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5.5E: Exercícios

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    A prática leva à perfeição

    Divida monômios

    Nos exercícios a seguir, divida os monômios.

    1. \(15r^4s^9÷(15r^4s^9)\)

    2. \(20m^8n^4÷(30m^5n^9)\)

    Resposta

    \(\dfrac{2m^3}{3n^5}\)

    3. \(\dfrac{18a^4b^8}{−27a^9b^5}\)

    4. \(\dfrac{45x^5y^9}{−60x^8y^6}\)

    Resposta

    \(\dfrac{−3y^3}{4x^3}\)

    5. \(\dfrac{(10m^5n^4)(5m^3n^6)}{25m^7n^5}\)

    6. \(\dfrac{(−18p^4q^7)(−6p^3q^8)}{−36p^{12}q^{10}}\)

    Resposta

    \(\dfrac{−3q^5}{p^5}\)

    7. \(\dfrac{(6a^4b^3)(4ab^5)}{(12a^2b)(a^3b)}\)

    8. \(\dfrac{(4u^2v^5)(15u^3v)}{(12u^3v)(u^4v)}\)

    Resposta

    \(\dfrac{5v^4}{u^2}\)

    Divida um polinômio por um monômio

    Nos exercícios a seguir, divida cada polinômio pelo monômio.

    9. \((9n^4+6n^3)÷3n\)

    10. \((8x^3+6x^2)÷2x\)

    Resposta

    \(4x^2+3x\)

    11. \((63m^4−42m^3)÷(−7m^2)\)

    12. \((48y^4−24y^3)÷(−8y^2)\)

    Resposta

    \(−6y^2+3y\)

    13. \(\dfrac{66x^3y^2−110x^2y^3−44x^4y^3}{11x^2y^2}\)

    14. \(\dfrac{72r^5s^2+132r^4s^3−96r^3s^5}{12r^2s^2}\)

    Resposta

    \(6r^3+11r^2s−8rs^3\)

    15. \(10x^2+5x−4−5x\)

    16. \(20y^2+12y−1−4y\)

    Resposta

    \(−5y−3+\dfrac{1}{4y}\)

    Divida polinômios usando divisão longa

    Nos exercícios a seguir, divida cada polinômio pelo binômio.

    17. \((y^2+7y+12)÷(y+3)\)

    18. \((a^2−2a−35)÷(a+5)\)

    Resposta

    \(a−7\)

    19. \((6m^2−19m−20)÷(m−4)\)

    20. \((4x^2−17x−15)÷(x−5)\)

    Resposta

    \(4x+3\)

    21. \((q^2+2q+20)÷(q+6)\)

    22. \((p^2+11p+16)÷(p+8)\)

    Resposta

    \(p+3−\dfrac{8}{p+8}\)

    23. \((3b^3+b^2+4)÷(b+1)\)

    24. \((2n^3−10n+28)÷(n+3)\)

    Resposta

    \(\dfrac{2n^2−6n+8+4}{n+3}\)

    25. \((z^3+1)÷(z+1)\)

    26. \((m^3+1000)÷(m+10)\)

    Resposta

    \(m^2−10m+100\)

    27. \((64x^3−27)÷(4x−3)\)

    28. \((125y^3−64)÷(5y−4)\)

    Resposta

    \(25y^2+20x+16\)

    Divida polinômios usando divisão sintética

    Nos exercícios a seguir, use Divisão sintética para encontrar o quociente e o restante.

    29. \(x^3−6x^2+5x+14\)é dividido por\(x+1\)

    30. \(x^3−3x^2−4x+12\)é dividido por\(x+2\)

    Resposta

    \(x^2−5x+6; \space 0\)

    31. \(2x^3−11x^2+11x+12\)é dividido por\(x−3\)

    32. \(2x^3−11x^2+16x−12\)é dividido por\(x−4\)

    Resposta

    \(2x^2−3x+4; \space 4\)

    33. \(x^4-5x^2+2+13x+3\)é dividido por\(x+3\)

    34. \(x^4+x^2+6x−10\)é dividido por\(x+2\)

    Resposta

    \(x^3−2x^2+5x−4; \space −2\)

    35. \(2x^4−9x^3+5x^2−3x−6\)é dividido por\(x−4\)

    36. \(3x^4−11x^3+2x^2+10x+6\)é dividido por\(x−3\)

    Resposta

    \(3x^3−2x^2−4x−2;\space 0\)

    Divida funções polinomiais

    Nos exercícios a seguir, divida.

    37. Para funções\(f(x)=x^2−13x+36\) e\(g(x)=x−4\), encontre ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−1)\)

    38. Para funções\(f(x)=x^2−15x+54\) e\(g(x)=x−9\), encontre ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)\)

    Resposta

    ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x−6\)
    ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(−5)=−11\)

    39. Para funções\(f(x)=x^3+x^2−7x+2\) e\(g(x)=x−2\), encontre ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(2)\)

    40. Para funções\(f(x)=x^3+2x^2−19x+12\) e\(g(x)=x−3\), encontre ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)\) ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)\)

    Resposta

    ⓐ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(x)=x^2+5x−4\)
    ⓑ\(\left(\dfrac{f}{g}\right)(0)=−4\)

    41. Para funções\(f(x)=x^2−5x+2\) e\(g(x)=x^2−3x−1\), encontre ⓐ\((f·g)(x)\) ⓑ\((f·g)(−1)\)

    42. Para funções\(f(x)=x^2+4x−3\) e\(g(x)=x^2+2x+4\), encontre ⓐ\((f·g)(x)\) ⓑ\((f·g)(1)\)

    Resposta

    ⓐ\((f·g)(x)=x^4+6x^3+9x^2+10x−12\); ⓑ\((f·g)(1)=14\)

    Use o Teorema do Resto e do Fator

    Nos exercícios a seguir, use o Teorema do Restante para encontrar o restante.

    43. \(f(x)=x^3−8x+7\)é dividido por\(x+3\)

    44. \(f(x)=x^3−4x−9\)é dividido por\(x+2\)

    Resposta

    \(−9\)

    45. \(f(x)=2x^3−6x−24\)dividido por\(x−3\)

    46. \(f(x)=7x^2−5x−8\)dividido por\(x−1\)

    Resposta

    \(−6\)

    Nos exercícios a seguir, use o Teorema do Fator para determinar se x−cx−c é um fator da função polinomial.

    47. Determine se\(x+3\) um fator de\(x^3+8x^2+21x+18\)

    48. Determine se\(x+4\) um fator de\(x^3+x^2−14x+8\)

    Resposta

    não

    49. Determine se\(x−2\) um fator de\(x^3−7x^2+7x−6\)

    50. Determine se\(x−3\) um fator de\(x^3−7x^2+11x+3\)

    Resposta

    sim

    exercícios de escrita

    51. James divide\(48y+6\)\(6\) desta forma:\(\dfrac{48y+6}{6}=48y\). O que há de errado com seu raciocínio?

    52. Divida\(\dfrac{10x^2+x−12}{2x}\) e explique com palavras como você obtém cada termo do quociente.

    Resposta

    A resposta variará

    53. Explique quando você pode usar a divisão sintética.

    54. Com suas próprias palavras, escreva as etapas para divisão sintética para\(x^2+5x+6\) dividir por\(x−2\).

    Resposta

    As respostas podem variar.

    Verificação automática

    a. Depois de concluir os exercícios, use esta lista de verificação para avaliar seu domínio dos objetivos desta seção

    A figura mostra uma tabela com sete linhas e quatro colunas. A primeira linha é uma linha de cabeçalho e rotula cada coluna. O cabeçalho da primeira coluna é “Eu posso...”, o segundo é “com confiança”, o terceiro é “com alguma ajuda”, “não menos eu não entendo!”. Sob a primeira coluna estão as frases “dividir monômios”, “dividir um polinômio usando um monômio”, “dividir polinômios usando divisão longa”, “dividir polinômios usando divisão sintética”, “dividir funções polinomiais” e “usar o Teorema do Restante e do Fator”. Sob a segunda, terceira e quarta colunas, há espaços em branco onde o aluno pode verificar o nível de domínio que alcançou.

    b. Em uma escala de 1 a 10, como você classificaria seu domínio desta seção à luz de suas respostas na lista de verificação? Como você pode melhorar isso?