para multiplicação e divisão: O resultado deve ter o mesmo número de números significativos que a quantidade com os números menos significativos entrando no cálculo. Por exemplo, a área de um círculo pode ser calculada a partir de seu raio usando A=π R2. Vamos ver quantos números significativos a área tem se o raio tiver apenas dois — digamos, r = 1,2 m. Em seguida,

\[A=πr2=(3.1415927...)×(1.2m)^2=4.5238934\,m^2\]

é o que você obteria usando uma calculadora com saída de oito dígitos. Mas como o raio tem apenas dois números significativos, ele limita a quantidade calculada a dois números significativos ou

\[A=4.5\,m^2,\]

mesmo que\ (seja bom para pelo menos oito dígitos.

2. Para adição e subtração: a resposta não pode conter mais casas decimais do que a medição menos precisa. Suponha que você compre 7,56 kg de batatas em um supermercado, conforme medido com uma balança com precisão de 0,01 kg. Em seguida, você deixa 6,052 kg de batatas em seu laboratório, medido por uma balança com precisão de 0,001 kg. Finalmente, você vai para casa e adiciona 13,7 kg de batatas, conforme medido por uma balança de banheiro com precisão de 0,1 kg. Quantos quilos de batatas você tem agora e quantos números significativos são apropriados na resposta? A massa é encontrada por simples adição e subtração:

kg − 6,052\, kg + 13,7\, kg\, 15. 208\, kg = 15,2\, kg.\]

A seguir, identificamos a medição menos precisa: 13,7 kg. Essa medida é expressa com 0,1 casa decimal, então nossa resposta final também deve ser expressa com 0,1 casa decimal. Assim, a resposta é arredondada para a décima posição, nos dando 15,2 kg.

Figuras significativas neste texto

Neste texto, presume-se que a maioria dos números tenha três números significativos. Além disso, números consistentes de números significativos são usados em todos os exemplos trabalhados. Você notará que uma resposta dada a três dígitos é baseada na entrada de pelo menos três dígitos, por exemplo. Se a entrada tiver menos números significativos, a resposta também terá números menos significativos. Também é tomado cuidado para que o número de números significativos seja razoável para a situação apresentada. Em alguns tópicos, particularmente em óptica, números mais precisos são necessários e mais de três figuras significativas serão usadas. Finalmente, se um número for exato, como os dois na fórmula para a circunferência de um círculo,\(=2πr,\) isso não afeta o número de números significativos em um cálculo.

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Faça os cálculos a seguir e expresse sua resposta usando o número correto de dígitos significativos.

1. Uma mulher tem duas sacolas pesando 13,5 libras e uma bolsa com peso de 10,2 libras. Qual é o peso total das malas?
2. A força\(F\) em um objeto é igual à sua massa m multiplicada por sua aceleração\(a\). Se um vagão com massa de 55 kg acelera a uma taxa de\(0.0255 m/s^2\), qual é a força no vagão? (A unidade de força é chamada de newton e é expressa com o símbolo N.)

Responda

(a) 37,2 libras; Como o número de sacolas é um valor exato, ele não é considerado nos números significativos.

(b) 1,4 N; Como o valor 55 kg tem apenas dois números significativos, o valor final também deve conter dois números significativos.

EXPLORAÇÕES PHET: ESTIMATIVA

Explore a estimativa de tamanho em uma, duas e três dimensões! Vários níveis de dificuldade permitem o aprimoramento progressivo das habilidades.

Figura\(\PageIndex{5}\): Estimativa

Resumo

• A precisão de um valor medido se refere à proximidade de uma medição do valor correto. A incerteza em uma medição é uma estimativa da quantidade pela qual o resultado da medição pode diferir desse valor.
• A precisão dos valores medidos se refere à proximidade da concordância entre medições repetidas.
• A precisão de uma ferramenta de medição está relacionada ao tamanho de seus incrementos de medição. Quanto menor o incremento da medição, mais precisa é a ferramenta.
• Números significativos expressam a precisão de uma ferramenta de medição.
• Ao multiplicar ou dividir os valores medidos, a resposta final pode conter apenas tantos números significativos quanto o valor menos preciso.
• Ao adicionar ou subtrair valores medidos, a resposta final não pode conter mais casas decimais do que o valor menos preciso.

Glossário

precisão

o grau em que um valor medido concorda com o valor correto dessa medição

método de adição de porcentagens

a porcentagem de incerteza em uma quantidade calculada por multiplicação ou divisão é a soma das incertezas percentuais nos itens usados para fazer o cálculo

porcentagem de incerteza

a razão entre a incerteza de uma medição e o valor medido, expressa como uma porcentagem

precisão

o grau em que as medições repetidas concordam entre si

números significativos

expresse a precisão de uma ferramenta de medição usada para medir um valor

incerteza

uma medida quantitativa de quanto seus valores medidos se desviam de um valor padrão ou esperado

Contribuidores e atribuições

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