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7.2E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Determine os valores para os quais uma expressão racional é indefinida

    Nos exercícios a seguir, determine os valores para os quais a expressão racional é indefinida.

    1. a.\(\dfrac{2x^2}{z}\) b.\(\dfrac{4p−1}{6p−5}\) c.\(\dfrac{n−3}{n^2+2n−8}\)

    Resposta

    a.\(z=0\)
    b.\(p=\dfrac{5}{6}\)
    c.\(n=−4, n=2\)

    2. a.\(\dfrac{10m}{11n}\) b.\(\dfrac{6y+13}{4y−9}\) c.\(\dfrac{b−8}{b^2−36}\)

    3. a.\(\dfrac{4x^2y}{3y}\) b.\(\dfrac{3x−2}{2x+1}\) c.\(\dfrac{u−1}{u^2−3u−28}\)

    Resposta

    a.\(y=0\)
    b.\(x=−\dfrac{1}{2}\)
    c.\(u=−4, u=7\)

    4. a.\(\dfrac{5pq^2}{9q}\) b.\(\dfrac{7a−4}{3a+5}\) c.\(\dfrac{1}{x^2−4}\)

    Simplifique expressões racionais

    Nos exercícios a seguir, simplifique cada expressão racional.

    5. \(−\dfrac{44}{55}\)

    Resposta

    \(−\dfrac{4}{5}\)

    6. \(\dfrac{56}{63}\)

    7. \(\dfrac{8m^3n}{12mn^2}\)

    Resposta

    \(\dfrac{2m^2}{3n}\)

    8. \(\dfrac{36v^3w^2}{27vw^3}\)

    9. \(\dfrac{8n−96}{3n−36}\)

    Resposta

    \(\dfrac{8}{3}\)

    10. \(\dfrac{12p−240}{5p−100}\)

    11. \(\dfrac{x^2+4x−5}{x^2−2x+1}\)

    Resposta

    \(\dfrac{x+5}{x−1}\)

    12. \(\dfrac{y^2+3y−4}{y^2−6y+5}\)

    13. \(\dfrac{a^2−4}{a^2+6a−16}\)

    Resposta

    \(\dfrac{a+2}{a+8}\)

    14. \(\dfrac{y^2−2y−3}{y^2−9}\)

    15. \(\dfrac{p^3+3p^2+4p+12}{p^2+p−6}\)

    Resposta

    \(\dfrac{p^2+4}{p−2}\)

    16. \(\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

    17. \(\dfrac{8b^2−32b}{2b^2−6b−80}\)

    Resposta

    \(\dfrac{4b(b−4)}{(b+5)(b−8)}\)

    18. \(\dfrac{−5c^2−10c}{−10c^2+30c+100}\)

    19. \(\dfrac{3m^2+30mn+75n^2}{4m^2−100n^2}\)

    Resposta

    \(\dfrac{3(m+5n)}{4(m−5n)}\)

    20. \(\dfrac{5r^2+30rs−35s^2}{r^2−49s^2}\)

    21. \(\dfrac{a−5}{5−a}\)

    Resposta

    \(−1\)

    22. \(\dfrac{5−d}{d−5}\)

    23. \(\dfrac{20−5y}{y^2−16}\)

    Resposta

    \(\dfrac{−5}{y+4}\)

    24. \(\dfrac{4v−32}{64−v^2}\)

    25. \(\dfrac{w^3+21}{6w^2−36}\)

    Resposta

    \(\dfrac{w^2−6w+3}{6w−6}\)

    26. \(\dfrac{v^3+125}{v^2−25}\)

    27. \(\dfrac{z^2−9z+20}{16−z^2}\)

    Resposta

    \(\dfrac{−z−5}{4+z}\)

    28. \(\dfrac{a^2−5z−36}{81−a^2}\)

    Multiplique expressões racionais

    Nos exercícios a seguir, multiplique as expressões racionais.

    29. \(\dfrac{12}{16}·\dfrac{4}{10}\)

    Resposta

    \(\dfrac{3}{10}\)

    30. \(\dfrac{3}{25}·\dfrac{16}{24}\)

    31. \(\dfrac{5x^2y^4}{12xy^3}·\dfrac{6x^2}{20y^2}\)

    Resposta

    \(\dfrac{x^3}{8y}\)

    32. \(\dfrac{12a^3b}{b^2}·\dfrac{2ab^2}{9b^3}\)

    33. \(\dfrac{5p^2}{p^2−5p−36}·\dfrac{p^2−16}{10p}\)

    Resposta

    \(\dfrac{p(p−4)}{2(p−9)}\)

    34. \(\dfrac{3q^2}{q^2+q−6}·\dfrac{q^2−9}{9q}\)

    35. \(\dfrac{2y^2−10y}{y^2+10y+25}·\dfrac{y+5}{6y}\)

    Resposta

    \(\dfrac{y−5}{3(y+5)}\)

    36. \(\dfrac{z^2+3z}{z^2−3z−4}·\dfrac{z−4}{z^2}\)

    37. \(\dfrac{28−4b}{3b−3}·\dfrac{b^2+8b−9}{b^2−49}\)

    Resposta

    \(\dfrac{−4(b+9)}{3(b+7)}\)

    38. \(\dfrac{72m−12m^2}{8m+32}·\dfrac{m^2+10m+24}{m^2−36}\)

    39. \(\dfrac{c^2-10c+25}{c^2−25}·\dfrac{c^2+10c+25}{3c^2−14c−5}\)

    Resposta

    \(\dfrac{c+5}{3c+1}\)

    40. \(\dfrac{2d^2+d−3}{d^2−16}·\dfrac{d^2−8d+16}{2d^2−9d−18}\)

    41. \(\dfrac{2m^2−3m−2}{2m2+7m+3}·\dfrac{3m^2−14m+15}{3m^2+17m−20}\)

    Resposta

    \(\dfrac{(m−3)(m−2)}{(m+4)(m+3)}\)

    42. \(\dfrac{2n^2−3n−14}{25−n^2}·\dfrac{n^2−10n+25}{2n^2−13n+21}\)

    Divida expressões racionais

    Nos exercícios a seguir, divida as expressões racionais.

    43. \(\dfrac{v−5}{11−v}÷\dfrac{v^2−25}{v−11}\)

    Resposta

    \(−\dfrac{1}{v+5}\)

    44. \(\dfrac{10+w}{w−8}÷\dfrac{100−w^2}{8−w}\)

    45. \(\dfrac{3s^2}{s^2−16}÷\dfrac{s^3−4s^2+16s}{s^3−64}\)

    Resposta

    \(\dfrac{3s}{s+4}\)

    46. \(\dfrac{r^2−9}{15}÷\dfrac{r^3−27}{5r^2+15r+45}\)

    47. \(\dfrac{p^3+q^3}{3p^2+3pq+3q^2}÷\dfrac{p^2−q^2}{12}\)

    Resposta

    \(\dfrac{4(p^2−pq+q^2)}{(p−q)(p^2+pq+q^2)}\)

    48. \(\dfrac{v^3−8w^3}{2v^2+4vw+8w^2}÷\dfrac{v^2−4w^2}{4}\)

    49. \(\dfrac{x^2+3x−10}{4x}÷(2x^2+20x+50)\)

    Resposta

    \(\dfrac{x−2}{8x(x+5)}\)

    50. \(\dfrac{2y^2−10yz−48z^2}{2y−1}÷(4y^2−32yz)\)

    51. \(\dfrac{\dfrac{2a^2−a−21}{5a+20}}{\dfrac{a^2+7a+12}{a^2+8a+16}}\)

    Resposta

    \(\dfrac{2a−7}{5}\)

    52. \(\dfrac{\dfrac{3b^2+2b−8}{12b+18}}{\dfrac{3b^2+2b−8}{2b^2−7b−15}}\)

    53. \(\dfrac{\dfrac{12c^2−12}{2c^2−3c+1}}{\dfrac{4c+4}{6c^2−13c+5}}\)

    Resposta

    \(3(3c−5)\)

    54. \(\dfrac{\dfrac{4d^2+7d−2}{35d+10}}{\dfrac{d^2−4}{7d^2−12d−4}}\)

    Para os exercícios a seguir, execute as operações indicadas.

    55. \(\dfrac{10m^2+80m}{3m−9}·\dfrac{m^2+4m−21}{m^2−9m+20}÷\dfrac{5m^2+10m}{2m−10}\)

    Resposta

    \(\dfrac{4(m+8)(m+7)}{3(m−4)(m+2)}\)

    56. \(\dfrac{4n^2+32n}{3n+2}·\dfrac{3n^2−n−2}{n^2+n−30}÷\dfrac{108n^2−24n}{n+6}\)

    57. \(\dfrac{12p^2+3p}{p+3}÷\dfrac{p^2+2p−63}{p^2−p−12}·\dfrac{p−7}{9p^3−9p^2}\)

    Resposta

    \(\dfrac{(4p+1)(p−4)}{3p(p+9)(p−1)}\)

    58. \(\dfrac{6q+3}{9q^2−9q}÷\dfrac{q^2+14q+33}{q^2+4q−5}·\dfrac{4q^2+12q}{12q+6}\)

    Multiplique e divida funções racionais

    Nos exercícios a seguir, encontre o domínio de cada função.

    59. \(R(x)=\dfrac{x^3−2x^2−25x+50}{x^2−25}\)

    Resposta

    \(x\neq 5\)e\(x\neq −5\)

    60. \(R(x)=\dfrac{x^3+3x^2−4x−12}{x^2−4}\)

    61. \(R(x)=\dfrac{3x^2+15x}{6x^2+6x−36}\)

    Resposta

    \(x\neq 2\)e\(x\neq −3\)

    62. \(R(x)=\dfrac{8x^2−32x}{2x^2−6x−80}\)

    Para os exercícios a seguir, descubra\(R(x)=f(x)·g(x)\) onde\(f(x)\) e\(g(x)\) são fornecidos.

    63. \(f(x)=\dfrac{6x^2−12x}{x^2+7x−18} \quad g(x)=\dfrac{x^2−81}{3x^2−27x}\)

    Resposta

    \(R(x)=2\)

    64. \(f(x)=\dfrac{x^2−2x}{x^2+6x−16} \quad g(x)=\dfrac{x^2−64}{x^2−8x}\)

    65. \(f(x)=\dfrac{4x}{x^2−3x−10} \quad g(x)=\dfrac{x^2−25}{8x^2}\)

    Resposta

    \(R(x)=\dfrac{x+5}{2x(x+2)}\)

    66. \(f(x)=\dfrac{2x^2+8x}{x^2−9x+20} \quad g(x)=\dfrac{x−5}{x^2}\)

    Para os exercícios a seguir, descubra\(R(x)=f(x)g(x)\) onde\(f(x)\) e\(g(x)\) são fornecidos.

    67. \(f(x)=\dfrac{27x^2}{3x−21} \quad g(x)=\dfrac{3x^2+18x}{x^2+13x+42}\)

    Resposta

    \(R(x)=\dfrac{3x(x+7)}{x−7}\)

    68. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−8} \quad g(x)=\dfrac{4x^3+28x^2}{x^2+11x+28}\)

    69. \(f(x)=\dfrac{16x^2}{4x+36} \quad g(x)=\dfrac{4x^2−24x}{x^2+4x−45}\)

    Resposta

    \(R(x)=\dfrac{x(x−5)}{x−6}\)

    70. \(f(x)=\dfrac{24x^2}{2x−4} \quad g(x)=\dfrac{12x^2+36x}{x^2−11x+18}\)

    exercícios de escrita

    71. Explique como você encontra os valores de x para os quais a expressão racional\(\dfrac{x^2−x−20}{x^2−4}\) é indefinida.

    Resposta

    As respostas podem variar.

    72. Explique todas as etapas que você toma para simplificar a expressão racional\(\dfrac{p^2+4p−21}{9−p^2}\).

    73. a. Multiplique\(\dfrac{7}{4}·\dfrac{9}{10}\) e explique todos os seus passos.
    b. Multiplique\(\dfrac{n}{n−3}·\dfrac{9}{n+3}\) e explique todos os seus passos.
    c. Avalie sua resposta à parte b. quando\(n=7\). Você recebeu a mesma resposta que obteve na parte a.? Por que ou por que não?

    Resposta

    As respostas podem variar.

    74. a. Divida\(\dfrac{24}{5}÷6\) e explique todos os seus passos.
    b. Divida\(\dfrac{x^2−1}{x}÷(x+1)\) e explique todos os seus passos.
    c. Avalie sua resposta à parte b. quando\(x=5\). Você recebeu a mesma resposta que obteve na parte a.? Por que ou por que não?

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção.

    Essa tabela tem quatro colunas e seis linhas. A primeira linha é um cabeçalho e rotula cada coluna como “Eu posso...”, “Com confiança”, “Com alguma ajuda” e “Não, eu não entendo!” Na linha 2, o I can foi determinar os valores para os quais uma expressão racional é indefinida. Na linha 3, o I can foi simplificar as expressões racionais. Na linha 4, o I can era multiplicar expressões racionais. Na linha 5, o que eu posso era dividir expressões racionais. Na linha 6, o I can era multiplicar e dividir funções racionais. Não há nada nas outras colunas.

    b. Se a maioria dos seus cheques fosse:

    ... com confiança. Parabéns! Você alcançou seus objetivos nesta seção! Reflita sobre as habilidades de estudo que você usou para continuar a usá-las. O que você fez para ter certeza de sua capacidade de fazer essas coisas? Seja específico!

    ... com alguma ajuda. Isso deve ser abordado rapidamente, pois tópicos que você não domina se tornam buracos em seu caminho para o sucesso. A matemática é sequencial - cada tópico se baseia em trabalhos anteriores. É importante ter certeza de que você tem uma base sólida antes de seguir em frente. A quem você pode pedir ajuda? Seus colegas e instrutores são bons recursos. Há algum lugar no campus onde os professores de matemática estejam disponíveis? Suas habilidades de estudo podem ser aprimoradas?

    ... não - eu não entendo! Isso é fundamental e você não deve ignorá-lo. Você precisa obter ajuda imediatamente ou ficará sobrecarregado rapidamente. Consulte seu instrutor o mais rápido possível para discutir sua situação. Juntos, vocês podem elaborar um plano para obter a ajuda de que precisam.