Capítulo 6 Exercícios de revisão

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Exercícios de revisão de

Maior fator comum e fator por agrupamento

Encontre o maior fator comum de duas ou mais expressões

Nos exercícios a seguir, encontre o maior fator comum.

\(12a^2b^3,\space 15ab^2\)

Responda: \(3ab^2\)

\(12m^2n^3,42m^5n^3\)

\(15y^3,\space 21y^2,\space 30y\)

Responda: \(3y\)

\(45x^3y^2,\space 15x^4y,\space 10x^5y^3\)

Fator o maior fator comum de um polinômio

Nos exercícios a seguir, fatore o maior fator comum de cada polinômio.

\(35y+84\)

Responda: \(7(5y+12)\)

\(6y^2+12y−6\)

\(18x^3−15x\)

Responda: \(3x(6x^2−5)\)

\(15m^4+6m^2n\)

\(4x^3−12x^2+16x\)

Responda: \(4x(x^2−3x+4)\)

\(−3x+24\)

\(−3x^3+27x^2−12x\)

Responda: \(−3x(x^2−9x+4)\)

\(3x(x−1)+5(x−1)\)

Fator por agrupamento

Nos exercícios a seguir, fatore por agrupamento.

\(ax−ay+bx−by\)

Responda: \((a+b)(x−y)\)

\(x^2y−xy^2+2x−2y\)

\(x^2+7x−3x−21\)

Responda: \((x−3)(x+7)\)

\(4x^2−16x+3x−12\)

\(m^3+m^2+m+1\)

Responda: \((m^2+1)(m+1)\)

\(5x−5y−y+x\)

Trinômios fatoriais

Trinômios fatoriais da forma\(x^2+bx+c\)

Nos exercícios a seguir, considere cada trinômio da forma\(x^2+bx+c\).

\(a^2+14a+33\)

Responda: \((a+3)(a+11)\)

\(k^2−16k+60\)

\(m^2+3m−54\)

Responda: \((m+9)(m−6)\)

\(x^2−3x−10\)

Nos exemplos a seguir, considere cada trinômio da forma\(x^2+bxy+cy^2\).

\(x^2+12xy+35y^2\)

Responda: \((x+5y)(x+7y)\)

\(r^2+3rs−28s^2\)

\(a^2+4ab−21b^2\)

Responda: \((a+7b)(a−3b)\)

\(p^2−5pq−36q^2\)

\(m^2−5mn+30n^2\)

Responda: Prime

Trinômios de fatores da forma ax2+bx+cax2+bx+c usando tentativa e erro

Nos exercícios a seguir, considere completamente usando tentativa e erro.

\(x^3+5x^2−24x\)

\(3y^3−21y^2+30y\)

Responda: \(3y(y−5)(y−2)\)

\(5x^4+10x^3−75x^2\)

\(5y^2+14y+9\)

Resposta: \((5y+9)(y+1)\)

\(8x^2+25x+3\)

\(10y^2−53y−11\)

Resposta: \((5y+1)(2y−11)\)

\(6p^2−19pq+10q^2\)

\(−81a^2+153a+18\)

Resposta: \(−9(9a−1)(a+2)\)

Trinômios fatoriais da forma ax2+bx+cax2+bx+c usando o método 'ac'

Nos exercícios a seguir, considere.

\(2x^2+9x+4\)

\(18a^2−9a+1\)

Resposta: \((3a−1)(6a−1)\)

\(15p^2+2p−8\)

\(15x^2+6x−2\)

Resposta: \((3x−1)(5x+2)\)

\(8a^2+32a+24\)

\(3x^2+3x−36\)

Resposta: \(3(x+4)(x−3)\)

\(48y^2+12y−36\)

\(18a^2−57a−21\)

Resposta: \(3(2a−7)(3a+1)\)

\(3n^4−12n^3−96n^2\)

Fator usando substituição

Nos exercícios a seguir, fatore usando a substituição.

\(x^4−13x^2−30\)

Resposta: \((x^2−15)(x^2+2)\)

\((x−3)^2−5(x−3)−36\)

Produtos especiais da Factor

Trinômios Quadrados do Fator Perfect

Nos exercícios a seguir, fatore completamente usando o padrão de trinômios quadrados perfeito.

\(25x^2+30x+9\)

Resposta: \((5x+3)^2\)

\(36a^2−84ab+49b^2\)

\(40x^2+360x+810\)

Resposta: \(10(2x+9)^2\)

\(5k^3−70k^2+245k\)

\(75u^4−30u^3v+3u^2v^2\)

Resposta: \(3u^2(5u−v)^2\)

Diferenças fatoriais dos quadrados

Nos exercícios a seguir, fatore completamente usando o padrão de diferença de quadrados, se possível.

\(81r^2−25\)

\(169m^2−n^2\)

Resposta: \((13m+n)(13m−n)\)

\(25p^2−1\)

\(9−121y^2\)

Resposta: \((3+11y)(3−11y)\)

\(20x^2−125\)

\(169n^3−n\)

Resposta: \(n(13n+1)(13n−1)\)

\(6p^2q^2−54p^2\)

\(24p^2+54\)

Resposta: \(6(4p^2+9)\)

\(49x^2−81y^2\)

\(16z^4−1\)

Resposta: \((2z−1)(2z+1)(4z^2+1)\)

\(48m^4n^2−243n^2\)

\(a^2+6a+9−9b^2\)

Resposta: \((a+3−3b)(a+3+3b)\)

\(x^2−16x+64−y^2\)

Somas de fatores e diferenças de cubos

Nos exercícios a seguir, fatore completamente usando as somas e diferenças do padrão de cubos, se possível.

\(a^3−125\)

Resposta: \((a−5)(a^2+5a+25)\)

\(b^3−216\)

\(2m^3+54\)

Resposta: \(2(m+3)(m^2−3m+9)\)

\(81m^3+3\)

Estratégia geral para fatorar polinômios

Reconhecer e usar o método apropriado para fatorar completamente um polinômio

Nos exercícios a seguir, considere completamente.

\(24x^3+44x^2\)

Resposta: \(4x^2(6x+11)\)

\(24a^4−9a^3\)

\(16n^2−56mn+49m^2\)

Resposta: \((4n−7m)^2\)

\(6a^2−25a−9\)

\(5u^4−45u^2\)

Resposta: \(5u^2(u+3)(u−3)\)

\(n^4−81\)

\(64j^2+225\)

Resposta: primo

\(5x^2+5x−60\)

\(b^3−64\)

Resposta: \((b−4)(b^2+4b+16)\)

\(m^3+125\)

\(2b^2−2bc+5cb−5c^2\)

Resposta: \((2b+5c)(b−c)\)

\(48x^5y^2−243xy^2\)

\(5q^2−15q−90\)

Resposta: \(5(q+3)(q−6) \)

\(4u^5v+4u^2v^3\)

\(10m^4−6250\)

Resposta: \(10(m−5)(m+5)(m^2+25)\)

\(60x^2y−75xy+30y\)

\(16x^2−24xy+9y^2−64\)

Resposta: \((4x−3y+8)(4x−3y−8)\)

Equações polinomiais

Use a propriedade Zero Product

Nos exercícios a seguir, resolva.

\((a−3)(a+7)=0\)

\((5b+1)(6b+1)=0\)

Resposta: \(b=−\frac{1}{5},\space b=−\frac{1}{6}\)

\(6m(12m−5)=0\)

\((2x−1)^2=0\)

Resposta: \(x=\frac{1}{2}\)

\(3m(2m−5)(m+6)=0\)

Resolva equações quadráticas por fatoração

Nos exercícios a seguir, resolva.

\(x^2+9x+20=0\)

Resposta: \(x=−4,\space x=−5\)

\(y^2−y−72=0\)

\(2p^2−11p=40\)

Resposta: \(p=−\frac{5}{2},p=8\)

\(q^3+3q^2+2q=0\)

\(144m^2−25=0\)

Resposta: \(m=\frac{5}{12},\space m=−\frac{5}{12}\)

\(4n^2=36\)

\((x+6)(x−3)=−8\)

Resposta: \(x=2,\space x=−5\)

\((3x−2)(x+4)=12\)

\(16p^3=24p^2+9p\)

Resposta: \(p=0,\space p=\frac{3}{4}\)

\(2y^3+2y^2=12y\)

Resolva equações com funções polinomiais

Nos exercícios a seguir, resolva.

Para a função,\(f(x)=x^2+11x+20\), ⓐ find when\(f(x)=−8\) ⓑ Use essas informações para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Resposta: ⓐ\(x=−7\) ou\\(x=−4\)
ⓑ\((−7,−8)\)\((−4,−8)\)

Para a função,\(f(x)=9x^2−18x+5\), ⓐ find when\(f(x)=−3\) ⓑ Use essas informações para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Em cada função, encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ os interceptos x do gráfico da função ⓒ o intercepto y do gráfico da função.

\(f(x)=64x^2−49\)

\(f(x)=6x^2−13x−5\)

Resolva aplicações modeladas por equações quadráticas

Nos exercícios a seguir, resolva.

O produto de dois números consecutivos é 399. Encontre os números.

Resposta: Os números são\(−21\) e\(−19\) ou 19 e 21.

A área de um pátio de formato retangular é de 432 pés quadrados. O comprimento do pátio é 6 pés a mais do que sua largura. Encontre o comprimento e a largura.

Uma escada se inclina contra a parede de um prédio. O comprimento da escada é 9 pés maior do que a distância entre a parte inferior da escada e o prédio. A distância do topo da escada até a lateral do prédio é 7 pés maior do que a distância da parte inferior da escada do prédio. Encontre os comprimentos dos três lados do triângulo formado pela escada encostada no prédio.

Resposta: Os comprimentos são 8, 15 e 17 pés.

Shruti vai jogar uma bola do topo de um penhasco. Quando ela joga a bola a 80 pés acima do solo, a função\(h(t)=−16t^2+64t+80\) modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontre: ⓐ os zeros desta função que nos diz quando a bola atingirá o chão. ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará a 80 pés acima do solo. ⓒ a altura em que a bola estará em\(t=2\) segundos, quando a bola estará em seu ponto mais alto.

Teste prático do capítulo

Nos exercícios a seguir, considere completamente.

\(80a^2+120a^3\)

Resposta: \(40a^2(2+3a)\)

\(5m(m−1)+3(m−1)\)

\(x^2+13x+36\)

Resposta: \((x+7)(x+6)\)

\(p^2+pq−12q^2\)

\(xy−8y+7x−56\)

Resposta: \((x−8)(y+7)\)

\(40r^2+810\)

\(9s^2−12s+4\)

Resposta: \((3s−2)^2\)

\(6x^2−11x−10\)

\(3x^2−75y^2\)

Resposta: \(3(x+5y)(x−5y)\)

\(6u^2+3u−18\)

\(x^3+125\)

Resposta: \((x+5)(x^2−5x+25)\)

\(32x^5y^2−162xy^2\)

\(6x^4−19x^2+15\)

Resposta: \((3x^2−5)(2x^2−3)\)

\(3x^3−36x^2+108x\)

Nos exercícios a seguir, resolva

\(5a^2+26a=24\)

Resposta: \(a=\frac{4}{5},\space a=−6\)

O produto de dois números inteiros consecutivos é 156. Encontre os números inteiros.

A área de um tapete retangular é de 168 polegadas quadradas. Seu comprimento é duas polegadas maior que a largura. Encontre o comprimento e a largura do jogo americano.

Resposta: A largura é de 12 polegadas e o comprimento é de 14 polegadas.

Jing vai jogar uma bola da varanda de seu condomínio. Quando ela joga a bola a 80 pés acima do solo, a função\(h(t)=−16t^2+64t+80\) modela a altura, h, da bola acima do solo em função do tempo, t. Encontre: ⓐ os zeros desta função que nos diz quando a bola atingirá o chão. ⓑ o (s) tempo (s) em que a bola estará 128 pés acima do solo. ⓒ a altura da bola em\(t=4\) segundos.

Para a função,\(f(x)=x^2−7x+5\), ⓐ find when\(f(x)=−7\) ⓑ Use essas informações para encontrar dois pontos que estão no gráfico da função.

Resposta: ⓐ\(x=3\) ou\(x=4\) ⓑ\((3,−7)\)\((4,−7)\)

Para a função\(f(x)=25x^2−81\), encontre: ⓐ os zeros da função ⓑ os interceptos x do gráfico da função ⓒ o intercepto y do gráfico da função.

Glossário

grau da equação polinomial: O grau da equação polinomial é o grau do polinômio.

equação polinomial: Uma equação polinomial é uma equação que contém uma expressão polinomial.

equação quadrática: As equações polinomiais de grau dois são chamadas de equações quadráticas.

zero da função: Um valor de xx, em que a função é 0, é chamado de zero da função.

Propriedade de produto zero: A Propriedade do Produto Zero diz que, se o produto de duas quantidades for zero, pelo menos uma das quantidades será zero.